СБОРНИК ЗАДАЧ

Р е ш е н и е . Емкостное сопротивление конденсатора

Полное сопротивление цепи

Z = R2 + XC2 = 25,4 Îì.

Действующее значение напряжения (показание вольтметра)

U = Um 2 = 179 2 = 127 В. Действующее значение тока (показание амперметра)

I = UZ = 5 А. Показание ваттметра (активная мощность цепи)

P = UIcosϕ = 127 5 0,394 = 250 Âò èëè P = RI 2,

ãäå cosϕ = RZ = 1025,4 = 0,394 .

Угол сдвига фаз напряжения и тока

ϕ = ψu − ψi = −66 48′

(минус говорит о том, что ток опережает напряжение). Реактивная мощность

QC = −XC I 2 = UIsinϕ = −585 âàð.

Полная мощность

S = UI = P2 + Q2 = 635 ·À.

Для построения векторной диаграммы (рис. 2.3, б) определяем падения напряжения на реостате UR и конденсаторе UC :

UR = RI = 50 Â; UС = XC I = 117 Â.

Начинаем построение с вектора тока I , одинакового для обоих участков цепи. Затем откладываем векторы напряжения U R , совпадающего по фазе с током, и напряжения UC , отстающего по фазе от тока на угол π2 .

50

Запишем выражения для мгновенных значений тока i и напряжений uR è uC :

i = 5 2sin(ωt + 45° + 66°48′) = 7,05sin(ωt + 111 48′) À; uR = 50 2sin(ωt + 111°48′) Â;

uC = 117 2sin(ωt + 11°48′ − 90°) = 165sin(ωt + 21°48′) Â.

Диаграммы i(ωt) è u(ωt) приведены на рис. 2.3, в.

Задача 2.5. К источнику напряжением u = 240sin(1000 t + π12) Â

подключена катушка, ток в которой i = 12sin(1000t − π4) А. Построить диаграммы u(ωt) , i(ωt) и векторную диаграмму напряжения и тока. Определить индуктивность и активное сопротивление катушки.

Р е ш е н и е . Сравнение заданных уравнений с аналогичными уравнениями синусоидального напряжения и тока, записанными в общем виде (u = Umsin(ωt + ψu), i = Imsin(ωt + ψi )), позволяет определить следующие величины:

а) амплитудные и действующие значения напряжения и тока:

б) угловую частоту:

ω = 1000 ðàä/ñ;

в) начальные фазы напряжения и тока:

ψu = π12 ðàä; ψi = −π4 ðàä.

Диаграмма изменения мгновенных значений и векторные диаграммы амплитудных и действующих значений напряжения и тока приведены на рис. 2.4.

Из диаграмм следует, что ток отстает по фазе от напряжения на угол ϕ = ψu – ψi = π12 – (–π4) = π3 ðàä.

Полное сопротивление катушки

Z = UI = UmIm = 24012 = 20 Îì.

51

Ð è ñ . 2 . 4

Активное и индуктивное сопротивления катушки

R = Z cosϕ = 20 0,5 = 10 Îì;

Задача 2.6. Íà ðèñ. 2.5 а приведена диаграмма мгновенных зна-

схемы замещения катушки (рис. 2.5, б), а также активную, реактивную и полную мощности цепи. Построить векторную диаграмму тока и напряжения, треугольник сопротивлений катушки и диаграмму мгновенной мощности p(t) .

Полное сопротивление катушки

Z = UI = UmIm = 20Îì.

Определяем активное и индуктивное сопротивления катушки:

R = Zcosϕ = 20cos π = 20 0,5 = 10Îì; XL = Zsinϕ = 17,32Îì, 3

52

Ð è ñ . 2 . 5

ãäå ϕ = t1 2π = π – угол, на который ток отстает по фазе от на-

T 3 пряжения.

