Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика - 2.Уч.-практ.пособие.pdf

Скачиваний:

102

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

1.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 3127 28 29 30 31 > Следующая >>>

Так как x = 4,03,

то

x0 = 4, ∆x = 0,03;

y = 2,99, y0 = 3,

= 3,

∆y = −0,01.

∂f

= 4

f (x , y

) = 42 +32

= 5,

, y

) =

x0 =4, y0 = 3

∂x

x2 + y2

∂f

(x , y

) =

x0 = 4, y0 = 3

Тогда из формулы

∂y

x2 + y2

f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) ≈ f (x0 , y0 ) + ∂fx (x0 , y0 )∆x + ∂fy (x0 , y0 )∆y

∂∂

заключаем, что

	4		3
4,032 + 2,992 ≈ 5 +	4	0,03 +	3	(−0,01) = 5,018.
	5		5

2а. Неопределенный интеграл

1.Какая функция F(x) называется первообразной для функции f (x) на интервале (a,b) ? Приведите несколько примеров.

2.Что называется неопределенным интегралом от функции

f(x) ?

3.Запомните и умейте доказывать основные свойства неопределенного интеграла:

1)d(∫ f (x)dx)= f (x)dx ;

2)∫d(F(x)) = F(x) +C ;

3)∫( f (x) ±g(x))dx = ∫ f (x)dx ± ∫g(x)dx ;

4)∫af (x)dx = a∫ f (x)dx, (a ≠ 0) .

4. Выучите таблицу основных интегралов (без прочного знания этой таблицы и таблицы производных нельзя научиться интегрировать):

1) ∫0 dx = C ;

119

2) ∫1 dx = x +C ;

xα+1

3) ∫xα dx = α +1 +C (α ≠ −1) ; 4) ∫dxx = ln x +C (x ≠ 0);

5) ∫axdx =	ax	+C (α > 0; a ≠1),
	lnα

6)∫sin xdx = −cos x +C ;

7)∫cos xdx = sin x +C;

		dx	= tgx +C		π
8)				x ≠		+πn;
8)	∫cos2 x			x ≠	2	+πn;
	∫cos2 x				2

∫exdx = ex +C ;

n Z ;

9) ∫

= −ctgx +C (x ≠ πn;

n Z) ;

sin2 x

10)

∫

= arcsin

+C = −arccos

+C (a ≠ 0,

) ;

− x

∫

11)

= a arctg

= − a arcctg

(a ≠ 0) ;

+a2

12)

∫

x −a

(a ≠ 0,

) ;

≠

−a2

x +a

∫

13)

= ln

x +

x2 + a

+C (a ≠ 0,

x2 + a > 0) .

+ a

5.Приведите примеры «неберущихся» интегралов, т.е. интегралов, не выражающихся через элементарные функции.

6.Приведите примеры нахождения интегралов методом замены переменной (подстановкой).

7. Запомните формулу интегрирования по частям:

∫udν = uν − ∫νdu .

8.Приведите примеры интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям.

120

9. Приведите примеры интегрирования выражений, содержащих квадратный трехчлен, и запомните следующие рекомендации по их нахождению:

I. Интегралы

∫

или ∫

приводятся к

ax2 +bx +c

табличным 11) – 13) путем выделения полного квадрата;

∫

mx + n

II.

Интегралы

вида

dx (m ≠ 0)

или

ax2 +bx +c

∫

mx + n

dx (m ≠ 0)

приводятся к табличным выделением из

ax2 +bx +c

числителя производной знаменателя 2ax +b ;

III. Интегралы вида

∫

(m ≠ 0) с помощью

(mx + n)

+bx +c

подстановки

= t приводятся к ранее рассмотренным интегралам.

mx + n

∫

dx путем выделения полно-

IV. Интегралы вида

ax2 +bx +c

∫

dx , ∫

dx , которые

го квадрата приводятся к виду

a2 − x2

x2 + a

берутся либо с помощью тригонометрических подстановок, либо по формуле интегрирования по частям. Если интеграл содержит

x2 −a

2 , то

x =

, x2

−a2

= a tg t . Если и нтеграл содержит

cost

, то

x = a tg t,

−

;

+ x

cost

10.

