СБОРНИК ЗАДАЧ
.pdfÐ è ñ . 3 . 9
Так как трехфазная цепь симметрична, то расчет ведем для одной фазы (рис. 3.9, б) с общим сопротивлением
Z = Z |
ë |
+ Z |
Υ |
= 1 + j2 + 5 + j6 |
= 6 + j8 |
= 10å j53° Îì. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Линейный ток цепи |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Ië |
= |
Uô.ã |
= |
220 |
= 22 À, |
|
|
|
|
|
|
|
Z |
10 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ãäå Uô.ã = Uë.ã |
|
3 |
– фазное напряжение генератора; Z – модуль |
полного сопротивления одной преобразованной фазы.
При соединении симметричной нагрузки треугольником фаз-
ный ток меньше линейного в |
3 : |
|
||
Iô = |
Ië |
= |
22 |
= 12,7 À. |
|
|
|||
3 |
3 |
|
Фазное напряжение нагрузки находим двумя способами:
Uô.í = ZôIô = 152 + 182 12,7 = 297 Â
èëè
Uô.í = 3ZΥ IË = 3 7,8 22 = 297 Â.
130
Здесь UôΥ = ZΥ Ië = 172 В – фазное напряжение эквивалентной звезды нагрузки.
Падение напряжения в каждой фазе ЛЭП
U = ZëIë = 12 + 22 22 = 49,2 В. Потеря линейных напряжений
Uë = Uë.ã − Uë.í = 380 − 297 = 83 Â.
Векторная диаграмма напряжений приведена на рис. 3.9, в. Задача 3.11. Два трехфазных активно-индуктивных симме-
тричных приемника, подключенных параллельно к сети напряжением Uë = 220 В, потребляют мощности P1 = 10 êÂò è P2 = 7,5 кВт при коэффициентах мощности cosϕ1 = 0,82 è cosϕ2 = 0,5. Определить ток в общей цепи и коэффициент мощности всей цепи.
Р е ш е н и е . Реактивные мощности приемников равны соответственно:
Q1 = P1tgϕ1 = 10 0,7 = 7 êâàð;
Q2 = P2tgϕ2 = 7,5 1,73 = 13 êâàð.
Находим активную P, реактивную Q и полную S мощности всей цепи:
P = P1 + P2 = 17,5 êÂò; Q = Q1 + Q2 = 20 êâàð;
S = 3UëI = P2 + Q2 = 17,52 + 202 = 26,6 êÂ∙À.
Ток в общей цепи
|
S |
|
26,6 103 |
|
I = |
|
= |
|
= 70 À. |
|
|
|||
|
3Uë |
|
3 220 |
Коэффициент мощности всей цепи
ϕ = P = 17,5 =
cos 0,66.
S26,6
Задача 3.12. От сети трехфазного тока с Uë = 380  è f = 50 Гц питается симметричная активно-индуктивная нагрузка, мощность которой P = 100 êÂò è cosϕí = 0,6. Определить емкость соединенных звездой конденсаторов, необходимых для повышения cosϕ до 0,9 (рис. 3.10, а). Как изменится емкость при включении конденсаторов треугольником для получения необходимого cosϕ?
131
Ðè ñ . 3 . 1 0
Ðе ш е н и е . Ток нагрузки
|
P |
|
100 103 |
|||
Ií = |
|
= |
|
|
= 254 À. |
|
3Uëcosϕí |
3 380 |
0,6 |
||||
|
|
|
Ток, потребляемый из сети после подключения конденсаторов,
I = |
P |
= |
100 103 |
= 169 À. |
3Uëcosϕ |
3 380 0,9 |
Из векторной диаграммы рис. 3.10, б следует, что ток батареи конденсаторов
Ic = UôωCΥ = ILí − IL = Iísinϕí − Isinϕ = = 254 0,8 − 169 0,44 = 128,5 À.
