СБОРНИК ЗАДАЧ

= − j50 = 50e− j90 Â.

Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора равно входному сопротивлению пассивной цепи между точками a è b при разомкнутой ветви с нагрузкой Z (ðèñ. 2.35, в):

Согласно схеме, приведенной на рис. 2.35, г, ток нагрузки

I= Eý(Zý + Z).

Âнагрузке максимальная мощность выделяется в том случае, когда комплекс ее сопротивления является сопряженным комплексу внутреннего сопротивления эквивалентного генератора (согласованный режим):

Z = R + jX = Zý = Rý + jXý = (25 + j50) Îì.

При этом ток и активная мощность нагрузки соответственно равны:

Задача 2.36. Определить мощность в резисторе сопротивлением R (ðèñ. 2.36, а), åñëè U = 100 Â, X1 = 100 Îì, X2 = 50 Îì, X3 = 40 Îì, X4 = 60 Îì, R = 200 Îì.

Р е ш е н и е . Ток в ветви с сопротивлением R находим методом эквивалентного генератора. Размыкаем расчетную ветвь (рис. 2.36, б) и вычисляем токи:

90

Ð è ñ . 2 . 3 6

Напряжение на зажимах разомкнутой ветви

U ab x = (− jX1)I1õ − jX3 I 2õ = (− j100) j2 − j40 j5 = 400 Â.

Закоротив источник напряжения, определим входное сопротивление цепи по отношению к зажимам расчетной ветви (рис. 2.36, в):

Мощность, выделяющаяся в резисторе,

P = RI 2 = 200 1,352 ≈ 365 Âò.

Задача 2.37. В линии электропередачи длиной 10 км потеря напряжения не должна превышать 5% напряжения в конце линии (U2 = 10 êÂ) . Активное и индуктивное сопротивления 1 км линии – соответственно R0 = 0,4 Îì/êì è Х0 = 0,4 Ом/км. Какую максимальную мощность P2 можно передать по линии при cosϕ2 = 1 è 0,8 (ϕ2 > 0) ?

Р е ш е н и е . Поскольку в условии задано значение потери напряжения в линии относительно напряжения U2 , òî

Uë % = U1 − U2 100% = 5%.

U2

91

Это позволяет определить напряжение в начале линии:

U1 = U2 + U2 Uë % = 10 + 10 5% = 10,5 êÂ. 100% 100%

Потерей напряжения в ЛЭП называют разность модулей напряжения в начале и в конце линии:

Uë = U1 − U2 = 10,5 − 10 = 0,5 êÂ.

От потери напряжения в линии следует отличать падение напряжения в линии U ë , представляющее собой геометрическую разность векторов напряжения в начале и конце линии:

U ë = U1 − U 2 = Z ë I.

Для дальнейшего решения задачи строим векторные диаграммы при cosϕ2 = 1 (ðèñ. 2.37, а) è cosϕ2 = 0,8 (ðèñ. 2.37, б).

Диаграммы построены на основании указанных ниже положений.

1. Напряжение в начале линии (U1) равно геометрической сумме векторов напряжения в конце линии (U2) и падения напряжения в линии (Uë ) : U1 = U 2 + U ë .

Ð è ñ . 2 . 3 7

92

2. На векторной диаграмме, приведенной на рис. 2.37, а, òîê I совпадает по фазе с напряжением U 2 (òàê êàê cosϕ2 = 1 ), а на диаграмме, изображенной на рис. 2.37, б, он отстает по фазе от напряжения U 2 íà óãîë ϕ2 = 37° ( cosϕ2 = 0,8 ).

3. На обеих векторных диаграммах угол сдвига по фазе ϕë между векторами тока I и падения напряжения в линии U ë определяется соотношением активного и индуктивного сопротивлений линии:

ϕë = arctg XL = arctg10X0 = arctg1 = 45 .

R10R0

По диаграмме (рис. 2.37, а), используя теорему косинусов

U12 = U22 + Uë2 − 2U2Uëcos(180° − ϕë ),

находим падение напряжения в линии: Uë = 0,68 кВ . Ток линии

Передаваемая активная мощность P2 = U2Icosϕ2 = 1,2 МВт. Аналогичный расчет выполняем при cosϕ2 = 0,8 (ðèñ. 2.37, б):

U12 = U22 + Uë2 − 2U2Uëcos(180 − ϕë + ϕ2),

откуда

Таким образом, при неизменной потере напряжения максимальное значение передаваемой по ЛЭП мощности существенно зависит от коэффициента мощности нагрузки (1,2 и 0,71 МВт).