Индуктивность катушки

Активную, реактивную и полную мощности определяем двояко:

P = RI 2 = 10 12 = 10Âò; P = UIcosϕ = 20 1 0,5 = 10Âò;

Q = XLI 2 = 17,32 12 = 17,32 âàð;

Q = UIsinϕ = 20 1 3 = 17,32 âàð; 2

S = ZI 2 = 20 12 = 20 Â À; S = UI = 20 1 = 20 Â À.

Диаграмма мгновенной мощности p = ui приведена на рис. 2.5, а (кривая p(t) ). Она может быть получена умножением ординат кривых тока и напряжения. Векторная диаграмма напряжения и тока, а также треугольники мощностей и сопротивлений даны на рис. 2.5 в–д соответственно.

Задача 2.7. На рис. 2.6 приведена диаграмма мгновенной мощности цепи синусоидального тока. Определить коэффициент мощности цепи.

Р е ш е н и е . Мгновенная мощность цепи синусоидального тока

53

p = ui = UIcosϕ − UIcos(2ωt − ϕ)= P − Scos(2ωt − ϕ),

ãäå P = UIcosϕ – активная мощность; S = UI – полная мощность цепи.

Из уравнения мгновенной мощности и рис. 2.6 следует, что мгновенная мощность изменяется с двойной частотой тока от положительного значения P + S = 80 ·À до отрицательного значения

P – S = –20 ·À.

Среднее значение мгновен-

ной мощности есть активная мощность цепи

= (P + S) + (P − S) =

P

2

= 80 − 20 =

30 Âò.

2

Полная мощность S числен- Ð è ñ . 2 . 6 но равна амплитуде колебаний

мгновенной мощности относительно ее среднего значения:

S = (P + S) − P = 80 − 30 = 50 Â À.

Коэффициент мощности цепи

cosϕ = PS = 3050 = 0,6.

Задача 2.8. Лампа накаливания мощностью P = 60 Вт с номинальным напряжением Uíîì= 120 В подключена последовательно с конденсатором к сети синусоидального напряжения U = 220 Â.

Частота напряжения сети f = 50 Гц. Рассчи- тать емкость конденсатора, при которой напряжение на лампе будет равным номи-

нальному.

Р е ш е н и е . Ток цепи определим, используя номинальные данные лампы:

I = PUíîì = 60120 = 0,5 À.

Воспользовавшись векторной диаграммой (рис. 2.7), найдем падение напряжения на кон-

54

Задача 2.9. К источнику напряжением U = 220 В и частотой f = 50 Гц подключили последовательно катушку (R = 40 Îì, L = 223 мГн) и конденсатор емкостью С = 31,8 ìêÔ (ðèñ. 2.8, а). 1. Определить ток, активную, реактивную и полную мощности цепи. Построить векторную диаграмму. 2. При какой частоте в цепи возникает резонанс? Как изменятся при этом ток и мощность цепи?

Р е ш е н и е. 1. В последовательной цепи

Активная мощность цепи

P = RI 2 = 40 42 = 640 Âò.

Полная мощность цепи

S = UI = 240 4 = 800 Â À.

Реактивная мощность цепи

Q = UIsinϕ = − S2 − P2 = −480 âàð.

Ð è ñ . 2 . 8

55

Поскольку емкостное сопротивление XC = 1 (2πfC) = 100 Ом больше индуктивного сопротивления XL = 2πfL = 70 Îì , òî òîê

опережает по фазе напряжение источника на угол ϕ = −36,9

(tgϕ = (XL − XC )R = − 0,75).

Находим напряжения на катушке и конденсаторе:

URL = ZRLI = R2 + XL2 I = 402 + 702 4 = 322,4 Â;

UC = XC I = 100 4 = 400 Â.

Векторная диаграмма тока и напряжений приведена на рис. 2.8, б. 2. Условием возникновения резонанса напряжений в последовательной цепи является равенство индуктивного и емкостного со-

противлений: ω0L = 1 (ω0C), èëè 2πf0L = 1 (2πf0C), откуда резонансная частота

Ток при резонансе имеет максимальное значение и совпадает по

Находим активную, полную и реактивную мощности резонансной цепи:

P0 = RI02 = 1000 Âò; S0 = UI0 = 1000 Â À;

Q0 = S02 − P02 = 0.

