Динаміка

9. Предмет динаміки. Динаміка точки. Дві основні задачі динаміки точки.

9.1. Як формулюється перший закон Ньютона(закон інерції),другий закон Ньютона,третій закон Ньютона(про дію та протидію)?

9.2. Який вигляд має основне рівняння динаміки точкиу векторній формі?

9.3. Який вигляд має основне рівняння динаміки точкиу проекціях на координатні осі (у плоскій системі координатxОy)?

9.4. Який вигляд мають диференціальні рівняння руху точкиу проекціях на координатні осі (у плоскій системі координатxОy)?

9.5. Як формулюється перша задачадинаміки точки?

9.6. Як формулюється друга задачадинаміки точки?

9.7. За яким правилом обчислюється роботасталоїсили, прикладеної до точки, яка переміщується?

9.8. У яких випадках робота сили дорівнює нулю, більше нуля, менше нуля?

9.9. За яким правилом обчислюєтьсяроботасталогомоментусили(моментупари), прикладеної до тіла, яке обертається?

10. Динаміка твердого тіла та системи тіл. Теорема про зміну кінетичної енергії системи.

10.1. За якою формулою обчислюється момент інерції точки відносно осі ?

10.2. За якою формулою обчислюється момент інерції тіла відносно осі (у загальному випадку)? Що характеризує осьовий момент інерції тіла?

10.3. За якою формулою обчислюється момент інерції суцільного однорідного диска відносно центральної осі?

10.4. За якою формулою обчислюється момент інерції ступінчастого дискавідносно центральної осі?

10.5. За якою формулою обчислюється момент інерції тонкого кільця відносно центральної осі?

10.6. Який вигляд має рівняння динаміки обертального руху тіла навколо осі ? Як при цьому визначається кутове прискорення тіла?

10.7. За якою формулою обчислюється кінетична енергія точки?

10.8. За якою формулою обчислюється кінетична енергія тіла в поступальному русі?

10.9. За якою формулою обчислюється кінетична енергія тіла в обертальному русі?

10.10. Як формулюється теорема про зміну кінетичної енергії системи з ідеальними в’язями? Який математичний вираз ілюструє цю теорему?

2. Приклади розв’язання тестових завдань

2.1. Статика. Рівновага тіла під дією плоскої довільної системи сил

Приклад 1(рис. 1, 2). Вказати правильне рівняння рівноваги ().

Рис. 1	Рис. 2

Якщо схема навантаження конструкції відповідає рис. 1, а схема діючих сил (активних і реакцій опор) – рис. 2, то рівняння рівноваги цієї конструкції – сума проекцій усіх сил на вісь дорівнює нулю – має вигляд:

1) ; ;

2) ; ;

3) ; .

Розв’язання. У цьому прикладі з трьох наведених відповідей треба вибрати правильну відповідь (вказати правильне рівняння рівноваги).

Примітка. Слід зауважити, що в даному випадку конструкція закріплена в точці за допомогою жорсткого защемлення; тому на конструкцію крім активного навантаження − сил, пари сил з моментом − діє ще реакція жорсткого защемлення, яка складається з трьох елементів − двох сил та пари сил з моментом .

Пригадаємо спочатку правило визначення проекції вектора сили на координатну вісь (рис. 3). Проекція сили на вісьце скалярна величина, яка характеризується числом і знаком. Величину проекціїрекомендується обчислювати як добуток модуля сили на косинус гострого кута між силою і віссю, а знак проекції визначати за додатковим правилом.

За додаткове можна прийняти таке правило: якщо вектор сили утворює гострий кутіздодатним напрямком осі, то знак берутьплюс(«+»), якщо ж ізвід’ємним – томінус(«−»).

В окремих випадках (рис. 4) проекція сили на вісь визначається таким чином: якщо сила спрямована паралельнодо осі, то вона проектується на вісь унатуральну величинуз відповідним знаком; якщо ж сила спрямованаперпендикулярнодо осі, то вона проектується на вісь уточку, тобто проекція дорівнюєнулю.

Розглянемо детально, як записати проекції сил, зображених на рис. 2, на вісь .

Сила спрямована перпендикулярно до осі, тому проектується на цю вісь у точку, тобто проекція силина вісьдорівнює нулю.

