СБОРНИК ЗАДАЧ
.pdfАктивная мощность цепи
|
P = U0I0 + U1I1cosϕ1 + U3I3 cosϕ3 = |
|
|
|||||||||
= 72 12 + |
105,5 |
11,9 |
|
+ |
57,2 |
7,82 |
|
|
= 1695 Âò |
|||
|
|
|
|
cos1155, |
|
|
|
cos13,8 |
|
|||
2 |
2 |
2 |
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
èëè
P = RI 2 + RIL2 + RIC2 = 1695 Âò.
Задача 5.9. Для уменьшения пульсации напряжения нагрузки, подключенной к двухполупериодному выпрямителю, применен Г-образный LC-фильтр (рис. 5.9). Напряжение на входе фильтра приближенно задано уравнением u = 150 − 100cos628t В. Параметры фильтра: L = 2 Ãí, C = 5 мкФ. Сопротивление нагрузки R = 10 кОм. Записать уравнение мгновенного значения напряжения нагрузки. Определить коэффициенты пульсации напряжений питания и нагрузки.
Ðè ñ . 5 . 9
Ðе ш е н и е . Поскольку катушка индуктивности не оказывает сопротивления постоянному току, постоянная составляющая напряжения нагрузки равна постоянной составляющей напряжения
на входе фильтра U0 = 150 Â.
Комплексная амплитуда переменной составляющей напряже-
ния нагрузки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− j |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
− jXC R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ωC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
U |
|
|
= |
|
|
I m = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
= |
|
|||||||||||||||
|
ím |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
R − jXC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jR (ωC) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R − j |
1 |
|
jωL − |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ωC |
|
|
|
|
R − j1 (ωC) |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
10 |
4 |
10 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
− j |
|
|
|
|
|
|
|
|
100å |
− j90 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
628 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 33,9å j92,4 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Â. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
104 − j |
10 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
j10 |
10 |
(628 5) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
j628 |
2 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
628 5 |
|
|
|
|
10 |
− |
j10 |
(628 5) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
170
Составляем уравнение мгновенного значения напряжения на- |
|||||
грузки: |
|
|
|
|
|
uí = U0 + Uím sin(628t + 92,4°) = 150 + 33,9sin(628t + 92,4°) Â. |
|||||
Определяем коэффициенты пульсации напряжений питания и |
|||||
нагрузки: |
|
|
|
|
|
k |
= Um |
= 100 = 0,667; |
k |
= Uím |
= 33,9 = 0,226. |
ï |
U0 |
150 |
ï.í |
U0 |
150 |
|
|
||||
Задача 5.10. Для выделения в нагрузке R = 100 Ом треть- |
|||||
ей гармоники напряжения применен LC-фильтр (рис. 5.10), |
|||||
ãäå L = 2,25 ìÃí, C = 500 пкФ. Напря- |
|
||||
жение источника задано уравнением u = |
|
||||
= 28,3sinωt |
+ 7,07sin3ωt − 2,83sin5ωt Â. |
|
|||
Частота основной гармоники f = 50 êÃö. |
|
||||
Записать уравнение мгновенного зна- |
|
||||
чения напряжения нагрузки. Опреде- |
|
||||
лить отношение действующего значе- |
|
||||
ния напряжения третьей гармоники к |
Ð è ñ . 5 . 1 0 |
||||
действующему значению напряжения |
|
||||
нагрузки. |
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е . Комплексная амплитуда первой гармоники напря- |
|||||
жения нагрузки |
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
= R |
|
U |
m1 |
|
= |
|
|
|
|
ím1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
R + jωL − j (ωС) |
|||||
= |
|
|
|
|
|
100 28,3 |
|
|
= |
||
|
|
|
|||||||||
100 + j2π 50 103 2,25 10−3 − j |
(2π 50 103 500 10−12) |
||||||||||
|
|
|
|
|
= 0,5å j89 |
Â. |
|
|
|
Поскольку фильтр настроен на резонанс для третьей гармоники (3ωL = 1 (3ωC)), третьи гармоники напряжений нагрузки и источ- ника оказываются равными:
|
U |
ím3 = R |
|
U |
m3 |
= |
U |
|
= 7,07 Â. |
|
|
|
m3 |
||||||||
|
R + j3ωL − j (3ωС) |
|||||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
171
Напряжение пятой гармоники |
|
|
|
|
|||||||
|
U |
|
= R |
|
U |
m5 |
|
= 100 |
|
2,83 |
= |
|
ím5 |
|
|
||||||||
|
R + j5ωL − j (5ωС) |
|
+ j3532 − j1274 |
||||||||
|
|
|
|
100 |
|
= 0,125å− j87,5 Â.
