Порядок действий в формулах алгебры логики

Если в выражениях нет скобок, то очередность выполнения логических операций следующая:

1) отрицание; 2) конъюнкция; 3) дизъюнкция; 4) логическое следование; 5) сумма по модулю 2 и эквивалентность.

Из тождеств 1-10 вытекают правила:

1. Если в логическом произведении хотя бы 1 из множителей равен нулю, то все произведение равно 0.

2. Если в логическом произведении содержится не менее 2 множителей, а один из них равен 1, то его можно зачеркнуть.

3. Если в логической сумме содержащей не менее 2 слагаемых, а один из них равен 0, то его можно зачеркнуть.

4. Если в логической сумме одно слагаемое равно 1, то вся сумма равна 1.

Совокупность всех булевых функций относительно операций логического умножения, сложения, отрицания является алгеброй булевых функций. Соотношение между булевой алгеброй и алгеброй Кантора и есть изоморфизм, т.к. любая алгебра обладающая свойствами 1-10 называется булевой алгеброй.

10. Принцип двойственности. Двойственные булевы функции.

Функция называется двойственной к функции если имеет место равенство:, и еслиf*=f, то такая функция называется самодвойственной на множестве всех самодвойственных функций, которые обозначаются S.

Принцип двойственности:

может быть записана в виде:

, при чем имеют двойственные функции, то.

Лемма о несамодвойственности: Если функция несамадвойственна, то из нее путем подстановки переменных, х, на места ее переменных можно получить константу.

11.Теорема о разложении

Теорема о разложении булевых функций по переменным.

Каждую функцию алгебры логики f(x₁, x₂, …, x_n) для ∀m ∈ {1, 2, …, n} можно представить в виде , где дизъюнкция берется по всевозможным наборам значений переменных x₁,…, x_m. Такое представление функции f называется разложением этой функции по m переменным.

Доказательство: Рассмотрим произвольный набор значений переменных (α₁,…,α_n), и вычислим f(α₁, …, α_n) сначала стандартным образом, а затем как в формулировке доказываемой теоремы:

=[по ранее доказанному, если , то]=, =[так что=1]=f(α₁, …, α_n), что и требовалось доказать.

Следствия:

1) Если m=1, то f(x₁,…,x_n)=

2) m=n. Тогда f(x₁, …, x_n)=, так как остались лишь те наборы, при которых

Получаем из следствия 2 равенство:

f(x₁,…,x_n)=

12. Совершенные дизъюнктивные нормальные формы.

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма принимает такой вид f(x₁,…,x_n)=, которое следует из второго следствия теоремы о разложении.

Такая форма является единственной для каждой булевой функции, кроме 0. Каждое из выражений вида называетсяэлементарной конъюнкцией.

Замечание. СДНФ называется совершенной, потому что каждое слагаемое в дизъюнкции (т.е. элементарная конъюнкция) содержит все переменные; дизъюнктивной, потому что главная операция – дизъюнкция; нормальной, поскольку совершенный вид такой формы является однозначным (с точностью до порядка записи элементарных конъюнкций) способом записи формулы, реализующей заданную функцию.

Пример.

Функция f равна 1 на наборах (0,0,1), (0,1,0) и (1,0,1), поэтому СДНФ

СДНФ:

№13 Совершенные конъюнктивные нормальные формы

Элементарной конъюкцией (ЭК) наз. формула:= , где, а=. Тогда формула вида:наз. конъюктивной норм.формой (КНФ).

КНФ над множ. переменных =(,, … ,)наз. совершенной если она составлена из попарно различных ЭК. При этомm – входящее в состав ЭК назыв. рангом. Например: Из– ЭК,–не явл. ЭК.

Теорема: любая булева функ. может быть представлена в виде соверш. КНФ:

= Ʌ (),⍱(, … ,), при чем f(, … ,)=0, такое представление единственно.

Пример: представить ф-цию в виде соверш КНФ: f()=()→

K=()Ʌ()Ʌ()=()Ʌ()Ʌ()

№ 14 Существенные и фиктивные переменные.

Будем говорить, что f()существенным образом зависит от переменной,если найдётся такой набор=() чтоf()≠f() не совпадают.

В противном случае переменная наз. несущественной или фиктивной.

Функции f() иg() считаются равными, если функциюg можно получить из f путём добавления (вычёркивания) фиктивных переменных.

Для функции f получить существенные и фиктивные переменные.

f(0,0,0)=0

f(1,0,0)=1 0≠1

Переменная x – существенная

⍱(),f()=f()

y – фиктивная, z – фиктивная.

Если – существенная переменная ф-цииf(), то в разложении этой ф-ции поi-ой переменной кортежи значений (),() соответствующиебудут различные.

В случае если – фиктивная переменная, одинаковыми.

Переменная явл. существенной для функцииfявно входит в полином Жегалкина.

Пусть – существенная переменная функ.f, но она не входит в явном виде в полином Жегалкина.

Т.к. представл. любой ф-ции в виде полинома Жегалкина единственно, то такое предложение неверно.

Пусть явно входит в полином Жегалкина, тогда его можно записать в видеf =*Q()⊕R(), гдеQиR–полиномы не содержащие , причёмQ≠0.

Пусть () такой набор, чтоQ()=1.Тогдаf()=0*Q(⍺)+R(⍺)=0*1+ R(⍺)=R(⍺)

f()=1*Q(⍺)+R(⍺)=.

Если функция f() представима в виде полинома Жегалкина степени не меньше 2, то она содержит не менее двух существенных переменных.

№15 Полином Жегалкина.

Теорема: Каждая ф-ция f() может быть выражена в виде формулы через конъюкцию, дизъюнкцию и отрицание (˄, ˅, ┐).

