2.9 Етапи дослідження загальної лінійної моделі множинної регресії
Розглядається багатофакторна лінійна регресійна модель
|
|
(2.62) |
що описує залежність між результативною змінною у та деякими впливовими факторами х1, х2, ..., хm. Інформація про значення у, х1, х2, ..., хm міститься у відповідних статистичних даних – n спостереженнях (вимірюваннях) кожного показника.
Для дослідження зазначеної моделі слід виконати такі кроки.
1. За даними спостережень оцінити параметри α1, α2, ..., αm.
2. Для перевірки адекватності отриманої моделі обчислити:
а) залишки
моделі – розбіжності між спостереженими
та розрахунковими значеннями залежної
змінної
б) відносну похибку залишків та її середнє значення;
в) залишкову дисперсію;
г) коефіцієнт детермінації;
д) вибірковий коефіцієнт множинної кореляції.
3. Перевірити статистичну значущість отриманих результатів:
а) перевірити адекватність моделі загалом: за допомогою F-критерію Фішера перевірити гіпотезу
|
|
(2.63) |
проти альтернативної HA: існує хоча б один коефіцієнт аj0;
б) перевірити значущість коефіцієнта множинної кореляції, тобто розглянути гіпотезу H0 : R = 0;
в) перевірити істотність кожного коефіцієнта регресії: за допомогою t-критерію Стьюдента перевірити гіпотезу
|
|
(2.64) |
проти відповідних альтернативних гіпотез
|
|
(2.65) |
г) оцінити вплив кожного регресора на якість моделі, тобто обчислити часткові коефіцієнти детермінації ΔRj2, скоригувати їх за Тейлом і за Амемією та дати їх відповідну інтерпретацію;
д) оцінити вплив окремих груп регресорів на змінювання регресанда, застосувавши F-критерій Фішера.
4. Обчислити та інтерпретувати коефіцієнти еластичності.
5. Визначити довірчі інтервали регресії при рівні значущості .
6. Побудувати довірчі інтервали для параметрів регресії.
7. Обчислити прогнозні значення yр за значеннями x1p, x2p, …, xmp, що перебувають за межами базового періоду, і знайти межі довірчих інтервалів індивідуальних прогнозованих значень і межі довірчих інтервалів середнього прогнозу.
Розглянемо етапи побудови та аналізу економетричних моделей на прикладі:
Практичне завдання 1
|
Дано: |
Статистичні дані - показники депозитів домашніх господарств Х(i) за місяцями 2007 – 2008 р.р. в залежності від строку (табл. 2.5):
|
|
Знайти: |
|
–іпотечні
кредити строком до 1 року;
–іпотечні
кредити строком від 1 року до 5 років;
–іпотечні
кредити на придбання, будівництво та
реконструкцію нерухомості;
–усього
іпотечні кредити.
Таблиця 2.5.
Кредити, надані домашнім господарствам, за цільовим спрямуванням і строками погашення за місяцями 2007-2008р.Р. (залишки коштів на кінець періоду, млн.Грн.)