Составим уравнение мгновенного значения напряжения нагрузки:
uí = 0,5sin(ωt + 89 ) + 7,07sin3ωt − 0,125sin(5ωt − 87,5 ) Â.
Действующее значение напряжения нагрузки третьей гармоники
|
|
|
Uí3 |
= |
Uím3 |
|
= |
7,07 |
= 5 Â. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Действующее значение напряжения нагрузки |
||||||||||||||||||
|
U |
ím1 |
2 |
U |
ím3 |
|
2 |
U |
ím5 |
2 |
||||||||
Uí = |
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
= 5,025 Â. |
|||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Искомое отношение напряжений близко к единице:
|
Uí3 |
= |
5 |
= 0,996. |
|
5,025 |
|||
|
Uí |
|
Задача 5.11. На входе цепи (рис. 5.11) действует несинусоидальное напряжение u = 30sinωt + 15sin3ωt В. Для исключения в нагрузке Rí третьей гармоники напряжения применен заградительный фильтр. Рассчитать емкость фильтра Сô, åñëè Lô = = 100 мГн, а основная частота f = 5 кГц. Определить коэффициенты искажения для напряжений питания и нагрузки.
Р е ш е н и е . Для исключения третьей гармоники напряжения в нагрузке необходимо, чтобы сопротивление
цепи току третьей гармоники было равно бесконечности. Это возможно при резонансе в контуре Lô, Сô на третьей гармонике, когда bL3 − bC3 = 0
èëè 1 (3ωLô ) = 3ωCô . Отсюда
Ð è ñ . 5 . 1 1
172
C |
ô |
= |
1 |
= |
1 |
|
= 113, 10−9 |
Ô. |
9ω2L |
9 22 3,142 50002 |
100 10−3 |
||||||
|
|
|
ô |
|
|
|
|
|
Коэффициент искажения равен отношению действующего зна- чения первой (основной) гармоники к действующему значению несинусоидальной величины. Таким образом, коэффициент искажения для напряжения питания
k = |
U1 |
= |
U1 |
= |
30 2 |
|
= 0,89. |
|
|
|
|
||||
è |
U |
|
U12 + U32 |
(30 2)2 + (15 |
2)2 |
|
|
|
|
|
Коэффициент искажения для напряжения нагрузки kè.í = 1, так как использование фильтра обеспечило синусоидальный закон изменения напряжения на нагрузке.
Задача 5.12. Напряжение и ток пассивного двухполюсника (рис. 5.12, а) заданы следующими уравнениями:
u = 100 + 141sinωt + 36sin3ωt Â;
i = 14,1sin(ωt + π2) À.
Начертить эквивалентную схе- |
|
|
му двухполюсника и определить |
|
|
ее параметры, если ω = 314 |
ðàä ñ |
|
(использовать одинаковые |
êîí- |
Ð è ñ . 5 . 1 2 |
денсаторы). |
|
|
Р е ш е н и е . Поскольку в токе отсутствует постоянная составляющая, то схема должна содержать разделительную емкость. Ток не содержит третьей гармоники. Следовательно, схема должна содержать участок, состоящий из параллельно соединенных индуктивности и емкости, настроенных в резонанс на третьей гармонике. Кроме того, двухполюсник не содержит резистивных элементов, поскольку ток чисто реактивный (сдвиг по фазе между первыми гармониками напряжения и тока ϕ = π2 ). Схема двухполюсника приведена на рис. 5.12, б.