Запомните,

что

интегралы

вида

ax +b q

ax +b r

где

R – рациональная функция,

∫R x,

,...,

dx ,

cx + d

+ d

p, q, … ,s, r – целые числа, находятся с помощью подстановки t = mcxax++db , где m – наименьшее общее кратное чисел q,..., r .

121

11. Внимательно изучите вопрос об интегрировании тригонометрических функций.

Тренировочноезадание № 2а

1. Найдите неопределенные интегралы с помощью таблицы интегралов и поднесения под знак дифференциала:

∫

2x +3

2 − x 3

∫

3x+1 −5x−1

а)

dx ;

б)

dx ;

в)

dx ;

15x

∫

г)

∫

;

д) ∫tg 2 x dx ;

е)

∫cos2

dx ;

x +5

з) ∫

и) ∫

1−2x + x2

ж) ∫(2x −3) dx ;

;

dx ;

1− x

5 −4x

к) ∫

;

л) ∫

;

м) ∫

;

1+9x2

9x2 −1

1−9x2

н)

∫

;

о)

∫sin 5x dx ;

п)

∫

;

1−3x2

sin2 3x

∫

xdx

∫x3

dx ;

∫

xdx

;

р)

;

с)

1+ x4

т)

2 −5x2

x2 +1

у)

∫

x2dx

−1

Укажите возможные подстановки для вычисления интегра-

лов и найдите эти интегралы:

1+ln x

а)

∫

dx ;

б)

∫ecos2 x sin xdx ;

в)

∫arctg1+ x2 x dx ;

∫x5 3

dx ;

∫

;

∫cos 1x dxx2 ;

г)

1+ 4x6

д)

е)

x +1

ж)

∫tgx dx ;

з)

∫

exdx

5 +ex

122

3. Найдите интегралы, используя формулу интегрирования по частям:

а) ∫x2 cos x dx ; б) ∫x2 ln xdx ; в) ∫x arctg x dx ; г) ∫ex cos x dx .

4. Найдите интегралы, используя методы интегрирования выражений, содержащих квадратный трехчлен:

а) ∫

;

б) ∫

2x −3

dx ;

x2 +8x +7

x2 +3x

в) ∫

xdx

г) ∫

;

x2 + 2x −3 dx .

1−4x − x

5. Найти интегралы, содержащие тригонометрические функции:

а) ∫cos5x cos xdx;

б)

∫cossin 2 xx dx;

в)

∫sin6 x cos xdx; г) ∫

cos x

Решение тренировочного задания № 2а

а)

∫

dx = ∫(2x1 2 +3x−1 2 )dx = 2∫x1 2dx +3∫ x−1 2dx =

dx =

xα+1

x3 2

x1 2

3 2

1 2

= 2

+ 3

+6x

+C =

α +

3 2

1 2

∫

4 x

б)

− x

(2 − x)3

[(a −b)

dx =

= a

−3a

+3ab

−b

∫

= ∫

−12x +6x2 − x3

= 8∫x

−3

12∫x

−2

dx +6∫

dx −

x − ∫dx =

xα+1

∫

x dx

+C, α ≠ −1;

∫

= ln

+C,

∫

dx = x +C

α +1

= 8

−2

−12

x−1

+6ln

− x +C =

−4

6ln

− x +C;

−2

−1

123

в) ∫3x+115−x5x−1 dx = ∫315x x3 − ∫5 515x x dx = 3∫ 15 x dx − 15 ∫ 13 x dx =

= ∫ax

г)

д)

е)

ж)

dx =

= 3

−

= −

+C;

ln a

ln 5

ln 3

∫

= ∫d(x +5)

= ln

x +5

+C ;

x +5

∫tg

xdx =

+tg

x =

cos

= ∫

∫

− ∫1dx = tgx − x +C;

−1 dx =

cos2 x

1+cos 2x

1+cos x

∫cos

dx = cos

x =

= ∫

dx =

=12 (∫1 dx + ∫cos xdx) = 12 (x +sin x) +C ;

∫(2x −3)11dx =[1-ый способ – поднесение под знак диффе-

ренциала:

d(2x −3)

′

= (2x −3) dx = 2dx, dx = 2 d(2x −3)]

= = 1 ∫(2x −3)11d(2x −3) =

∫(2x −3)11 1 d(2x −3) =

= 1

(2x −3)12

+C =

(2x −3)12

+C;

∫(2x −3)11dx =[2-ой способ – замена переменной

2x −3 = t,

x =

t +3

, dx

3 ′

dt, dx =

dt]

= ∫t11

1 dt =

1 ∫t11dt =

1 t12

+C =

t12

+C =

(2x −3)12

+C.