|
Період |
Усього |
Кредити на поточні потреби |
Іпотечні кредити |
Інші кредити | ||||||||||||||
|
усього |
у тому числі за строками |
усього |
у тому числі за строками |
з них на придбання, будівництво та реконструкцію нерухомості |
у тому числі за строками |
усього |
у тому числі за строками | |||||||||||
|
до 1 року |
від 1 року до 5 років1 |
більше 5 років |
до 1 року |
від 1 року до 5 років1 |
більше 5 років |
до 1 року |
від 1 року до 5 років1 |
від 5 року до 10 років |
більше 10 років |
до 1 року |
від 1 року до 5 років1 |
більше 5 років | ||||||
|
2007 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
січень |
83 489 |
56 789 |
12 626 |
44 162 |
… |
21 105 |
325 |
20 780 |
… |
20 988 |
323 |
20 666 |
… |
… |
5 596 |
195 |
5 401 |
… |
|
лютий |
87 181 |
59 633 |
12 887 |
29 496 |
17 251 |
25 744 |
376 |
2 360 |
23 008 |
21 586 |
342 |
1 985 |
4 728 |
14 532 |
1 803 |
183 |
719 |
901 |
|
березень |
93 262 |
63 695 |
13 503 |
30 522 |
19 670 |
27 607 |
433 |
4 524 |
22 650 |
23 172 |
392 |
2 967 |
4 872 |
14 941 |
1 960 |
217 |
831 |
913 |
|
квітень |
99 339 |
67 736 |
14 058 |
31 661 |
22 017 |
29 625 |
466 |
3 539 |
25 619 |
24 759 |
423 |
3 031 |
5 161 |
16 144 |
1 978 |
213 |
740 |
1 025 |
|
травень |
105 060 |
71 694 |
14 714 |
32 663 |
24 317 |
31 222 |
494 |
3 731 |
26 997 |
26 047 |
447 |
3 198 |
5 434 |
16 967 |
2 145 |
186 |
826 |
1 133 |
|
червень |
111 819 |
76 293 |
15 097 |
34 091 |
27 105 |
33 205 |
524 |
3 766 |
28 916 |
27 754 |
479 |
3 212 |
5 913 |
18 150 |
2 321 |
208 |
864 |
1 249 |
|
липень |
120 244 |
82 655 |
17 084 |
35 763 |
29 809 |
35 049 |
547 |
3 950 |
30 553 |
29 437 |
487 |
3 397 |
6 196 |
19 357 |
2 539 |
190 |
941 |
1 408 |
|
серпень |
127 244 |
87 501 |
17 539 |
37 425 |
32 536 |
36 916 |
519 |
4 142 |
32 254 |
31 229 |
488 |
3 522 |
6 461 |
20 758 |
2 827 |
332 |
983 |
1 512 |
|
вересень |
134 011 |
92 189 |
17 891 |
38 575 |
35 724 |
38 887 |
540 |
4 223 |
34 124 |
33 118 |
504 |
3 577 |
6 724 |
22 314 |
2 934 |
292 |
1 036 |
1 606 |
|
жовтень |
141 712 |
97 513 |
18 684 |
40 444 |
38 385 |
41 077 |
547 |
4 409 |
36 121 |
35 352 |
510 |
3 735 |
7 007 |
24 100 |
3 123 |
282 |
1 066 |
1 775 |
|
листопад |
150 108 |
103 171 |
19 435 |
42 008 |
41 729 |
43 586 |
538 |
4 501 |
38 547 |
37 821 |
499 |
3 749 |
7 425 |
26 149 |
3 351 |
235 |
1 128 |
1 988 |
|
грудень |
160 386 |
110 121 |
19 990 |
44 593 |
45 538 |
46 626 |
534 |
4 568 |
41 523 |
40 826 |
503 |
3 828 |
7 875 |
28 619 |
3 640 |
208 |
1 272 |
2 160 |
|
2008 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
січень |
164 775 |
113 355 |
20 884 |
45 332 |
47 138 |
47 445 |
573 |
4 526 |
42 345 |
41 889 |
524 |
3 808 |
8 034 |
29 523 |
3 976 |
206 |
1 324 |
2 446 |
|
лютий |
174 234 |
120 350 |
22 773 |
47 056 |
50 521 |
50 103 |
685 |
4 618 |
44 800 |
44 221 |
605 |
3 862 |
8 328 |
31 426 |
3 782 |
155 |
1 309 |
2 317 |
|
березень |
183 580 |
126 593 |
23 757 |
48 914 |
53 922 |
53 023 |
825 |
4 785 |
47 413 |
47 173 |
746 |
4 013 |
8 785 |
33 630 |
3 964 |
137 |
1 390 |
2 438 |
|
квітень |
191 899 |
132 109 |
24 826 |
50 123 |
57 160 |
55 294 |
833 |
4 775 |
49 686 |
49 894 |
738 |
3 952 |
9 284 |
35 920 |
4 497 |
139 |
1 409 |
2 949 |
|
травень |
193 546 |
133 933 |
25 894 |
50 077 |
57 962 |
55 157 |
845 |
4 615 |
49 698 |
50 011 |
749 |
3 791 |
9 120 |
36 352 |
4 455 |
148 |
1 377 |
2 930 |
|
червень |
198 650 |
137 291 |
25 429 |
51 063 |
60 800 |
56 746 |
841 |
4 581 |
51 323 |
51 658 |
763 |
3 779 |
9 376 |
37 739 |
4 613 |
149 |
1 401 |
3 063 |
Хід виконання:
Вивчення зв'язку між трьома і більше зв'язаними між собою ознаками носить назву множинної (багатофакторної) регресії.