Для определения параметров эквивалентной схемы двухполюсника найдем его входное сопротивление для первой гармоники:
Z1 = |
|
U |
1 |
= |
141 |
2 |
= 10å |
− j90 |
||
|
|
|
|
|
|
|
Îì. |
|||
|
I |
1 |
141, |
å |
j90 |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
173
Èç ðèñ. 5.12, б следует: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
jωL − j |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Z1 = − j |
|
|
+ |
|
|
|
|
ωC |
. |
|
|
||||||
|
ωC |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
jωL − j |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
ωC |
|
|
|||||||||
Условие резонанса токов на третьей гармонике: |
|
||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
= 3ωC. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
3ωL |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решая совместно три последних уравнения, находим: |
|||||||||||||||||
С = 289 ìêÔ; L = |
|
1 |
|
|
= |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
= 4 ìÃí. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
314 |
2 |
289 10 |
−6 |
||||||||
|
9ω C |
9 |
|
|
|
Контрольные задачи
Задача 5.13. Форма напряжения генераторов приведена на рис. 5.13. Определить показания магнитоэлектрического и электромагнитного вольтметров, подключенных к генераторам.
Задача 5.14. Амплитуда и форма напряжения генератора заданы на рис. 5.13, а. Используя разложение кривой напряжения в ряд Фурье (ограничиться тремя членами ряда), определить активную мощность катушки индуктивности (L = 0,1 Ãí, R = 100 Ом), подключенной к генератору.
Задача 5.15. Решить задачу 5.14 при условии, что амплитуда и форма напряжения генератора заданы на рис. 5.13, в.
Задача 5.16. К катушке индуктивности (L = 20 ìÃí, R = 10 Ом) приложено напряжение u = 12 + 80sin314t + 30sin(942t + 30°) В. Записать уравнение мгновенного значения тока катушки.
Задача 5.17. Определить активную и полную мощность цепи, описанной в задаче 5.16.
Задача 5.18. В катушке индуктивности (L = 0,1 Ãí, R = 50 Ом) проходит ток i = 10 + 60sin314t + 20sin(942t + 30°) А. Определить показания электромагнитного вольтметра, подключенного к катушке.
Задача 5.19. Â öåïè (ðèñ. 5.6) u = 24 + 141sinωt + +56,6sin(3ωt + 30°) Â, R = 4 Ом, на основной частоте XL = 4 Îì è XС = 36 Ом. Рассчитать действующие значения напряжений на каждом из элементов.
174
Ð è ñ . 5 . 1 3
Задача 5.20. Определить активную мощность цепи, описанной в задаче 5.19.
Задача 5.21. К цепи, состоящей из параллельно соединенных резистора R = 40 Ом и конденсатора емкостью С = 10 мкФ, приложено напряжение u = 242sin314t + 70,7sin942t В. Записать уравнение мгновенного значения тока в неразветвленной части цепи.
Задача 5.22. Â öåïè (ñì. ðèñ. 5.12, б) С = 10 ìêÔ, L = 0,1 Гн. Рассчитать частоту первой гармоники, при которой входное сопротивление цепи равно бесконечности.
Задача 5.23. Â öåïè (ñì. ðèñ. 5.12, б) С = 100 ìêÔ, L = 20 мГн. Рассчитать частоту первой гармоники, при которой входное сопротивление цепи для пятой гармоники равно нулю.
Задача 5.24. В цепи, описанной в задаче 5.9, нагрузкой является катушка индуктивности (L = 0,5 Ãí, R = 2 кОм). Определить коэффициенты пульсации напряжений источника и нагрузки.
Задача 5.25. На входе цепи
u = 10 + 30sin1000t Â; i = 6sin(1000t + 30°) À.
Начертить простейшую эквивалентную схему замещения цепи и определить параметры ее элементов.
