циентов A, B,C и D воспользоваться методом произвольных

2.3. Определенный интеграл

Понятие определенного интеграла возникло и постепенно укрепилось в своем значении, когда целый ряд задач, в первую очередь геометрии и механики, привел к необходимости осуществлять над функциями одну и ту же аналитическую операцию,

содержание которой составлял предельный переход некоторого совершенно определенного типа. Надо отметить, что интегральное исчисление первоначально развивалось независимо от учения о дифференцировании. Только к концу XVII столетия, когда обе эти ветви получили уже значительное развитие и научились решать ― каждая собственными методами―большое количество практических задач, была со всей полнотой раскрыта существовавшая между ними глубокая связь: их основные проблемы оказались двумя взаимно-обратными задачами анализа бесконечно малых величин

52

― интегрирование и дифференцирование функций стоят друг к другу в том же отношении, как сложение и вычитание у чисел.

2.3.1. Определение определенного интеграла

Определение 2.3. Пусть функция f (x) определена на отрезке

∆ xk = xk − xk −1 , называется диаметром разбиения. Выберем про-

извольным образом на каждом из частичных отрезков точку

ξ k [xk −1, xk ] и вычислим значение функции f (ξ k ) в этой точке. Число

n

σ = f (ξ 1) ∆ x1 + f (ξ 2) ∆ x2 +...+ f (ξn ) ∆ xn = ∑ f (ξ k ) ∆ xk ,

k =1

построенное по данному разбиению и точкам ξ k , называется ин-

тегральной суммой или суммой Римана данной функции f (x) на отрезке [a,b].

Замечание. Следует четко представлять, что для заданной функции f (x), x [a,b] таких чисел σ бесконечно много. Они

зависят: 1) от всевозможных вариантов разбиения отрезка [a,b], 2) от выбора точек ξ k , 3) числа n частичных отрезков разбиения.

Определение 2.4. Число I называется пределом интегральных сумм, если как бы мало ни было число ε > 0, найдется такое дру-

гое положительное число δ = δ (ε ) , что при любом разбиении отрезка [a,b], удовлетворяющем требованию <δ, и при любом в ы- боре точек ξ k [xk −1, xk ] справедливо неравенство

n

∑ f (ξ k )∆ xk − I < ε .

k =1

53

Определение 2.5. Функция f (x) называется интегрируемой по Риману на отрезке [a,b], если существует предел I ее интегральных сумм σ , не зависящий ни от способа разбиения отрезка [a,b],

нижним и верхним пределами интегрирования, отрезок [a,b] назы-

вается промежутком интегрирования.

Замечание. Мы видим, что здесь речь идет о своеобразном и

довольно сложном предельном переходе. Процесс, лежащий в основе этого предельного перехода, трудно описать (как обычно мы делали ранее) явным указанием на поведение одной из независимых переменных. Можно за такую переменную принять ∆ (т.е. максимальную длину отрезков разбиения) и описывать процесс при ∆ → 0 , но при этом мы наталкиваемся на трудность, состоящую в том, что интегральная сумма Римана σ , о пределе которой идет речь, как следует из вышеприведенного замечания, не является однозначной функцией переменной ∆. И в такой ситуации для существования определенного интеграла нужно, чтобы вся эта совокупность интегральных сумм имела пределом одно и то же число. Такая сложность в процессе, лежащем в основе интеграции, приводит к некоторым неудобствам―независимость упомянутого предела может быть строго доказана, но это порой утомительно. Это прежде всего касается общей теории. При практическом использовании выручает формула Ньтона-Лейбница, устанавливающая связь между определенным и неопределенным интегралами.

В случае непрерывной неотрицательной функции f (x) понятие определенного интеграла допускает следующую иллюстрацию. С геометрической точки зрения слагаемое f (ξ k ) ∆ xk есть пло-

щадь прямоугольника с основанием, равным длине частичного отрезка [xk −1,, xk ] и высотой f (ξ k ) , равной значению функции f (x)

54

в произвольной точке ξ k этого отрезка. Таким образом, интегральная сумма σ есть площадь ступенчатой фигуры, приведен-

Рис.2.1

2.3.2. Необходимое условие интегрируемости функций. Классы интегрируемых функций

Своеобразие предельного перехода в определении интеграла может привести к убеждению, что определенный интеграл существует лишь в исключительных случаях. Ниже приведен ряд утверждений, показывающий, что класс интегрируемых функций достаточно богат и охватывает широкий круг функций, используемых в практических задачах.

Теорема 2.5. Если функция f (x) интегрируема на отрезке [a,b], то она ограничена на этом отрезке.

Теорема 2.6. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема на этом отрезке.

55