У
нашому випадку залежна змінна – усього
іпотечні кредити (тис.грн), позначимо
.
Пояснюючі змінні:
–іпотечні
кредити строком до 1 року;
–іпотечні
кредити строком від 1 року до 5 років;
–іпотечні
кредити на придбання, будівництво та
реконструкцію нерухомості;
Число спостережень n=9.
Вимагається побудувати статистичну модель, що виражає залежність результативної ознаки від чотирьох пояснюючих змінних – факторів і проаналізувати побудовану модель.
Загальна множинна лінійна регресійна модель може бути записана у вигляді:
|
|
(2.66) |
де 
– незалежні змінні (фактори);
–параметри
моделі;
ɛ – чисто випадкова величина.
У нашому випадку маємо модель множинної регресії з 3 факторами:
|
|
(2.67) |
Багатофакторна модель (2.67) може бути записана у вигляді:
|
|
(2.68) | ||
|
де |
|
– векторний стовпець розмірності; | |
|
|
|
– вектор-стовбець
розмірності
| |
|
|
Х
– матриця спостережень розмірності
| ||
|
|
Е
– вектор – стовпець розмірності
| ||
невідомих параметрів рівняння;
;
випадкових величин – помилок.Вектор невідомих параметрів ми знаходимо методом найменших квадратів (МНК), мінімізуючи суму квадратів залишків:
|
|
(2.69) |
Після знаходження часних похідних і прирівнявши їх до нуля, після відповідних перетворень ми одержимо систему з (р+1) невідомим:
|
|
(2.70) |
У нашому випадку ми маємо:
|
|
(2.71) |
У матричному вигляді (т.к.р.=3, n=9):
|
|
(2.72) |
У скороченому вигляді можна записати:
|
|
(2.73) |
Звідси одержуємо рівняння для знаходження невідомих параметрів в матричному вигляді:
|
|
(2.74) | |
|
де |
| |
З таблиці 1 одержуємо, що
Значення
для матриць беремо з таблиці 1 з рядка
«РАЗОМ» і стовпців, а також стовпці
в,
враховуючи, що n=9.
Потім
знаходимо зворотну матрицю
і множимо її на матрицю
.
В результаті одержуємо вектор-стовпець із знайденими параметрами регресійної моделі:
Тепер можемо записати лінійну модель множинної регресії:
.
Коефіцієнт детермінації
– так називають квадрат R
– коефіцієнта множинної кореляції.
Його шукаємо по формулі:
|
|
(2.75) |
|
|
|
Використовуючи
таблицю 1 рядок «РАЗОМ» стовпців
і,
знаходимо, значить, рівняння регресії
достовірне. Коефіцієнт детермінації
показує, що 99,95%
варіації залежної ознаки (Y)
пояснюється включеними в модель
факторами.
R=0,99 – чим ближче до 1 коефіцієнт множинної кореляції, тим більше сильний зв'язок між Y і безліччю Х.
Для подальших розрахунків скористаємося таблицею:
Таблиця 2.6