2.2. Кінематика

2.2.1. Кінематика точки. Координатний та природний спосіб задання руху точки

Приклад 1.Вказати правильну відповідь. Обчислення проводити з точністю до трьох значущих цифр.

Якщо точкаА (рис. 8) рухається у площині відповідно до рівнянь

x_A =  0,4t² + 0,1t (м),

y_A = 0,5t (м),

то її швидкість V_A в момент часу t₁ = 1 с має значення:

1) V_A = 0,56 м/с;

2) V_A = 0,47 м/с;

3) V_A = 0,86 м/с;

4) V_A = 0,73 м/с.

Розв’язання. У даному прикладі за заданим законом руху точки А треба визначити величину її швидкості V_A (відносно тіла відліку  Землі) в момент часу с.

Тут рух точки Авідносно тіла відліку описуєтьсякоординатним способом.Рух відбувається у площині (рис. 8), тому закон руху точки представлений як закон зміни за часом її координат, у системі координатxОy, яка неодмінно зв’язана з тілом відліку і нерухома відносно нього.

Примітка. Треба зауважити, щокоординати точкице параметри, які визначаютьположення точкив обраній системі координат, а значить іположення точкивідносно тіла відліку.

Щоб відповісти на поставлене питання, треба скористатися формулою

,

де  модуль (величина) вектора швидкості, аі його проекції на координатні осі.

Проекція вектора швидкості на вісь xвизначається як похідна за часом від закону зміни координати, а проекція на вісьyвідповідно як похідна за часом від закону зміни координати:

(м/с);

(м/с).

Із виразів видно, що V_Ауне залежить від часу (стала величина не змінюється за часом), аV_Ахзалежить від часу (змінюється за часом), тому далі треба знайти значенняв заданий момент часус і підрахувати величину повної швидкості в заданий момент часу:

м/с;

м/с.

Таким чином, із наведених в прикладі відповідей правильною буде відповідь 3).

Приклад 2. Вказати правильну відповідь.

Якщо точка (рис.9) рухається у площині відповідно рівнянням

x_A =  0,4t² + 0,1t (м),

y_A = 0,5t (м),

то вектор її швидкості в момент часу t₁ = 1 с має такий напрямок:

1)

3)

2)

4)

Розв’язання. У даному прикладі за заданим законом руху точки, представленим у координатній формі, треба визначити напрямок вектора її швидкостіу площині(рис. 9) в заданий момент часуt₁ = 1 с.

У тестовому завданні напрямок вектора швидкості треба встановити наближено, не обчислюючи напрямні косинуси і кути, які утворює вектор із координатними осями. При цьому треба врахувати, що в такому випадку вектор швидкості зручно представити двома складовими векторамиі, направленими паралельно координатним осям:. Величину і напрямок кожного складового вектора тоді можна визначити, враховуючи величину і знак проекції вектора швидкості на відповідну вісь. Так, величина складового векторавідповідає величині проекції вектора швидкості на вісь, а напрямок цього вектора відповідає знаку вказаної проекції. Наприклад, векторбуде спрямований удодатномунапрямку осіx, якщо проекціямає знакплюс, і увід’ємному, якщо проекція має знакмінус.

Слід зауважити, що вектор треба зображувати із тієї точки координатної площини, в яку попадає точкаАв процесі руху в заданий момент часу=1с. Тому розв’язання даного прикладу треба починати з визначення положення точки в системі координат. Для цього треба вcтановити значення координат точки в заданий момент часу:

м;м.

Значення координат показують, що точка в заданий момент часу проходить положення, яке знаходиться у другій чверті координатної площини.

Щоб встановити величини і напрямки складових векторів і, треба підрахувати проекції векторана координатні осі. Оскільки ці проекції відповідають нижче наведеним функціям

м/с; м/с,

то вони в заданий момент часу t₁ =1с набувають такі значення (див. приклад 1):

м/с; м/с.

