сходится, то его сумма не зависит от порядка слагаемых. Если ряды
∞ |
∞ |
|
∑an и |
∑bn |
сходятся абсолютно, то их произведение также сходится |
n=1 |
n=1 |
|
абсолютно к сумме, равной произведению сумм указанных рядов.
4.1.6. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Частным случаем знакопеременных рядов являются знакочередующиеся ряды, для которых некоторые общие свойства могут быть конкретизированы.
Определение 4.9. Если числовой ряд имеет вид
|
|
|
a |
|
−a |
2 |
+ a |
3 |
−...(−1)n−1 |
+… |
(4.9) |
||||
или |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−a |
+ a |
2 |
−a |
+... |
+(−1)n a |
n |
+..., |
a |
n |
> 0 , |
(4.10) |
||||
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
то он называется знакочередующимся.
Теорема 4.10 (признак Лейбница). Если для знакочередующегося ряда (4.9) или (4.10) выполняются условия:
1) a1 ≥ a2 ≥... ≥ an ≥...;
2) lim an = 0, то ряд сходится и его сумма не превосходит a1 , а
n→∞
остаток ряда rn не превышает по абсолютной величине первого отбрасываемого члена:
rn < an+1 .
Пример 4.10. Исследовать на сходимость ряд 1− 13 + 15 − 17 +...
Решение. Данный ряд – знакочередующийся. Члены его
убывают по абсолютной величине : 1 > |
1 |
> |
1 |
> |
1 |
>... > |
1 |
>.... |
и |
||||
|
1 |
|
|
3 |
|
5 |
|
7 |
|
n |
|
|
|
предел общего члена lim |
|
= 0. |
Следовательно, |
этот |
ряд |
||||||||
2n −1 |
|||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
сходится по теореме 4.10 и его сумма S ≤1.
104