Емкость одной фазы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
CΥ |
= |
Ic |
= |
128,5 |
|
= 1860 ìêÔ. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
ωUô |
314 |
220 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Емкость может быть рассчитана также по формуле |
|
|
||||||||||||||||
C |
Υ |
= |
Pô |
(tgϕ − tgϕ) = |
|
P |
3 |
|
|
(tgϕ |
í |
− tgϕ) = |
100 |
103 3 |
× |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
ωUô2 |
í |
|
|
ω (Uë |
3)2 |
|
|
|
314 |
2202 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× (1,33 − 0,49) = 1860 ìêÔ.
132
При подключении конденсаторов треугольником Uô = Uë, ò.å.
напряжение конденсаторов возрастает в |
3 ðàç: |
|||||
C = |
Pô |
(tgϕ |
í |
− tgϕ) = |
CΥ |
= 620 ìêÔ. |
|
|
|||||
|
ωUô2 |
3 |
|
|||
|
|
|
Значит, целесообразной схемой соединения конденсаторов является треугольник.
Задача 3.13. В трехфазной цепи (рис. 3.11) Uë = 380 Â, Ra = 44 Îì, Rb = 22 Îì, Rс = 14,7 Îì, R = 26 Îì, X = 26 Ом. Определить показания всех амперметров.
Р е ш е н и е . Находим токи приемников, соединенных звездой (показания амперметров А1, А2, А3):
IaΥ = |
Uë |
= |
220 |
= 5 À; IbΥ = |
|
Uë |
= |
220 |
= 10 À; |
||||
3Ra |
44 |
|
|
22 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3Rb |
|
|||||
|
|
IcΥ |
= |
U |
ë |
= |
220 |
= 15 À. |
|
|
|||
|
|
|
|
14,7 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
3Rc |
|
|
|
|
|
|||
Фазные токи симметричного приемника, соединенного тре- |
|||||||||||||
угольником, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Iab = Ibc |
= Ica = I |
ô = |
|
Uë |
= |
|
380 |
= 10,4 À. |
|||||
|
|
262 + 262 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
R2 + X2 |
|
|
Ð è ñ . 3 . 1 1
133
Линейные токи этого приемника (показания амперметров А ) |
|||||||||||||||
|
|
|
Ia |
= Ib |
= Ic |
= Ië = |
3Iô = |
3 10,4 = 18 À. |
|||||||
Токи на общих участках цепи Ia, Ib, Ic |
определяются по первому |
||||||||||||||
закону Кирхгофа геометрической суммой линейных токов прием- |
|||||||||||||||
ников и могут быть найдены графически с помощью векторной |
|||||||||||||||
диаграммы (рис. 3.12). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Задача может быть решена аналитически комплексным мето- |
|||||||||||||||
дом. Совмещаем вектор Ua с осью действительных величин ком- |
|||||||||||||||
плексной плоскости (рис. 3.12). Тогда комплексные фазные и ли- |
|||||||||||||||
нейные напряжения равны соответственно: |
|
|
|
||||||||||||
|
U |
a |
= 220 Â; U |
b |
= 220å− j120 |
Â; U |
с |
= 220å j120 Â; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
U |
ab |
= 380å j30 |
Â; U |
bc |
= 380å− j90 Â; U |
ca |
= 380å j150 Â. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ð è ñ . 3 . 1 2
134
Рассчитываем токи несимметричного приемника: |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I aΥ = |
|
U |
a |
= |
220 |
= 5 À; |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ra |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44 |
|
|
|
|||||
I bΥ |
= |
|
|
U |
b |
|
= |
220å− j120 |
|
= 10å |
− j120 |
= −5 − j8,67 À; |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
Rb |
22 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
I cΥ = |
|
U |
c |
|
= |
220å j120 |
|
= 15å j120 |
= −7,5 + j13 À. |
||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||
|
Rc |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
14,7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ток нейтрального провода |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
I N |
= I aΥ + I bΥ + I cΥ = −7,5 + j4,33 = 8,66å j150 |
À. |
Определяем комплексные фазные и линейные токи симметрич- ного приемника:
I ab |
= |
|
|
U |
ab |
|
= |
|
380å j30 |
= 10,4å |
− j15 |
= 10 − j2,7 À; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Z |
|
|
26 + j26 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
I bс = |
|
U |
bс |
|
= |
|
380å− j90 |
= 10,4å− j135 = −7,35 − j7,35 À; |
||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||
|
Z |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 + j26 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