Ці результати означають, що складовий вектор спрямований із вказаного положення точки паралельно до осіу від’ємному напрямку осі (так як проекціяV_Ax 0) і чисельно дорівнює 0,7 м/с; векторспрямований із того ж положення точки паралельно до осіyу додатному напрямку осі (так як проекція V_Ay0) і чисельно дорівнює 0,5 м/с. Тоді на рисунку результуючий векторбуде зображатися діагоналлю прямокутника, побудованого на складових векторах як на сторонах.

Правильне положення точки Аі правильні напрямки векторів,,показані у відповіді 3).

Приклад 3. Вказати правильну відповідь.

Якщо точка( рис. 10) рухається у площині від-повідно до рівнянь

x_A =  0,4t² + 0,1t (м),

y_A = 0,5t (м),

то її прискорення a_A має значення :

1) a_A = 0,8 м/с²;

2) a_A = 0,4 м/с²;

3) a_A = 0,6 м/с²;

4) a_A = 0,5 м/с².

Розв’язання. У даному прикладі за заданим законом руху точкиА, представленим у координатній формі, треба визначити величину її повного прискорення(відносно тіла відліку Землі).

При координатному способі завдання руху точки величина вектора повного прискорення точки визначається за формулою , де , проекції вектора прискорення на координатні осі. Проекція вектора прискорення на вісьxзнаходиться як похідна за часом від проекції швидкості на вісьx−, а проекція прискорення на вісьyвідповідно як похідна за часом від проекції швидкості на вісьy−. Оскільки (див. приклад 1)

;м/с,

то м/с²= const;

м/с²= const.

Тоді модуль (величина) вектора повного прискорення точки приймає таке значення: = 0,8 м/с².

Таким чином, із наведених у прикладі відповідей правильною буде відповідь 1).

Приклад 4. Вказати правильну відповідь.

Якщо точкаА (рис. 11) рухається у площині відповідно до рівнянь

x_A =  0,4t² + 0,1t (м),

y_A = 0,5t (м),

то вектор її прискорення в момент часу =1 с має такий напрямок:

1. 2)

3. 4)

Розв’язання. Уданому прикладізазаданим закономруху точкиА, представленимукоординатній формі, треба визначити напрямок вектора прискоренняуплощиніxОy(рис. 11) в заданий момент часус.

Тутнапрямок вектораприскорення треба встановити по аналогії з визначенням напрямку векторашвидкостів прикладі2, не обчислюючи напрямні косинуси і кути, які утворює вектор із координатними осями. При цьомувектор прискореннятреба представитидвома складовими векторами і, направленимипаралельно координатним осям:= + . Величину і напрямок кожного складового вектора тоді можна визначити, враховуючи величину і знак проекції вектора прискорення на відповідну вісь.

Розв’язання даного прикладу (як і прикладу 2) треба починати з визначення положенняточки в системі координатxОy. Для цього треба підрахувати координатиx_A і y_Aточки прис, які відповідно становлять 0,3 м і + 0,5 м (див. приклад 2). Потім треба визначитипроекціївектора прискорення на координатні осі, які приймають такі значення:м/с², м/с²(див. приклад 3). Наведені дані дозволяють встановити, що точкаАв процесі руху в заданий момент часу проходить положення, яке знаходиться у другій чверті координатної площини. Складовий вектор спрямований із вказаного положення точки паралельно до осі x у від’ємному напрямку осі (так як проекція) і чисельно дорівнює 0,8 м/с². Складовий вектор відсутній (= 0). Вектор повного прискорення точки дорівнює складовому вектору:.

Правильне положення точки і правильний напрямок вектора повного прискорення показано у відповіді 4).

Приклад 5. Вказати правильну відповідь.

Якщо точкаМ (рис. 12) рухається по круговій кривій радіуса м відповідно до закону

OM = S_М = 0,1t²  0,8t (м),

то її швидкість V_М в момент часу с набуває значення:

1) V_М =  0,6 м/с;

2) V_М = + 0,2 м/с;

3) V_М =  0,8 м/с;

4) V_М = + 0,9 м/с.