2 12

124

Прежде, чем перейти к решению последующих примеров, выпишем

полезные преобразования дифференциальных выражений:

1. dx = d(x +C) . Например,

dx = d(x +5),

dx = d(x −20);

2. dx =

1 d(kx), k ≠ 0 .

dx = 1 d(3x),

Например,

dx = −d(− x),

dx = −

d(−10x), ;

dx = 2d

3. dx =

1 d(kx +b), k ≠ 0 .

Например, dx

d(2x ±5), dx = −

d(5 −2x),

dx = −3d

2 −

;

4. xα dx

d(xα+1 ),α ≠ 0 .

α +1

Например,

xdx =

1 d(x2 ), x3dx = 1 d(x4 ),

= 2d(

)

5.sin x dx = −d(cos x);

6.cos x dx = d(sin x).

з) ∫5dx−4x = − 14∫d(55 −−44xx)= − 14 ∫(5 −4x)−1/ 2 d(5 −4x)=

(5 −4x)1/ 2

+C = −

+C;

= −

5 −4x

1 2

(1− x)2/3 dx = ∫(1− x)−1/3 dx =

и) ∫

3 1−2x + x2

dx =∫

1− x

= ∫(1− x)−1/3 d(1− x)= − (1− x)2/3 +C = −

3 3

(1− x)2

+C;

2 3

125

к) ∫

=∫

∫

d(3x)

1+9x2

1+(3x)2

arctg(3x)+C;

∫

arctg

+ x

∫

d(3x)

л)

x2 +a

=ln

x +

9x2 −1

∫ (3x)2 −1 ∫

x2 + a

1 ln

3x +

+C .

9x2 −1

Этот же интеграл можно вычислить иначе:

= 1

=1 ln

x +

x2 −

+C .

∫ 9x2 −1

∫

3 ∫

1 3

−

9 x

−

В том, что ответы идентичны, можно убедиться, проверив правильность интегрирования дифференцированием. Действительно, в первом случае получим:

′

3x +

−1

(3x + 9x

−1) =

3x + 9x2 −1

3x)

18x

−1 +

−1

3 +

2 9x

−1

+ 9x

−1

3x +

;

9x2 −1

во втором случае получим:

′

−1 9

(

−1 9 + x)

1 ln

x +

x2 − 1

= 1

3 x +

−1 9

3 (x +

−1 9) x

−1 9

9(x2 −1 9)

9x2 −1

Значит, в обоих случаях интегрирование выполнено верно.

126

м) ∫

∫

d(3x)

1−9x

1−(3x)

1 arcsin(3x) +C ;

н) ∫

∫

1−3x2

1−(

x)2

x −a

∫ x

−a

x + a

= − 16 ln33xx +−11 +C ;

	dx		x
=		= arcsin		+C	=

∫	a2 − x2		a

=− 13 ∫( d3(x)32x−)1 =

−13 213 ln33xx +−11 +C =

о)	∫sin 5x dx =									1 ∫sin 5x d(5x) = −													1 cos5x +C ;
										5													5
						dx			1				d(3x)								1
п)		∫					=		3 ∫										= − 3 ctg3x +C ;
п)		∫		sin2 3x			=		3 ∫			sin2 3x							= − 3 ctg3x +C ;
										1						2
р)		∫				xdx		= ∫			2 d				(x		+1)				= 1 ∫(x2			+1)−1 2 d(x2 +1) =

						2									2	+1
						x +1									x	+1					2
	1		(x2 +1)1 2
=	1		(x2 +1)1 2						+C = x2 +1 +C ;
=	2								+C = x2 +1 +C ;
	2					1 2
																			4 1 2 d(x4 )						1
с) ∫x					3	1+ x		4	dx = ∫(1+ x										4 1 2 d(x4 )						1	∫(1+ x	4 1 2	d(1+ x	4
																			)					=			)			) =
																			)		4			=	4		)			) =
																					4				4
	1 (1+ x4 )3 2									1
=	1 (1+ x4 )3 2								=	1				(1+ x				4	)	3		+C ;
=	4					3 2			=	6				(1+ x					)			+C ;
	4					3 2				6