Напряжения на катушке и конденсаторе в резонансном режиме увеличиваются:

URL(0) = R2 + (2πf0L)2 I0 = 465Â;

Векторная диаграмма тока и напряжений в резонансном режиме дана на рис. 2.8, в.

56

Задача 2.10. Â öåïè (ðèñ. 2.9, а) U = 100 Â, R1 = 30 Îì, R2 = 50 Îì, XL = 90 Îì, XС = 30 Ом. Построить топографическую диаграмму и определить по ней напряжение между точками с è е.

Ð å ø å í è å . Òîê â öåïè

Определяем напряжения на отдельных элементах цепи:

UR1 = R1I = 30 Â; UL = XLI = 90 Â;

UR2 = R2I = 50 Â; UC = XC I = 30 Â.

Для построения топографической диаграммы произвольно располагаем вектор тока (рис. 2.9, б) и относительно него ориентируем векторы напряжений в той же последовательности, в какой расположены элементы цепи. При этом направление обхода цепи вы-

щий по фазе от вектора тока на 90°. Из конца вектора UC (точка d)

Ð è ñ . 2 . 9

57

строим вектор напряжения U R2 , совпадающий по фазе с вектором тока. Аналогично откладываем остальные векторы диаграммы. На- чала и концы векторов обозначаем буквами, соответствующими точкам схемы.

Чтобы найти напряжение между точками с è е, проводим на топографической диаграмме вектор Uec, соединяющий точки с è е. Измерив длину вектора и умножив ее на принятый масштаб, получаем: Uec = 58 Â.

Для сравнения на рис. 2.9, в приведена векторная диаграмма, построенная без учета соответствия порядка расположения векторов последовательности элементов цепи. Недостатком этой векторной диаграммы является невозможность определения напряжения между любыми точками цепи.

Задача 2.11. К сети напряжением 220 В последовательно подключены катушка и реостат. Катушка потребляет активную мощность Р1 = 250 Âò ïðè cosϕ1 = 0,6, а реостат – Р2 = 800 Âò (ðèñ. 2.10, а). Определить ток и коэффициент мощности цепи.

Р е ш е н и е . Реактивная мощность катушки и цепи

Q = QL = P1tgϕ1 = 250 1,33 = 332,5âàð.

Активная мощность цепи равна сумме активных мощностей обоих приемников:

P = P1 + P2 = 250 + 800 = 1050 Âò.

Полная мощность цепи

S = UI = P2 + QL2 = 1100 Â À.

Треугольники мощностей катушки и цепи приведены на рис. 2.10, б.

Ð è ñ . 2 . 1 0

58

Òîê I = SU = 1100220 = 5 À , а коэффициент мощности всей цепи cosϕ = PS = 10501100 = 0,955.

Задача 2.12. При электрической дуговой сварке на переменном токе частотой 50 Гц в дуге развивается мощность Рä = 1000 Вт при токе 40 А. Напряжение источника U = 60 В. Для обеспечения необходимого напряжения на дуге последовательно с ней вклю- чена катушка индуктивности, активное сопротивление которой Rê = 0,275 Îì (ðèñ. 2.11, а). Определить индуктивность катушки. Каким должно быть сопротивление реостата Rð, которым можно заменить катушку? Определить КПД и коэффициент мощности цепи с катушкой и реостатом.

Р е ш е н и е . Сопротивление дуги

Rä = PäI 2 = 1000402 = 0,625 Ом. Полное сопротивление цепи

Z = UI = 6040 = 15, Îì. Òàê êàê Z = (Rê + Rä )2 + XL2 , òî

XL = 2πfL = Z2 − (Rê + Rä )2 = 12, Ом. Отсюда индуктивность катушки

L = XL(2πf) = 3,82 ìÃí.

Векторная диаграмма напряжений и тока цепи приведена на рис. 2.11, б.

Ð è ñ . 2 . 1 1

59