Сила спрямована паралельно осі і проектується на вісь у натуральну величину зі знаком плюс, оскільки спрямована в додатному напрямку осі.

Сила теж спрямована паралельно до осі, але проектується на вісь у натуральну величину зі знаком мінус, оскільки спрямована у від’ємному напрямку осі.

Сила створює з напрямком осі гострий кут 40º. Тому величина її проекції на вісь може бути записана як добуток модуля сили накосинус цьогокута(). Оскільки гострий кут 40º силаутворює з додатним напрямком осі, то знаком проекції буде плюс. Це підтверджує також складова сила_у (рис. 7), яка спрямована в додатному напрямку осі.

Примітка. Слід підкреслити, що на конструкцію, окрім зосереджених сил, діють ще пари сил з моментамиі_защ. Пара сил − це система двох сил, рівних за величиною, протилежних за напрямком і не розташованих на одній прямій (рис. 5а). Основною характеристикою дії пари на абсолютно тверде тіло є її момент, який дорівнює добутку модуля однієї з сил пари на плече пари (рис. 5б). Оскільки сума проекцій сил, що утворюють пару, на будь-яку вісь дорівнює нулю (рис. 5а), то проекції цих сил у рівняннях проекцій не фігурують. Наявність позначеньі_защу рівняннях проекцій вказує на помилку.

Отже, із наведених у відповідях прикладу рівнянь проекцій правильним буде рівняння 2).

Приклад 2 (рис. 1, 2). Вказати правильне рівняння рівноваги ().

Якщо схема навантаження конструкції ABCD відповідає рис. 1, а схема діючих сил (активних і реакцій опор) – рис. 2, то рівняння рівноваги цієї конструкції – сума моментів усіх сил відносно центра дорівнює нулю – має вигляд:

1) ; ;

2) ; ;

3) ; .

Розв’язання. Щоб розібратися, яке з трьох наведених рівнянь правильне, треба пригадати (рис.6) правило визначення величини і знака моменту сили відносно центра (точки).

Величина моменту визначається як добуток модуля сили на плече сили h (див. рис. 6а), де плече – це найкоротша відстань від центра до лінії дії сили. Будується плече як перпендикуляр, що опускають із центра на лінію дії сили. Знак моменту в тестових завданнях треба брати за традиційним правилом знаків: якщо сила намагається повернути тіло навколо центра проти годинникової стрілки, то беруть знак плюс («+»), якщо за годинниковою стрілкою – мінус («−»).

Примітка. Треба зауважити, що існує окремий випадок, коли сила не створює момент відносно центра. Це спостерігається тоді, коли центр розташований на лінії дії сили (лінія дії сили проходить через центр). У такому випадку відстань від центра до лінії дії сили дорівнює нулю, тобтоплече сили дорівнює нулю,а значить, імомент сили відносно центра дорівнює нулю. Такий випадок наведено на рис. 6б. Тут лінія дії сили проходить через точкуО і момент цієї сили відносно точкиО дорівнює нулю.

Отже, розглянемо детально, які моменти створюють сили, що зображені на рис. 2, відносно центра (точки).

Сили іпроходять через точкуі моментів відносно точкине створюють.

Сила створює момент відносно центра з плечем і знаком мінус, оскільки намагається повернути конструкцію навколо точки за годинниковою стрілкою ().

Плече силивідносно центравизначати незручно; краще цю силу розкласти на складові вектори і(рис. 7) і для визначення її моменту відносно центраАскористатися теоремою Варіньона: момент рівнодіючої плоскої збіжної системи сил відносно центра дорівнює алгебраїчній сумі моментів складових сил відносно того ж центра.

Тоді ,

де ,а.

Складова сила створює момент відносно центра з плечемі знаком мінус, оскільки намагається повернути конструкцію навколо точки за годинниковою стрілкою (). Плече в рівнянні можна замінити на рівний йому відрізок, який є одним із розмірів конструкції (). Складова сила створює момент відносно центра з плечемі знаком плюс, оскільки намагається повернути конструкцію навколо точки проти годинникової стрілки ().

Моменти двох пар, що діють на конструкцію, записуються в рівняння моментів зі своїми знаками: ;.

Отже, із наведених у відповідях прикладу рівнянь моментів правильним буде рівняння 3).