I ca |
= |
|
U |
ca |
|
= |
380å j150 |
|
= 10,4å j105 |
= −2,7+ j10 À; |
||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Z |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 + j26 |
|
|
|
|
|
|||||||||
I a |
|
|
= I ab − I ca = 12,7 − j12,7 = 18å− j45 |
À; |
||||||||||||||||||||
I b |
|
= I bc − I ab = −17,35 − j4,65 = 18å− j165 |
À; |
|||||||||||||||||||||
I c |
|
|
= I ca − I bc = 4,65 + j17,35 = 18å j75 |
À. |
Вычисляем комплексные токи на общих участках цепи:
I a |
= I aΥ + I a |
= 17,7 − j12,7 = 21,8å− j35 40′ À; |
|
I b |
= I bΥ + I b |
= −22,35 − j13,32 = 26å− j149 |
À; |
I c |
= I cΥ + I c |
= −2,85 + j30,35 = 30,5å j95 20′ À. |
135
Задача 3.14. Â öåïè (ðèñ. 3.13, а) Uë = 220 Â, Z = 80 + j60 Ом. Определить показания ваттметров PW1, PW2 и мощность P, потребляемую приемником.
Ðè ñ . 3 . 1 3
Ðе ш е н и е . Решаем задачу комплексным методом. Вектор ли-
нейного напряжения Uab совмещаем с осью действительных вели- чин комплексной плоскости (рис. 3.13, б). Тогда получим комплексы линейных напряжений:
U AB = U ab = 220 Â; U BС = U bс = 220å− j120 Â;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
СA = |
U |
сa = 220å j120 |
Â. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Определяем комплексные фазные и линейные токи: |
||||||||||||||||||||||||||||||||
I ab |
= |
|
|
|
U |
ab |
|
= |
220 |
|
|
|
|
= 2,2å |
− j37 |
= 1,76 − j1,32 À; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Z |
|
|
80 + j60 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
I bс = |
|
|
U |
bc |
|
= |
|
|
220å− j120 |
|
= 2,2å |
− j157 |
= −2,02 − j0,86 À; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Z |
|
|
|
80 + j60 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
I сa |
= |
|
U |
ca |
|
= |
220å j120 |
|
= 2,2å j83 |
= 0,268 + j2,16 À; |
||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Z |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
80 + j60 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
I a |
|
= I ab − I ca |
= 1,492 − j3,5 = 3,8å− j67 |
À; |
||||||||||||||||||||||||||
I b |
= I bc − I ab |
= −3,78 + j0,46 = 3,8å j173 |
À; |
136
|
|
|
|
I c |
= I ca − I bc = 2,288 + j3,02 = 3,8å j53 |
À. |
|||||
Показания ваттметров |
|
|
|||||||||
P =Re[U |
|
|
|
] = Re[220 |
3,8e j67 ] = 220 3,8cos67 = 326 Âò; |
||||||
|
|
I |
|
||||||||
W1 |
|
|
|
ab |
|
a |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
P =Re[U |
|
|
] |
= Re[−220e− j120 3,8e− j53 ] = 220 3,8cos7 = 830 Âò. |
|||||||
|
I |
|
|
||||||||
W2 |
|
сb |
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Потребляемая приемником мощность |
|
||||||||||
|
|
P = |
|
|
3UëIëcosϕ = |
3 220 3,8cos37 = 1156 Âò |
|||||
èëè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P = PW1 + PW2 = 326 + 830 = 1156 Âò. |
Íà ðèñ. 3.13, б построена векторная диаграмма напряжений и
токов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача 3.15. Â öåïè (ðèñ. 3.14, а) Uë |
= 220 Â, R = 20 Îì, X = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= 15 Ом. Определить показание ваттметра и реактивную мощность |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
трехфазной цепи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Р е ш е н и е . Ваттметр покажет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= U |
|
|
|
|
|
|
= U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
P |
ca |
I |
b |
cos(U |
I b) |
ë |
I |
ë |
cos(U |
I b) , |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ca |
|
|
|
|
|
ca |
||||||||||||||||||||||||
ãäå Ië = 3Iô = |
3 |
|
|
|
Uë |
|
= 3 |
|
220 |
|
= 15,2 À; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
R2 + X2 |
|
202 + 152 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ð è ñ . 3 . 1 4
137
Угол между векторами U ca è I b определяем с помощью вектор-
ной диаграммы (рис. 3.14, б): |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
X |
|
15 |
|
|
(U |
ca I b) = 120° − 30° − ϕ = 90° − ϕ; |
ϕ = arctg |
= arctg |
= 37 ; |
|||
|
20 |
||||||
|
|
|
R |
|
PW = UëIëcos(90° − ϕ) = UëIë sinϕ = 220 15,2 0,6 = 2000 Âò.