Задача 2.38. В конце линии электропередачи (рис. 2.38, а) с активным сопротивлением Rë = 0,1 Ом и индуктивным сопротивлением Xë = 0,4 Ом подключен приемник, потребляющий ìîù-

93

Ð è ñ . 2 . 3 8

ность P2 = 20 кВт при напряжении U2 = 380 Â è cosϕ2 = = 0,9 (ϕ2 > 0). Определить напряжение U1 в начале линии, падение

èпотерю напряжения, КПД линии.

Ðе ш е н и е . Ток потребителя и линии электропередачи

Он отстает по фазе от напряжения U2 íà óãîë ϕ2 = 26° (ðèñ. 2.38, б). Если вектор U 2 совместить с осью действительных величин, то

комплексное действующее значение тока запишется в виде

U1 = U 2 + U ë = 380 + 24,2å j50 = 395,5 + j18,5 = 395,7å j2 40′ Â.

Потеря напряжения в линии

Uë = U1 − U2 = 395,7 − 380 = 15,7 Â.

Потеря мощности в линии

P = RëI 2 = 0,1 58,52 = 343 Âò.

94

Коэффициент полезного действия линии

Здесь ω = 2πf = 314 ñ−1; ϕ2 = arccos0,6 = 53°10′; tgϕ2 = 1,33;

ϕ′2 = arccos0,95 = 18°10′; tgϕ′2 = 0,328. Подставив числовые значения, получим:

Для определения напряжения в начале линии представим нагрузку эквивалентной последовательной схемой замещения из резистивного и индуктивного элементов. Ее параметры:

Rí = P2I 2 = 0,545 Îì; Xí = Rítgϕ2 = 0,72 Îì.

95

Тогда полное сопротивление линии и нагрузки

Z= (Rë + Rí )2 + (Xë + Xí )2 =

=(0,05 + 0,545)2 + (0,06 + 0,72)2 = 0,983 Ом. Напряжение в начале линии

U1 = ZI = 242 0,983 = 238 В. Потеря напряжения в линии

Uë = U1 − U2 = 238 − 220 = 18 Â.

Относительная потеря напряжения

Здесь P1 = P2 + Pë – мощность, поступающая от источника. Ïðè

этом КПД линии η = 100 − Pë % = 91,6% .

Режим работы с компенсирующей емкостью рассчитываем аналогично (величины, относящиеся к этому режиму, отмечаем штрихом).

Ток линии

I′ = P2U2cosϕ′2 = 153 À .

Параметры эквивалентной схемы замещения нагрузки (вместе

96

Напряжение в начале линии U1′ = Z′I′ = 15, 153 = 230 В . Потеря напряжения в линии

Uë′ = U1′ − U2 = 230 − 220 = 10 Â.

Относительная потеря напряжения в линии

Коэффициент полезного действия линии

η′ = 100 − 3,48 = 96,52%.

Таким образом, увеличение коэффициента мощности снижает потери напряжения и мощности в питающих сетях, повышает экономичность их работы. Работа сетей с высоким коэффициентом мощности обеспечивает также более благоприятные (экономич- ные) режимы работы электрических станций.

вить баланс мощностей. Построить топографическую диаграмму. Р е ш е н и е . Расположим вектор ЭДС E1 по действительной

оси комплексной плоскости, тогда:

E1 = E1 = 250 Â;

E2 = E2e− j36,9 = 200e− j36,9 = (160 − j120) Â.

97

Ð è ñ . 2 . 4 0

Произвольно обозначаем на схеме условное положительное направление тока. По второму закону Кирхгофа записываем уравнение

E1 − E2 = (R1 + jXL + R2 − jXC )I

èëè

R1I + jXL I + U 2 + R2 I − jXC I − U1 = 0

и определяем комплекс действующего значения тока:

=153å j53,1 = 2å j60 À. 75å− j6,9

Комплексы напряжений на элементах цепи:

При построении топографической диаграммы (рис. 2.40, б) откладываем на комплексной плоскости вектор тока. Обходя контур

98

навстречу току начиная с точки f, потенциал которой принимаем за исходный, откладываем поочередно векторы напряжений в соответствии с последовательностью расположения элементов цепи.

Проверкой правильности решения задачи может служить уравнение баланса активных и реактивных мощностей генераторов и приемников энергии

ΣSãåí = ΣSприем

èëè

ΣE I = ΣRI 2 + Σj(XL − XC )I 2.

Для рассматриваемой цепи уравнение баланса мощностей име-

Подставляем числовые значения в уравнение баланса мощностей:

составить баланс мощностей и построить совмещенные топографическую диаграмму напряжений и векторную диаграмму токов.

Р е ш е н и е . Записываем ЭДС и сопротивления элементов в комплексной форме:

E1 = E1 = 250 Â;

99