175
Задача 5.26. На входе цепи
u = 10 + 120sin(ωt + 30°) + 10sin(3ωt + 45°) Â;
i = 5 + 30sin(ωt − 30°) À; ω = 1000 ñ−1.
Начертить эквивалентную схему замещения цепи и определить параметры ее элементов.
Ответы к контрольным задачам
5.13.Показания магнитоэлектрических вольтметров: а) Uñð = 50 Â; á) Uñð =
=0; â) Uñð = 50 Â; ã) Uñð = 50 В. Показания электромагнитных вольтметров: а) U = 57,8 Â; á) U = 100 Â; â) U = 70,7 Â; ã) U = 112 Â. 5.14. Ряд Фурье
|
4U |
m |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = |
|
sinωt + |
|
sin3ωt + |
|
sin5ωt = 127,4sin314t + 42,5sin942t + 25,5sin1570t Â; |
||||||||||
|
π |
|
|
3 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P = P1 + P3 + P5 = 74 + 4,8 + 0,2 = 79 Âò. 5.15. Кривой напряжения, приведен- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
m |
|
2U |
m |
|
1 |
|
|
íîé íà ðèñ. 5.13, в, соответствует ряд Фурье u = |
|
+ |
|
sinωt + |
|
sin3ωt |
= |
|||||||||
2 |
|
|
3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
= 50 + 31,8sin314t + 10,6sin942t Â;; P = P0 + P1 + P3 = 25 + 4,7 + 0,3 = 30 Âò.
5.16. i = 1,2 + 6,77sin(314t − 32°) + 1,41sin(942t − 32°) À. 5.17. P = 262 Âò; S =
= 310 Â À. 5.18. U = 2967 Â. 5.19. UR = |
UR2 |
0 + UR21 + UR23 = |
02 + 12,42 + 402 = |
||
= 41,88 Â; UL = |
UL20 |
+ UL21 + UL23 = |
02 |
+ 12,42 + 1202 |
= 120,6 Â; UC = |
= UC20 + UC21 + UC2 |
3 = |
242 + 111,62 + 1202 |
= 165,6 Â. 5.20. P = 438 Âò. 5.21. i = |
=6,1sin(314t + 7°) + 1,89sin(942t + 21°) À. 5.22. f = 113 Ãö. 5.23. f = 15,9 Ãö.
5.24.kï = 0,667, kï.í = 0,229. 5.25. R = 4,33 Îì, С = 400 ìêÔ. 5.26. R = 2 Îì, L = 3,08 ìÃí, С = 36 ìêÔ.
6.МАГНИТНОЕ ПОЛЕ И МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ
ÑПОСТОЯННЫМИ МАГНИТОДВИЖУЩИМИ СИЛАМИ
Задачи с решениями
Задача 6.1. По прямолинейному проводу круглого сечения радиусом R = 4 мм проходит постоянный ток I = 200 А. Определить напряженность магнитного поля H в различных точках пространства внутри и вне провода на расстоянии х от оси провода. Построить диаграмму H(х).
Р е ш е н и е . Согласно закону полного тока для данной задачи
lx Hx = Ix, |
(1) |
ãäå lx – длина силовой линии магнитного поля на расстоянии х от оси провода; Hх – напряженность магнитного поля; Ix – полный ток (рис. 6.1).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ð è ñ . |
6 . 1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Åñëè x < R, òî |
|
|
πx2 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|||
|
|
Ix |
= I |
|
= |
I |
. |
(2) |
|||||
|
|
|
πR2 |
R2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После подстановки выражения (2) в уравнение (1) получим:
2πxHx = I x2 , R2
177
откуда Hx = I x(2πR2) , т.е. напряженность внутри провода изменяется по линейному закону, имея наибольшее значение Hmax ïðè x = R :
Hmax |
= 200 |
4 10−3 |
= 7950 À/ì. |
|||
2π 16 |
|
10−6 |
||||
|
|
|
Åñëè x > R, òî 2πxHx = I , à Hx = I(2πx), т.е. напряженность вне провода изменяется по гиперболическому закону. Результаты расчета представлены табл. 6.1.
