СБОРНИК ЗАДАЧ

Задача 4.8. Цепь, состоящая из двух параллельных ветвей (R1 = R2 = 10 Îì, L = 0,1 Ãí, С = 200 мкФ), включается на постоянное напряжение U = 24 Â (ðèñ. 4.6, а). Найти закон изменения переходных токов в ветвях и неразветвленной части. Построить диаграммы i1(t), i2(t), i(t). Как следует изменить емкость С конденсатора, чтобы ток в неразветвленной части цепи имел постоянное значение? Определить значение этого тока.

Ðè ñ . 4 . 6

Ðе ш е н и е . Токи переходного режима в параллельных ветвях схемы независимы и определяются уравнениями:

Общий ток цепи находим по первому закону Кирхгофа:

i = i1 + i2 = U (1 − å−tτ1 + å−tτ2 ) = 2,4(1 − å−100t + å−500t ) À.

R

Как видно из последнего выражения, общий ток не будет зависеть от времени при условии τ1 = τ2, ò.å. LR = RC′, откуда

C′ = LR2 = 1000 ìêÔ. Ïðè ýòîì òîê i = 2,4 À.

150

i = i1 = U(2R) = 5 À; i2 = 0; uL = 0; uC = Ri1 = 110 В. Ответы приведены в табл. 4.1.

Задача 4.10. Катушка, имеющая индуктивность L = 0,127 Гн и сопротивление R = 6,35 Ом, включается на синусоидальное напря-

жение u = 2 220sin(ωt + ψ) В, где ψ = 30°. Частота напряжения 50 Гц. Определить закон изменения тока в цепи, а также значение тока через два периода после включения. Рассчитать начальную фазу напряжения сети, при которой будет отсутствовать переходный процесс.

Р е ш е н и е . Для определения тока катушки в установившемся режиме находим:

XL = ωL = 2π 50 0127, = 40 Îì; Z = R2 + XL2 = 40,5 Îì;

cosϕ = R = 6,35; ϕ = 81°; ψi = ψ − ϕ = 30 − 81 = −51°.

Z40,5

Âустановившемся режиме ток

iïð = Um sin(ωt + ψ − ϕ) = 7,68sin(ωt − 51°) À.

Z

Свободная составляющая тока iñâ = Aå−tτ , ãäå τ = LR = 0,02 с. Действительный ток

i = iïð + iñâ = 7,68sin(ωt − 51°) + Аå−tτ.

Постоянную интегрирования А находим из начальных условий, при t = 0:

i(0) = 0 = 7,68sin(−51°) + А,

152

откуда А = − 7,68sin(−51°) = 5,97.

Уравнение тока катушки имеет вид

i = 7,68sin(ωt − 51°) + 5,97å−t0,02 À.

Диаграммы изменения тока i и составляющих iïð, iñâ приведены на рис. 4.8.

Ð è ñ . 4 . 8

Определяем значение тока через два периода после включения (ωt1 = 4π; t1 = 4π314 = 0,04 ñ) :

i1 = 7,68sin(720° − 51°) + 5,97å−0,040,02 = −5,17 À.

Переходный процесс будет отсутствовать, если

iñâ = Um sin(ψ − ϕ)å−tτ = 0,

Z

т.е. при ψ − ϕ = 0, значит, ψ = ϕ = 81°.

Задача 4.11. Найти закон изменения тока i(t) и напряжения uC(t) на конденсаторе, если последовательно соединенные резистор и конденсатор (R = 2 Îì, С = 50 мкФ) включаются на синусоидальное напряжение u = 141sin(314t + ψ) В, где ψ = 45°. При каком значении ψ начальное значение тока будет максимальным?

Р е ш е н и е . Определяем ток и напряжение конденсатора в установившемся режиме:

153

ãäå ϕ = arctg − 1 (ωC) = arctg − 63,7 = − 88°20′.

R2

Свободная составляющая напряжения uC ñâ = Аå−tτ , ãäå τ = RC = = 2 50 10−6 = 10−4 ñ.

Общее выражение для напряжения имеет вид

uC = uC ïð + uC ñâ = 140sin(314t + 43°20′) + Аå−tτ Â.

Используя второй закон коммутации, находим постоянную ин-

uC = 140sin(314t + 43°20′) − 96å−104 t Â.

Ток конденсатора

i = C duC = Um (cosϕsin(ωt + ψ − ϕ) − sinϕsin(ψ − ϕ − 90°)å−tτ); dt R

i= 2,21sin(314t + 133°20′) + 48å−104 t À.

Âмомент включения цепи, как следует из общего выражения

òîêà,

i(0) = Um sinψ.

