32. Минимальные , кратчайшие и тупиковые днф.

Элементарную конъюнкцию К будем называть импликантой функции f , если для ∀ã , K(ã)=1 влечет за собой выполнение условия f(ã)=1.

Импликант К –простой, если выражение получающееся из его выбрасывания любых их множителей не является импликантой f.

ДНФ называют минимальной, если она содержит наименьшее число литералов, среди всех ДНФ, эквивалентных ей.

Длиной ДНФ называют число входящих в нее элементарных конъюнкций.

ДНФ называют кратчайшей, если она имеет наименьшую длину среди всех эквивалентных ей ДНФ.

Заметим, что кратчайшая ДНФ не обязана быть в то же время минимальной среди всех ДНФ, эквивалентных исходной функции. Но поиск минимальных ДНФ проводится среди кратчайших ДНФ.

Тупиковой ДНФ функции f(ⁿ) называется такая ДНФ её простых импликант из которой нельзя выбросить ни одного импликанта не изменив функцию f.

Следовательно для получения минимальной ДНФ необходимо построить все её тупиковые ДНФ и выбрать те из них которые содержат наименьшее количество переменных.

Алгоритм построения тупиковой ДНФ:

Пусть f(ⁿ) – функция алгебры логики (булевая).

1)находим табличные значения функции f(ⁿ)=(101…01)

2)по табличным значениям строим СДНФ

3)строим СДНФ функции f в виде: f=K₁˅ K₂˅….˅K_{m ,} где K_i – простые импликанты.

4)строим матрицу покрытий простых импликант функции f

5)для каждого столбца j (1jK) находим множество E_j номеров строк для которых a_j=1.

Cоставляем множество E_jтаких элементов, E_j= (e_j1 ,e_j2 ,…, e_ji), где e_ji– импликанты соответствующие значению 1.

Полученное выражение A=˅(j=1,k)E_j– называется решёточным покрытием ДНФ функции f.

Удаляя все дублирующиеся символы получаем тупиковую ДНФ.

33. Сокращённые днф. Построение сокращённых днф булевых функций методом Блейка.Пример.

Элементарную конъюнкцию К будем называть импликантой функции f , если для ∀ ã, K(ã)=1 влечет за собой выполнение условия f(ã)=1.

Импликант К –простой, если выражение получающееся из его выбрасывания любых их множителей не является импликантой f.

Теорема: Всякая функция реализуется дизъюнкцией своих простых импликант. Сокращённая –дизъюнкция всех простых импликант функции f.

Любая функция f реализуется своей СДНФ.

Для преобразования ДНФ в СДНФ:

1. (полное склеивание)

2. (неполное склеивание)

3. (обобщенное склеивание)

4. A˅A*B=A (поглощение)

5. A˅A=A ; A&A=A (удаление дублирующих членов)

Метод Блейка: получение СДНФ состоит в применении правил обобщенного склеивания и поглощения, причем правила применяются слева направо.

На первом этапе производится операция обобщенного склеивания, до тех пор пока это возможно. На втором этапе операция поглощения.

Пример: D=x*y˅⌐x*z˅⌐y*z;

D₁=x*y˅⌐x*z˅⌐y*z˅y*z˅x*z˅z=x*y˅z˅z˅z=x*y˅z

34. Построение сокращённых днф булевых функций методом Квайна.Пример.

Теорема Квайна: Если в ДНФ функции f провести все операции неполного склеивания, после чего все операции поглощения и удаления дублирующих членов, то в результате получится СДНФ функции f.

Пример:f( ⁴)=(0101101001101001) ;

ДНФ=⌐x₁⌐ x₂⌐ x₃ x₄ ˅⌐x₁⌐x₂ x₃ x₄ ˅⌐x₁ x₂⌐x₃ ⌐ x₄ ˅⌐x₁ x₂ x₃ x₄ ˅x₁⌐x₂⌐ x₃ x₄ ˅x₁⌐x₂ x₃ ⌐ x₄ ˅x₁ x₂⌐x₃ ⌐ x₄ ˅x₁ x₂ x₃ x₄

X1	X2	X3	X4	f
0	0	0	0	0
0	0	0	1	1
0	0	1	0	0
0	0	1	1	1
0	1	0	0	1
0	1	0	1	0
0	1	1	0	1
0	1	1	1	0
1	0	0	0	0
1	0	0	1	1
1	0	1	0	1
1	0	1	1	0
1	1	0	0	1
1	1	0	1	0
1	1	1	0	0
1	1	1	1	1

	x4	x3 x4	x2 x4	x2 x3	x1 x4	x1 x3	x1 x2	x1 x2 x3 x4
x4		x4	x4		x4
x3 x4	x4
x2 x4	x4
x2 x3
x1 x4	x4
x1 x3
x1 x2
x1 x2 x3 x4

	⌐x1⌐ x2⌐ x3 x4	⌐x1⌐x2 x3 x4	⌐ x1 x2⌐x3 x4	⌐x1 x2 x3 ⌐x4	x1⌐x2⌐ x3 x4	x1⌐x2 x3 ⌐ x4	x1 x2⌐x3 ⌐ x4	x1 x2 x3 x4
⌐x1⌐x2 x4	Ӿ	Ӿ
⌐x1⌐x3 x4	Ӿ		Ӿ
⌐x2⌐ x3 x4	Ӿ				Ӿ

⌐x₁⌐x₂x₄ ˅⌐x₁x₂⌐x₃ x₄ ˅x₁⌐x₂⌐x₃ x₄