3.Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения возникли практически сразу после становления интегрального исчисления. И действительно, в интегральном исчислении для функций одной переменной мы сталкиваемся с необходимостью отыскивать неизвестную функ-

цию по заданной ее производной. Например, ∫x2dx означает, что

надо найти такую функцию y(x) , что верно равенство y′ = x2 . Это и есть простейшее дифференциальное уравнение, решением кото-

рого, очевидно, есть функция y(x) = x3 +C . Ниже мы увидим, что

3

гораздо чаще приходится иметь дело с уравнениями более сложного вида.

3.1. Понятие обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка и его решения

При решении многих задач математики, физики, биологии, экономики часто приходится отыскивать неизвестную функцию из соотношения, которое связывает независимую переменную x , искомую функцию y = y(x) и ее производные

y′(x), y′′(x), y′′′(x), ..., y(n) (x) .

Так, при исследовании процесса распада радиоактивного вещества установлено, что скорость распада пропорциональна наличному количеству не распавшегося вещества с коэффициен-

минус указывает на тот факт, что с течением времени масса радиоактивного вещества убывает. Переписав полученное уравнение

в виде dxx = −kdt, замечаем, что обе его части можно проинтегри-

ровать и получить в результате соотношение ln x = −kt +ln c . При t = 0 получаем ln x0 = ln c , откуда c = x0 . Значит, x = x0e−kt . Полу-

76

ченная функция x = x0e−kt является решением дифференциального

уравнения. Пользуясь этой функцией, можно определить количество радиоактивного вещества в любой момент времени t , зная его количество x0 в момент t0 . Знание этого позволяет произвести

датировку событий, имеющих место миллионы лет тому назад. Определение 3.1. Обыкновенным дифференциальным уравне-

нием n − го порядка называется соотношение вида

где f − функция, определенная в некоторой области D1 Rn+1, то

говорят, что дифференциальное уравнение разрешено относительно старшей производной. Его в этом случае еще называют

дифференциальным уравнением в нормальной форме.

Дифференциальное уравнение, в которой неизвестная функция y зависит от одной переменной x , называется обыкновенным. Ес-

ли же дифференциальное уравнение содержит функцию многих переменных и ее частные производные, то оно называется диффе-

ренциальным уравнением в частных производных.

изводных.

77

Определение 3.3. Решением дифференциального уравнения (3.1) называется всякая действительная функция y = y(x), опреде-

ленная на интервале (a,b) такая, что:

1)y(x) n раз непрерывно дифференцируема на интервале (a,b) ;

2)точка (x, y(x), y′(x),..., y(n) (x)) D Rn+2 , для всех x (a,b),

где D − область определения функции F ;

3)F(x, y(x), y′(x),..., y(n) (x)) ≡ 0 для всех x (a,b) .

Всякому решению дифференциального уравнения (3.1) на плоскости отвечает некоторая кривая y = y(x) , x (a,b) , которая называется

интегральной кривой дифференциального уравнения (3.1).

Одна из основных задач в теории дифференциальных уравнений является нахождение его решений. В простейших случаях эта задача в конечном итоге сводится к вычислению интегралов. Поэтому процесс нахождения решения дифференциального уравне-

1−sin2 x = cos x, если x (−π2 ; π2 ).

Уже простейшие примеры показывают, что дифференциальные уравнения, как правило, имеют бесчисленное множество решений. В связи с этим, общим решением дифференциального уравнения (3.1) (или (3.2)) обычно называют такое его решение

y =φ(x,C1,C2 ,...,Cn ) , которое содержит столько независимых произвольных постоянных C1,C2 ,...,Cn , каков порядок этого уравне-

ния. Заметим, что понятие общего решения будет уточнено позже. Общее решение, заданное в неявной форме Φ(x, y,C1,...,Cn ) = 0

называют общим интегралом уравнения. Чтобы выделить одно ка- кое-то решение, задают некоторые дополнительные условия.

78