R

Значит, наибольшее значение imax = UmR = 70,5 А будет при ψ = = π/2. Действительно, в момент включения цепи емкость как бы закорочена (uС(0) = 0) и все внешнее напряжение приложено к со-

противлению R.

154

Контрольные задачи

Задача 4.12. Определить длительность переходного процесса в цепи (см. рис. 4.1, а) при замыкании ключа (R = 5 Îì, L = 0,5 Гн). Считать, что переходный процесс заканчивается по прошествии времени t = 4τ.

Задача 4.13. Äëÿ öåïè (ñì. ðèñ. 4.1, а) рассчитать сопротивление R резистора из условия, что за время t = 0,1 с после подключения цепи к источнику постоянного напряжения ток катушки достигнет значения i = 2,6 А. Индуктивность катушки L = 0,5 Гн. Ток установившегося режима 3 А. Определить напряжение uL в момент t = 0,1 ñ.

Задача 4.14. Катушка, индуктивность которой L = 2 Гн и сопротивление R = 5 Ом, замыкается накоротко в момент, когда ток катушки равен 10 А. Определить напряжение на катушке и скорость убывания тока в момент замыкания. Какова скорость убывания тока, когда i = 5 À?

Задача 4.15. К зажимам обмотки возбуждения машины постоянного тока подключен вольтметр, сопротивление которого 3000 Ом. Индуктивность обмотки L = 15 Гн, активное сопротивление 20 Ом. Во сколько раз повысится напряжение на вольтметре в момент отключения цепи (см. рис. 4.3) от источника постоянного напряжения U = 100 В? Рассчитать энергию, выделившуюся в вольтметре

ется по прошествии времени t = 4τ.

Задача 4.18. Â öåïè (ñì. ðèñ. 4.4, а) определить емкость С конденсатора из условия, что за время t1 = 0,01 с после подключения цепи к источнику постоянного напряжения U = 230 В напряжение на конденсаторе при его зарядке через резистор сопротивлением R = 100 Ом достигает значения uС1 = 200 В. Рассчитать зна- чение тока i1 в момент времени t1 = 0,01 ñ.

Задача 4.19. Конденсатор емкостью С = 100 мкФ, заряженный до напряжения UС0 = 220 В, разряжается на резистор сопротивлением R (ñì. ðèñ. 4.5, а). Определить сопротивление R резистора,

155

5.ПЕРИОДИЧЕСКИЕ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ ТОКИ

ÂЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

Задачи с решениями

Задача 5.1. Электродвижущая сила периодически изменяется по трапецеидальному закону (рис. 5.1, а). Записать ряд Фурье и построить по нему кривую мгновенных значений ЭДС (при разложении в ряд ограничиться тремя членами ряда). Определить коэффициенты, характеризующие форму кривой.

Ðè ñ . 5 . 1

Ðе ш е н и е . Заданная функция симметрична относительно на- чала координат и оси абсцисс, поэтому ряд Фурье не будет содержать постоянной и косинусных составляющих, а также четных гармоник:

Ïðè α = π/4 è Еm = 100 Â (ðèñ. 5.1, а)

е = 115sinωt + 12,8sin3ωt − 4,6sin5ωt Â.

По полученному уравнению построены кривые отдельных гармоник и результирующая кривая (рис. 5.1, б). Отличие последней

157

от исходной трапеции обусловлено ограничением числа членов ряда Фурье.

Коэффициент амплитуды

ãäå Е1 = Еm1 = 115 = 81,3 В – действующее значение первой гармо-

22

íèêè ÝÄÑ.

Коэффициент гармоник

Задача 5.2. Напряжение генератора имеет пилообразную форму (рис. 5.2) с амплитудой Um = 100 В. Определить показания магнитоэлектрического и электромагнитного вольтметров, подключенных к генератору.

Р е ш е н и е . Уравнение напряжения генератора на участке от t = 0 äî t = Т есть уравнение прямой линии:

158

Электромагнитный вольтметр показывает действующее значе- ние напряжения

Задача 5.3. Источник синусоидального напряжения U = 220 В питает резистор сопротивлением R = 100 Ом через однополупериодный выпрямитель (рис. 5.3, а). Сопротивление выпрямителя в проводящем состоянии равно нулю, в непроводящем – бесконеч- ности. Определить показания электродинамических приборов. Разложив кривую выпрямленного напряжения (рис. 5.3, б) в ряд Фурье, рассчитать действующие значения тока и напряжения по их гармоническому составу.

Ðè ñ . 5 . 3

Ðе ш е н и е . Для кривой, приведенной на рис. 5.3, б, действующее значение напряжения, на которое реагирует электродинамиче- ский вольтметр,

159