Ò à á ë è ö à 6 . 1
x, ìì |
8 |
12 |
16 |
20 |
40 |
50 |
500 |
Hx, À/ì |
3981 |
2654 |
1980 |
1592 |
796 |
637 |
63,7 |
Диаграмма H(х) приведена на рис. 6.1.
Задача 6.2. В результате короткого замыкания в троллейбусной линии ток достиг значения I = 1 кА (рис. 6.2). Определить усилия, действующие на провода одного пролета линии длиной l = 40 м. Расстояние между проводами а = 40 см. Изменятся ли усилия, если I – действующее значение синусоидального тока?
Р е ш е н и е . Направление усилий, опреде-
ленное по правилу левой руки, показано на
ðèñ. 6.2.
Усилие на каждый провод одного пролета
Ð è ñ . 6 . 2
|
I 2 |
4π 10−7 106 |
||
F = μ0 |
|
l = |
|
40 = 20 Í. |
|
|
|||
|
2πa |
2π 0,4 |
(Это усилие соответствует весу тела массой m = Fg = 209,8 =
= 2,04êã ).
При прохождении по проводам синусоидального тока I = 1 кА усилия на провода будут меняться (с удвоенной частотой тока) от нуля до максимального значения, определяемого амплитудой тока Im = 2I. При квадратичной зависимости усилия от мгновенного значения тока это дает удвоение усилия до Fm = 2F = 40 Í.
Задача 6.3. На кольцевой сердечник помещена обмотка с числом витков w = 100. Площадь сечения сердечника S = 5 ñì2, длина средней линии lñð = 25 см (рис. 6.3). Определить ток в обмотке, при котором магнитный поток в сердечнике Ф = 7 10–4 Вб, если материал сердечника: а) неферромагнитный; б) электротехниче-
178
ская сталь (кривая намагничивания стали приведена на рис. 6.4). Рассчитать индуктивность катушек для вариантов «а» и «б».
Р е ш е н и е . Магнитные индукции в сердеч- нике из неферромагнитного материала и электротехнической стали одинаковы:
|
Ô |
|
7 10−4 |
Ð è ñ . 6 . 3 |
В = В = |
|
= |
|
= 1,4 Òë. |
|
|
|||
0 |
S |
|
5 10−4 |
|
|
|
|
а) Напряженность магнитного поля в сердечнике из неферромагнитного материала
|
Н0 |
= В0 = |
1,4 |
= 1,12 106 |
À/ì. |
||
|
|
|
μ0 |
|
4π 10−7 |
|
|
|
Ток в обмотке |
|
|
||||
I |
= |
lñðН0 |
= |
25 10−2 112, 106 |
|
||
|
|
|
= 2800 À. |
||||
1 |
|
w |
|
100 |
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
Индуктивность катушки |
|
|||||
|
L = |
wÔ |
= |
100 7 10−4 |
|
||
|
|
|
= 0,025 ìÃí. |
||||
|
1 |
|
I1 |
|
2800 |
|
Ð è ñ . 6 . 4 |
|
|
|
|
|
Если выразить магнитный поток формулой Ф = SВ, а магнитную индукцию – формулой В = μaH , ãäå H = wI lñð , то получим другую формулу для определения индуктивности:
L = μaw2S , |
(1) |
lñð |
|
ãäå μà – абсолютная магнитная проницаемость сердечника; для
неферромагнитного материала μa = μ0 = 4π 10−7 Ãí/ì.
Из выражения (1) следует, что индуктивность не зависит от тока и магнитного потока в катушке. Она зависит исключительно от размеров катушки, числа ее витков и абсолютной магнитной проницаемости среды.
Подставив числовые значения, получим:
L |
= |
4π 10−7 |
1002 5 10−4 |
= 0,025 ìÃí, |
|
|
|||
1 |
25 10−2 |
|
||
|
|
|
т.е. тот же результат.
179