2.4 Метод найменших квадратів

В економічних дослідженнях найбільш широке використання знайшли моделі лінійної регресії, хоча це і є спрощений засіб в моделюванні реальних економічних процесів. Ґрунтовне вивчення і застосування методики побудови лінійних моделей надає необхідну теоретичну базу для створення більш складних, нелінійних моделей, які в більшій мірі відповідають реальним економічним процесам.

Прості лінійні регресійні моделі встановлюють лінійну залежність між двома змінними.

	Залежна змінна	Незалежна змінна
Приклад 1	обсяги резервів банку	склад кредитного портфелю
Приклад 2	обсяги витрат банку	обсяги депозитів
Приклад 3	зміни рейтингу банку	фактор часу

Залежна та незалежна змінні

одна із змінних вважається залежною змінною () та розглядається як функція від незалежної змінної ().

Якщо в рівняння включено лише одну пояснюючу змінну, то одержуємо теоретичну модель, яка дістала назву парної лінійної регресії:

(2.16)

Теоретичну модель для парної лінійної регресії можна записати наступним чином:

(2.17)

або у векторно-матричній формі, співвідношення (2.17) буде мати такий вигляд:

		(2.18)
де

Для визначення теоретичних коефіцієнтів α₀, α₁ необхідно буде використати всі значення (х_і, у_і) зміннихY і Х генеральної сукупності, що практично здійснити не можливо. Тому переходимо до побудови так званого емпіричного рівняння на базі інформації, одержаної із статистичної вибірки.

Емпіричне рівняння регресії має вигляд:

(2.19)

який аналогічно із теоретичною моделлю, запишемо у векторно-матричній формі:

		(2.20)
де	.

Метод найменших квадратів

У загальному вигляді проста вибіркова регресійна модель запишеться так:

(2.21)

де – вектор спостережень за залежною змінною;;

–вектор спостережень за незалежною змінною; ;

–невідомі параметри регресійної моделі;

ɛ – вектор випадкових величин (помилок); .

Лінійна регресійна модель

Регресійна модель називається лінійною, якщо вона лінійна за своїми параметрами. Отже, модель (2.21) є лінійною регресійною моделлю, її ще можна трактувати і як пряму на площині, де – перетин з віссю ординат, а– нахил (звичайно, якщо абстрагуватися від випадкової величини).

Щоб мати явний вид залежності, необхідно знайти (оцінити) невідомі параметри цієї моделі. Як це зробити? Яким критерієм краще користуватися? Щоб відповісти на ці запитання, розглянемо спочатку приклад.

ПРИКЛАД регресійної моделі. Відділ економічного аналізу комерційного банку оцінює ефективність кредитного відділу. Для такої оцінки вони мають досвід праці у 5 географічних зонах з майже однаковими умовами (потенційні клієнти, ставлення до даного банку і т. ін.). У цих зонах вони зафіксували протягом однакового періоду обсяги виданих кредитів та витрати банку, пов’язані з рекламною компанією (млн. грн.). Дані наведені в табл.2.2.

Таблиця 2.2