′

2

′

+ x

2

) =1+ x

2

или

Тогда уравнение u v =1+ x

примет вид u

(1

u

′

=1,

du

du = dx , u = x +C .

Значит,

y = (x

+C)(1+ x

2

) −

dx =1,

общее решение исходного дифференциального уравнения.

Подставим

теперь

начальные

условия: x0 = −2,

y0 = 5 .

Тогда

5 = (−2 +C)(1+ 22 ), 5 = (−2 +C) 5,

−2 +C =1,

C = 3. Откуда п о-

В частности, при n = 2 и

m = 0 функция z = f (x, y) называет-

ся однородной нулевой степени,

если

f (tx,ty) = f (x, y) .

Например, функция z

=

x2 + y2

является однородной нулевой

3xy

степени, так как

(tx)2 +(ty)2

=

t2

(x2 + y2 )

=

x2 + y

.

3txty

3t2 (xy)

3xy

Заметим, что для однородной функции нулевой степени вы-

1

1

y

полняется равенство f

x,

y

=

f 1,

,

где x ≠ 0 , а это озна-

x

x

чает, что

x

y

y

z = f 1,

≡

φ

(3.11)

x

x

Определение 3.11. Однородным дифференциальным уравнени-

ем первого порядка называется уравнение

y′ = f (x, y) ,

(3.12)

щью подстановки y = ux,

y

′

= u x +u, где u = u(x) −

некоторая,

′

подлежащая определению,

функция. Если подставить вместо y′ и

y в уравнение (3.12) их выражения через u и x и

учесть при

переменными

u x +u =φ(u) . Разделяя переменные, получаем урав-

′

нение

du

= dx

, которое после интегрирования и замены

φ(u) −u

x

Пример

3.4.

Найти

общее

решение уравнения

(y − x)ydx + x2dy = 0 .

Решение.

Из уравнения

находим, что

y

′

=

(x − y)y

.

Отсюда

x2

заключаем, что z = f (x, y) =

(x − y)y

− однородная функция нуле-

x2

вой

степени.

Положим

y = ux,

y

′

= u x +u . Тогда

теперь

′

′

=

(x −ux)ux

или

′

x2

(1−u)u

;

′

= u −u

2

;

u x +u

x2

u x +u =

x2

u x +u

du

= − dx .

Интегрируя

последнее

равенство,

получим

u2

x

x

−∫

du

= ∫

dx

C

1

x

C

Cx

.

u2

x +ln

;

u

= ln

+ln

;

= ln

y

Следовательно,

y =

x

− искомое общее решение.

ln

Cx