второй способ:

∫x3 1+ x4 dx = [1+ x4 = t, 1+ x4 = t2 , d(1+ x4 ) = d(t2 ),

127

(1+ x4 )′dx = (t

2 )′dt ; 4x3dx = 2t dt

, x3dx =

t dt

= ∫

t tdt

∫t2dt =

+C =

(1+ x4 )3

+C ;

т) ∫

xdx

∫

d(2 −5x2 )

= −

2 −5x

+C ;

2 −5x2

−10

2 −5x2

второй способ:

∫

xdx

2 −5x

= t,

d(2 −5x

)

= dt, −10xdx

= dt; xdx = −

2 −5x

= −∫

= −

+C = −

2 −5x2

+C ;

10t

у) ∫

x2dx

∫

d(x3 )

−1

+C ;

−

)

−1

dx = [t =

, t2 =1+ln x, d(t2 ) = d(1+ln x);

а) ∫

1+ln x

2t dt = dx

∫t 2t dt = 2∫t2dt = 2 t3

+C =

(1+ln x)3 +C ;

б)

∫e

cos2 x

sin 2x dx =[t = cos

dt = (cos

′

dt = 2cos x(−sin x)dx,

x) dx,

dt = −sin 2xdx] = ∫et (−dt) = −∫et dt = −et

+C = −ecos2 x

+C ;

arctg3 x

в)

∫

dx = t = arctgx,

dt =

= ∫t

dt =

1+ x

=t4 +C = arctg4 x +C ; 4 4

128

г) ∫x5 31+ 4x6 dx = [t = 31+ 4x6 , t3 =1+ 4x6 ,

d(t3 ) = d(1+ 4x6 ), 3t2dt = 24x5dx,

x5dx = t

∫

t t

∫

t3dt =

+C ;

+C =

(1+4x6 )4

= [t =

д)

∫

= x +1,

d(t2 ) = d(x +1); 2tdt = dx,

x +1,

x +1

2tdt

t −1

−1

x = t

]= ∫

= 2∫

+C = ln

x +1

+C;

−1

= 2

2 ln

(t2 −1)t

t2 −1

t +1

x +1

∫cos

1 dx

dt =

−dx

]= −∫costdt = −sin t +C = −sin

+C;

x x

= t =

ж)

∫tgxdx = ∫sin xdx

= [t = cos x,

dt = −sin xdx]=

− ∫dt

cos x

= −ln

+C = −ln

cos x

+C;

з)

∫

exdx

= [t = 5 +ex ,

dt = exdx]= ∫dtt

= ln

+C = ln(5 +ex ) +C.

5 +ex

Так как ∫udv = uv − ∫vdu,

то получим:

а)

= x

du = 2xdx,

∫x

= x

sin x − ∫sin x 2xdx =

cos xdx = dv = cos xdx,

v = sin x

u = x,

du = dx,

sin x −2∫xsin xdx =

= x

sin x −2(x(−cos x) −

dv = sin xdx,

= −cos x

−∫(−cos x)dx) = x2 sin x +2x cos x −2∫cos xdx = x2 sin x +2x cos x −2sin x +C;

129

dx,

u = ln x, du =

б)

∫x

ln xdx =

= ln x

−∫

dx =

dx, v = ∫x

dv = x

x3 ln x

− 1

∫x2dx =

x3 ln x

−

+C =

x3 ln x

−

+C;

в)

u = arctgx,

du =

dx,

1+ x

∫xarctgxdx

= arctgx

−

∫

= ∫xdx

+ x

dv = xdx,

1 x2dx

(x2 +1−1)dx

arctgx − 2 ∫

arctgx −

∫

arctgx −

1+ x2

(x2 +1)dx

− 2

∫

2 ∫

arctgx −

2 x +

2 arctgx +C;

1+ x2

1+ x 2

= e

, du = e

г)

∫e

= e

sin x − ∫e

sin xdx =

cos xdx = dv = cos xdx,v = sin x

, du

dx,

u = e

= e

sin x −(e

(−cos x)

dx) =

dv = sin xdx,v = −cos x = e

−∫(−cos x)e

= ex sin x +ex cos x − ∫ex cos xdx. Таким образом, получили уравне-

ние относительно искомого интеграла. Следовательно,

∫ex cos xdx = 12 ex (sin x +cos x) +C.