Розв’язання. У даному прикладі по заданому закону руху точки М треба визначити її швидкість V_М (відносно тіла відліку) в момент часу с.

Примітка. Тут рух точкиМзадаєтьсяприродним способом. Треба зауважити, що таким способом задати рух точки можна тільки тоді, коли існує інформація про те, яку траєкторію в процесі руху описує точка відносно тіла відліку.

Відповідно до умови прикладу рух точки відбувається по відомій траєкторії  круговій кривій радіусам (рис. 12). Законом руху точкиМє закон зміни за часом її дугової (криволінійної) координатиS_М: S_М = ОМ = S_М(t).

Дугова координата точкице параметр, який вимірюється вздовж траєкторії (від початку відліку на траєкторії до точки) і визначаєположення точкина траєкторії, а значить визначає іположення точкивідносно тіла відліку.

Примітка. На рис.12 початок відліку на траєкторії відмічено літероюО, а напрямки відліку знаками «+» і «»(додатнийівід’ємнийнапрямок відповідно).

Для відповіді на питання прикладу треба скористатися формулою . Ця похідна за часом від закону руху фактично визначаєпроекціювектора швидкості точки на дотичну до траєкторії і тому її чисельне значення в розрахунках супроводжується знаком.

Скористаємося вказаною формулою і знайдемо значення швидкості точки в заданий момент часу с:

;

м/с.

Таким чином, із наведених у прикладі відповідей правильною буде відповідь 1).

Приклад 6. Вказати правильну відповідь.

Якщо точкаМ (рис. 13) рухається по круговій кривій радіуса м відповідно до закону

OM = S_М = 0,1t²  0,8t (м),

то її швидкість в момент часу с має такий напрямок:

1) 2)

3) 4)

Розв’язання. У даному прикладі за заданим законом руху точкиМ, представленим у природній формі, треба визначити напрямок вектора її швидкостіу момент часус.

Для відповіді на поставлене питання треба спочатку визначити положення точки на траєкторії в заданий момент часу с, а для цього треба підрахувати значення дугової координатиS_М в цей момент часу:

S_М = 0,1t₁²  0,8t₁ = 0,1·1²  0,8·1 =  0,7 м.

Отримане значення дугової координати показує, що точка Мв заданий момент часу проходить положення, яке знаходиться на траєкторії (рис. 13) зліва від початку відліку (S_М < 0) на відстані 0,7 м від нього.

Далі треба визначити швидкість точки в заданий момент часу за формулою так, як це показано в прикладі 5.

Примітка. Якщо в заданий момент часу швидкість точки набуває значення, то це означає, що вектор швидкостіспрямований по дотичній до траєкторії руху точки у додатному напрямку відліку (+). Якщо ж, то векторспрямований по дотичній до траєкторії у від’ємному напрямку відліку ().

Скористаємось результатами прикладу 5 (закони руху точки у прикладах 5 і 6 ідентичні): значення швидкості становить м/с. Тоді на рисунку вектор швидкостітреба зобразити із вказаного положення точки по дотичній до траєкторії увід’ємному () напрямку відліку.

Правильне положення точки Мі правильний напрямок векторапоказано у відповіді 4).

Приклад 7.Вказати правильну відповідь. Обчислення проводити з точністю до трьох значущих цифр.

Якщо точка М (рис. 14) рухається по круговій кривій радіуса м відповідно до закону

OM = S_М = 0,1t²  0,8t (м),

то її повне прискорення a_М в момент часу с приймає значення:

1) a_М = 0,633 м/с²; 3) a_М = 0,721 м/с²;

2) a_М = 0,447 м/с²; 4) a_М = 0,586 м/с².

Розв’язання. У даному прикладі за заданим законом руху точкиМ, представленим у природній формі, треба встановити значення повного прискорення точки в заданий момент часус.

