Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Высшая математика - 2.Уч.-практ.пособие.pdf
Скачиваний:
102
Добавлен:
20.02.2016
Размер:
1.66 Mб
Скачать

циентов A, B,C и D воспользоваться методом произвольных

значений. Для

 

 

 

 

этого

в

равенство

 

 

9x3 30x2 + 28x 88 =

= A(x 4)(x2 + 4) + B(x 2)(x2 + 4) +(Cx + D)(x 2)(x 4)

подставим

вместо x последовательно значения x = 2,

 

 

x = 4,

x = 0,

x =1.

Тогда получится система уравнений:

 

 

 

 

 

 

 

 

16A = −80,

40B =120,

16A 8B +8D = −88,

 

 

 

15A 5B +3C +3d = −81.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда получаем те же числа

A = 5,

B = 3,

C =1,

D = 2.

Итак, окончательно имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9x3 30x2 + 28x 88

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

3

 

 

x + 2

(x2 6x +8)(x2 + 4) dx =

 

 

 

dx +

 

 

dx +

 

dx =

x 2

 

x 4

x2 + 4

= 5ln

 

 

 

x 2

 

 

 

+3ln

 

 

 

x 4

 

+

 

 

xdx

+

2dx

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 + 4

x2 + 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 5ln

 

x 2

 

+3ln

 

x

 

+ 1 ln

 

x2

+4

 

+ arctg

x

+C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.3. Определенный интеграл

Понятие определенного интеграла возникло и постепенно укрепилось в своем значении, когда целый ряд задач, в первую очередь геометрии и механики, привел к необходимости осуществлять над функциями одну и ту же аналитическую операцию,

содержание которой составлял предельный переход некоторого совершенно определенного типа. Надо отметить, что интегральное исчисление первоначально развивалось независимо от учения о дифференцировании. Только к концу XVII столетия, когда обе эти ветви получили уже значительное развитие и научились решать ― каждая собственными методами―большое количество практических задач, была со всей полнотой раскрыта существовавшая между ними глубокая связь: их основные проблемы оказались двумя взаимно-обратными задачами анализа бесконечно малых величин

52

― интегрирование и дифференцирование функций стоят друг к другу в том же отношении, как сложение и вычитание у чисел.

2.3.1. Определение определенного интеграла

Определение 2.3. Пусть функция f (x) определена на отрезке

[a,b]. Говорят, что задано разбиение отрезка [a b;] на n

частич-

ных отрезков, если заданы точки x0 , x1, x2

,...xn , такие, что

 

 

a = x0 < x1 < x2...xn1 < xn = b. Отрезки [xk 1

, xk ], где k {1,2,..., n},

называются частичными отрезками, а число ∆= max

x

k

, где

 

k {1,2,...,n}

 

 

xk = xk xk 1 , называется диаметром разбиения. Выберем про-

извольным образом на каждом из частичных отрезков точку

ξ k [xk 1, xk ] и вычислим значение функции f (ξ k ) в этой точке. Число

n

σ = f (ξ 1) ∆ x1 + f (ξ 2) ∆ x2 +...+ f (ξn ) ∆ xn = f (ξ k ) ∆ xk ,

k =1

построенное по данному разбиению и точкам ξ k , называется ин-

тегральной суммой или суммой Римана данной функции f (x) на отрезке [a,b].

Замечание. Следует четко представлять, что для заданной функции f (x), x [a,b] таких чисел σ бесконечно много. Они

зависят: 1) от всевозможных вариантов разбиения отрезка [a,b], 2) от выбора точек ξ k , 3) числа n частичных отрезков разбиения.

Определение 2.4. Число I называется пределом интегральных сумм, если как бы мало ни было число ε > 0, найдется такое дру-

гое положительное число δ = δ (ε ) , что при любом разбиении отрезка [a,b], удовлетворяющем требованию <δ, и при любом в ы- боре точек ξ k [xk 1, xk ] справедливо неравенство

n

f (ξ k )xk I < ε .

k =1

53

Определение 2.5. Функция f (x) называется интегрируемой по Риману на отрезке [a,b], если существует предел I ее интегральных сумм σ , не зависящий ни от способа разбиения отрезка [a,b],

ни от выбора промежуточных точек ξ k ,

а число

I называется

определенным интегралом

функции f (x)

на отрезке [a,b] и обо-

значается b

f (x)dx. Здесь

x называется переменной интегрирова-

a

 

 

a и b

 

ния, f (x)

подынтегральной функцией,

соответственно

нижним и верхним пределами интегрирования, отрезок [a,b] назы-

вается промежутком интегрирования.

Замечание. Мы видим, что здесь речь идет о своеобразном и

довольно сложном предельном переходе. Процесс, лежащий в основе этого предельного перехода, трудно описать (как обычно мы делали ранее) явным указанием на поведение одной из независимых переменных. Можно за такую переменную принять (т.е. максимальную длину отрезков разбиения) и описывать процесс при ∆ → 0 , но при этом мы наталкиваемся на трудность, состоящую в том, что интегральная сумма Римана σ , о пределе которой идет речь, как следует из вышеприведенного замечания, не является однозначной функцией переменной . И в такой ситуации для существования определенного интеграла нужно, чтобы вся эта совокупность интегральных сумм имела пределом одно и то же число. Такая сложность в процессе, лежащем в основе интеграции, приводит к некоторым неудобствам―независимость упомянутого предела может быть строго доказана, но это порой утомительно. Это прежде всего касается общей теории. При практическом использовании выручает формула Ньтона-Лейбница, устанавливающая связь между определенным и неопределенным интегралами.

В случае непрерывной неотрицательной функции f (x) понятие определенного интеграла допускает следующую иллюстрацию. С геометрической точки зрения слагаемое f (ξ k ) ∆ xk есть пло-

щадь прямоугольника с основанием, равным длине частичного отрезка [xk 1,, xk ] и высотой f (ξ k ) , равной значению функции f (x)

54

в произвольной точке ξ k этого отрезка. Таким образом, интегральная сумма σ есть площадь ступенчатой фигуры, приведен-

ной на рис. 2.1,

а ее предел I есть площадь криволинейной трапе-

ции – фигуры,

ограниченной линиями y = f (x), x = a, x = b и

отрезком [a,b].

 

Рис.2.1

2.3.2. Необходимое условие интегрируемости функций. Классы интегрируемых функций

Своеобразие предельного перехода в определении интеграла может привести к убеждению, что определенный интеграл существует лишь в исключительных случаях. Ниже приведен ряд утверждений, показывающий, что класс интегрируемых функций достаточно богат и охватывает широкий круг функций, используемых в практических задачах.

Теорема 2.5. Если функция f (x) интегрируема на отрезке [a,b], то она ограничена на этом отрезке.

Теорема 2.6. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема на этом отрезке.

55