Реактивная мощность цепи
Q = 3UëIë sinϕ = 3PW = 3 2000 = 3,46 êâàð.
Задача может быть решена комплексным методом. Комплексы линейных напряжений:
U ab = 220 Â; U bc = 220å− j120 Â; U ca = 220å j120 Â.
Рассчитываем фазные токи I ab, I bc и линейный ток I b:
I ab |
= |
|
U |
ab |
= |
220 |
|
= 8,8å |
− j37 |
= 7 − j5,27 À; |
|
||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Z |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
20 + j15 |
|
|
|
|
|||||
I bс = |
|
U |
bс |
= |
220å− j120 |
= 8,8å− j157 |
= −8,1 − j3,42 |
À; |
|||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
20 + j15 |
|
|
|
|
|
|
||
I b |
= I bc − I ab = −15,1 + j1,85 = 15,2å j173 |
À. |
|
Показание ваттметра:
PW = Re[U сa I b] = Re[220e j120 15,2e− j173 ] = = 220 15,2 cos(−53 ) = 2000 Âò.
Реактивная мощность всей цепи Q = 3PW = 3,46 êâàð.
Контрольные задачи
Задача 3.16. Записать комплексные выражения фазных и линейных ЭДС симметричного трехфазного генератора, обмотки которого соединены звездой. Начальную фазу ЭДС E A принять равной нулю.
Задача 3.17. Обмотки трехфазного генератора соединены звездой. Начальная фаза линейного напряжения U BC принята равной нулю. Чему равна начальная фаза фазного напряжения U B?
138
Задача 3.18. В трехфазную сеть с линейным напряжением 220 В включен симметричный приемник, сопротивления каждой фазы которого R = 2 Îì, XL = 9,8 Ом. Определить линейный ток и активную мощность, потребляемую приемником, при соединении его фаз: а) звездой; б) треугольником. Построить векторные диаграммы.
Задача 3.19. Шесть резисторов одинакового сопротивления вклю- чают в трехфазную сеть по приведенным на рис. 3.15 схемам. Определить отношение активных мощностей для указанных схем. Принять мощность для схемы, приведенной на рис. 3.15, а, за единицу.
Задача 3.20. Â ôàçû А è В четырехпроводной цепи включены резисторы сопротивлением R = 10 Îì, â ôàçó С – конденсатор сопротивлением XС = 20 Ом; линейное напряжение цепи Uë = 220 В. Определить ток в нейтральном проводе и активную мощность трехфазной цепи. Построить векторную диаграмму.
Задача 3.21. Â ôàçó А четырехпроводной цепи включена катушка индуктивности (Ra = 0), â ôàçó В – резистор, в фазу С – конденсатор. Сопротивления фаз равны 100 Ом каждая, Uë = 380 В. Определить ток в нейтральном проводе, активную и реактивную мощности трехфазной цепи. Построить векторную диаграмму.
Ð è ñ . 3 . 1 5
139