При природному способі задання руху точки вектор її повного прискорення розкладається на два складових вектора тангенціальне (дотичне) і нормальне прискорення:.

Так як ці вектори взаємно перпендикулярні, то величина вектора повного прискоренняточки відповідає формулі:.

Тангенціальне прискорення обчислюється як перша похідна за часом від закону зміни швидкості точки . Ця похідна фактично визначаєпро-екціювектора прискорення точки на дотичну до траєкторії і тому її чисельне значення в розрахунках супроводжується знаком. Нормальне прискорення обчислюється за формулою, де  радіус кривизни траєкторії точки.

Примітка.Тангенціальне прискорення точкивідсутнє під часрівномірногоруху точки, тобто колиV=const (тоді) ііснує під часнерівномірного руху точки, тобто колиVconst. Нормальне прискорення точкиіснуєпід часкриволінійногоруху точки івідсутнєпід часпрямолінійного руху точки, так як радіус кривизни прямої дорівнює нескінченності, тоді:

Визначимо тангенціальне прискорення точки. Оскільки

, то

м/с² =const.

Визначимо нормальне прискорення точки. Так як при с швидкість точки набуває значенням/с (див. приклад 5), то:

м/с².

Тоді величина повного прискорення точки при с становить:

м/с².

Таким чином, правильною буде відповідь 2).

Примітка. Треба зауважити, що в прикладі 7 швидкість точки в заданий момент часу t₁ =1с має від’ємне значення, а тангенціальне прискорення точки – додатне значення, тобто швидкість і тангенціальне прискорення точки мають різні знаки. Це означає, що рух точки буде уповільненим. Якщо ж звернути увагу ще й на той факт, що тангенціальне прискорення точки – стала величина, тобто =const, то рух точки можна назвати рівноуповільненим.

Приклад 8. Вказати правильну відповідь.

Якщо точкаМ (рис. 15) рухається по круговій кривій радіуса м відповідно до закону

OM = S_М = 0,1t²  0,8t (м),

то її повне прискорення в момент часу с має такий напрямок:

1) 2)

3) 4)

Розв’язання. У даному прикладі за заданим законом руху точкиМ, представленим у природній формі, треба визначити напрямок вектора прискорення в момент часус.

Для відповіді на поставлене питання треба спочатку визначити положення точки на траєкторії в заданий момент часу , а для цього, як і у прикладі 6, треба підрахувати значення дугової координатиS_М в заданий момент часу с:м.

Значення дугової координати показує, що точка Мв заданий момент часу проходить положення, що знаходиться на траєкторії (рис. 15) зліва від початку відліку (S_М < 0) на відстані 0,7 м від нього.

Далі треба визначити (за величиною) складовівектора повного прискорення точки тангенціальне і нормальне прискорення, так, як це показано в прикладі 7. Для заданого в даному прикладі закону руху і моменту часу ці значення становлять (див. приклад 7):

м/с²;м/с².

Примітка.Вектор тангенціального прискорення точки спрямованийпо дотичній до траєкторії руху точки у додатному напрямку відліку (+), якщо в заданий момент часу його значення становить, і у від’ємному напрямку відліку (), якщо. Вектор нормального прискорення у випадку криволінійного руху точкизавждиспрямованийдо центру кривизни траєкторії(у бік увігнутості траєкторії).

Напрямки складових прискорень будуть такими: вектор тангенціального прискорення точки спрямований із вказаного вище положення точки по дотичній до траєкторії у додатному напрямку відліку (+), так як; вектор нормального прискорення спрямований із того ж положення точки до центру кривизни траєкторії, тобто до центра кругової кривої (окружності).

Оскільки повне прискорення точки дорівнює векторній сумі складових прискорень , то на рисунку результуючий векторбуде зображатися діагоналлю паралелограма (прямокутника), побудованого на складових векторах як на сторонах.

Правильне положення точки Мі правильні напрямки векторів, , показані у відповіді 4).