Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Высшая математика - 2.Уч.-практ.пособие.pdf
Скачиваний:
102
Добавлен:
20.02.2016
Размер:
1.66 Mб
Скачать

 

 

 

 

 

2

 

+ x

2

) =1+ x

2

или

 

 

Тогда уравнение u v =1+ x

 

примет вид u

(1

 

 

u

=1,

du

du = dx , u = x +C .

Значит,

y = (x

+C)(1+ x

2

)

dx =1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

общее решение исходного дифференциального уравнения.

 

 

 

 

 

Подставим

теперь

начальные

условия: x0 = −2,

y0 = 5 .

Тогда

5 = (2 +C)(1+ 22 ), 5 = (2 +C) 5,

2 +C =1,

C = 3. Откуда п о-

лучаем, что искомое частное решение имеет вид y = (x +3)(1+ x2 ).

3.2.4. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение 3.10. Функция n переменных x = f (x1, x2 ,..., xn )

называется однородной функцией степени m , если выполняется тождество

f (tx1,tx2 ,...,txn ) = tm f (x1, x2 ,..., xn ) .

В частности, при n = 2 и

 

 

m = 0 функция z = f (x, y) называет-

ся однородной нулевой степени,

 

 

если

f (tx,ty) = f (x, y) .

Например, функция z

=

 

 

x2 + y2

является однородной нулевой

 

 

 

 

 

3xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

степени, так как

(tx)2 +(ty)2

=

 

t2

(x2 + y2 )

=

 

x2 + y

.

3txty

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3t2 (xy)

 

 

 

3xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заметим, что для однородной функции нулевой степени вы-

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

полняется равенство f

x,

 

 

 

 

 

y

 

=

f 1,

 

 

 

,

где x 0 , а это озна-

 

x

 

 

x

чает, что

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z = f 1,

 

 

 

 

 

 

φ

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.11)

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

Определение 3.11. Однородным дифференциальным уравнени-

ем первого порядка называется уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

y′ = f (x, y) ,

 

 

 

 

 

 

 

(3.12)

где f (x, y) однородная функция нулевой степени.

85

Решение однородного уравнения (3.12) будем искать с помо-

щью подстановки y = ux,

y

= u x +u, где u = u(x)

некоторая,

 

 

 

подлежащая определению,

функция. Если подставить вместо yи

y в уравнение (3.12) их выражения через u и x и

учесть при

этом свойство (3.11), то получится уравнение с разделяющимися

переменными

u x +u =φ(u) . Разделяя переменные, получаем урав-

 

 

 

нение

du

= dx

, которое после интегрирования и замены

φ(u) u

 

x

 

u = xy даст решение исходного уравнения.

 

Пример

3.4.

 

Найти

 

 

 

общее

 

 

 

 

решение уравнения

(y x)ydx + x2dy = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

Из уравнения

 

 

находим, что

 

y

=

 

(x y)y

.

Отсюда

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

заключаем, что z = f (x, y) =

 

(x y)y

однородная функция нуле-

 

 

 

x2

вой

степени.

Положим

 

 

 

 

 

 

 

y = ux,

 

 

y

= u x +u . Тогда

 

 

теперь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

(x ux)ux

 

или

 

 

 

 

 

 

 

x2

(1u)u

;

 

 

 

 

= u u

2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u x +u

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

u x +u =

 

x2

 

 

 

 

 

u x +u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

= − dx .

Интегрируя

 

 

 

 

 

последнее

 

 

равенство,

 

получим

u2

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

=

dx

 

C

 

 

1

 

 

 

 

x

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

Cx

 

.

 

 

 

 

u2

x +ln

 

;

 

u

= ln

+ln

;

 

 

= ln

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно,

 

y =

 

 

x

 

 

 

искомое общее решение.

 

 

 

 

 

 

ln

 

Cx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

86