130

4. а) ∫

= ∫

∫

x2 +8x +7

x2 +8x +16 −9

(x + 4)2 −9

∫

d(x + 4)

x + 4 −3

x +1

+C;

6 ln

(x + 4)2 −9

2 3

x + 4 +3

x +7

б)

2x −3

2x +3 −6

2x +3

d(x2 +3x)

∫

dx =

∫

x2 +3x

dx =

∫

dx −6∫

= ∫

x2 +3x

−

x2 +3x

−6∫

= ∫

d(x2 +3x)

−6∫

= ln

+3x

−

x +

−

+3x

)

−

d(x +

−

−6∫

x2 +3x

+C = ln

x2 +3x

= ln

−6

−2ln

)

−(

)

x +3

+C = ln

+3x

−ln

+C = ln

(x2 +3x)(x +3)2

= ln

(x +

3)3

+C;

x +3

в) ∫

xdx

∫

= ∫

1−4x − x

−(x

+4x −1)

−

+4x +4 −5)

∫

xdx

5−(x +2)

x +2 = t

(t −2)dt

tdt

−2

d(5 −t

) −

= −

2,dx

∫

5 −t2

x = t −

= dt

−2arcsin

x +

−2arcsin

+C = −

5 −t2

−2arcsin

+C = −

1−4x − x2

+C;

г) ∫x2 + 2x −3dx = ∫x2 +2x +1−4dx = ∫(x +1)2 −4dx =

131

= [x +1 = t, x = t −1, dx = dt]= ∫

dt =

t2 −4

tdt

u =

−4, du =

2tdt

− ∫

t2dt

= t t

−4

t2 −4

−4

−

dv = dt,v = t

= t

− ∫

(t2 −

+ 4)dt)

− ∫

dt − ∫

4dt

t2 −4

= t t2 −4

t2 −

−4

t −4

= tt4 −4 −4ln t + t2 −4 − ∫t2 −4dt.

Значит, из последних соотношений получаем уравнение относительно искомого интеграла

2∫t2 −4dt = tt2 −4 −4ln t + t2 −4 ,

∫

dt = 1 t

t2 −4

−4 −2ln

t +

t2 −4

или

∫

dx = 1 (x +1)

x2 + 2x −3

+ 2x −3 −2ln

x +1

+ x2

+ 2x −3 +C.

5. а)

∫cos5x cos xdx =

(cos(α +

β) +cos(α

cosα cos β

− β));

=∫12 (cos(5x + x) +cos(5x − x))dx = = 12 ∫cos6xdx + 12 ∫cos 4xdx =

=12 16 sin 6x + 14 14 sin 4x +C = 121 sin 6x +161 sin 4x +C .

sin2 x

tg3 x

б)

∫cos4 x dx = ∫cos2 x

= ∫tg

xd(tgx) =

+C;

cos2 x

в)

∫sin6 x cos xdx = ∫sin6 xd(sin x) = sin7 x +C;

cos xdx

d(sin x)

sin x −1

г)

∫

= ∫

cos2 x = ∫

= −∫

= −

2 ln

sin x +1

+C.

cos x

1−sin2 x

sin2 x −1

132

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 3127 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.08.201986.02 Кб10второй блок.doc
#
20.02.201696.52 Кб146Вывод по рациону питания (технология на 22.10).pdf
#
20.02.201636.85 Кб14выводы отчёт.docx
#
20.02.2016167.92 Кб20выставки в рб курсовая.docx
#
20.02.201638.4 Кб22Высшая матем, программа 1 семестр.doc
#
20.02.20161.66 Mб102Высшая математика - 2.Уч.-практ.пособие.pdf
#
20.02.20161.62 Mб62Высшая математика 3 семестр часть 1.doc
#
20.02.20163.1 Mб105Высшая математика 3 семестр часть 2.doc
#
20.02.2016450.37 Кб73высшая математика 3семестр.pdf
#
20.02.20162.91 Mб200Высшая математика. Практикум, часть 1.pdf
#
20.02.20161.12 Mб64Высшая математика. Ряды. Уч-метод. пособие.pdf