Выражение над множеством переменных вида:, где

а суммирование ведётся по модулю 2 наз. полиномом Жегалкина.

При этом –все возможные произведения составл. из переменных.

Например полином Жегалкина для функции двух переменных имеет вид:f()=⊕

Ранг наибольшей из элементарных конъюнкций (ЭК) входящих в полином Жегалкина наз. степенью этого многочлена.

№16 Представление булевой функции в виде полинома Жегалкина.

Теорема:Каждая функция алгебры логики может быть представлена в виде полинома Жегалкина и это представление единственно.

Произвольную функ. f() можно задать в виде полинома Жегалкина методом неопределённых коэффициентов.

Пример: Найти полином Жегалкина для функции f()=()*()

f()=⊕

f(0,0,0)=

f(0,0,1)== ,=1

f(0,1,0)==0 ,=1

f(0,1,1)==0 ,=1

f(1,0,0)==0 ,=1

f(1,0,1)==0 ,=1

f(1,1,0)=0 , =1

f(1,1,1)=0 , =1

f()=

=x1

f==(1)(1)(1)=()()=+++

С помощью эквивалентных преобразований получить полином Жегалкина для функции:f=(x˅y)(x˅z)

x˅y==˄=(x+1)(y+1)+1=xy+x+y+1+1

=x1

f=(x˅y)(x˅z)=(xy+x+y)(xz+x+z)=xy+xxz+y+xy+xy

x˅y=xy

f=(x˅y)(x˅z)=x

№17 Замкнутый класс T0.

Говорят, что функция f() сохраняет константу 0 , если значение функцииf(0,0, … ,0)=0

Множество всех таких функций обозначается .

1)Пример: f()=(0110 1001 1010 0101)

fͼ

2)Пример, линейных функций содержащихся только в

f()=++ … ++

чтобы fͼ

№18 Замкнутый класс T1.

Говорят, что функция f() сохраняет константу 1 , если значение функцииf(1,1, … ,1)=1

Множество всех таких функций обозначается .

1)Пример: f()=(0110 1001 1010 0101)

fͼ

2)Пример, линейных функций содержащихся только в

f()=++ … ++

чтобы fͼ , n=2k+1

≠0, n=2k

№19 Замкнутый класс S.

Функцияf*(x₁,x₂,…,x_n) называется двойственной к функции f(x₁,x₂,…,x_n) если имеет место равенство:f*(x₁,x₂,…,x_n)=f̅(x̅₁,x̅₂,…,x̅_n)

Если f*= f, то такая функция называется самодвойственной. Множество всех самодвойственных функций обозначается S

Принцип двойственности: Если формула в видеF(x₁,…,x_n) может быть записана в видеF(x₁,…,x_n)=f₀(f₁ (x₁,…,x_n), f₂ (x₁,…,x_n),…, f_n(x₁,…,x_n)) причемf₀,f₁ , f₂ ,…,f_nимеют двойственные функцииf₀^*,f₁^*, f₂^*,…,f_n^* , тоF^*(x₁,…,x_n)= f₀^*(,f₁^*, f₂^*,…,f_n^*)

Лемма( о несамодвойственности): Если функция f(x̃ⁿ) несамодвоиственная (S), то из нее путем подстановки переменных x,x̅ на места ее переменных можно получить константу.

№20 Замкнутый класс L.

Функция f(x̃ⁿ) называется линейной если ее представление в виде полинома Жегалкина имеет вид f(x̃ⁿ)=a₀+a₁x₁+…+a_nx_n , a_iϵ{0,n}, множество всех линейных функций обозначается через L.

Лемма (о нелинейности):Если функция f(x̃ⁿ)линейна, то из нее путем подстановки на места ее переменных констант 0,1 и переменных x,x̅, а также быть может навешиванием отрицания над всей функцией f можно получить конъюнкцию x₁Ʌx₂

№21 Замкнутый класс M.

Наборы α̃=(α₁,…,α_n) иβ̃=(β₁,…,β_n)говорят что для них выполнено отношение предшествованияα̃{β̃ еслиα₁≤β₁,…, α_n≤β_n

Функция f(x̃ⁿ) монотонной если α̃,β̃ удовлетворяющие условиюα̃{β̃ =>f(α)≤f(β)

Множество всех монотонных функций обозначается M.

Лемма (о немонотонности ): Если функцияf()М то из нее путем подстановки на места ее переменных констант 0,1 и переменной x можно получить функцию x̅.

№22 Теорема Поста о полноте со следствием.

Теорема 1(Поста критерий полноты): Система функций {f₁,f₂,f₃,…}(1) f_iϵB₂полна тогда и только тогда, если она не содержится целиком ни в одном из классовT₀, T₁, M, L, S.

Другими словами: система (1) полна тогда и только тогда, когдаf₁T₀, f₂ T₁, f₃ M, f₄ L, f₅ S,причем среди функций не все функции обязательно различные.

Теорема 2: Пусть заданы системы функций. Если система функций (2) функционально полна, а функции системы (3) выражаются через функции системы (2), то система (3) также функционально полна.

Система функций G называется независимой если никакая функция f этой системы не выражается через остальные, т.е. для любой fϵG будет выполнено условие fG̅/̅f̅.

Независимая система функций G называется базисом замкнутого класса K, если всякая функция FϵK есть суперпозиция функций системы G.

Следствие 1(из теоремы Поста): всякий замкнутый класс QP₂ содержится целиком хотя бы в одном из классовT₀, T₁, M, L, S. Иначе он бы представлял собой полную систему и в силу замкнутости равнялся P₂. P₂-слет. всех возможных булевых функций.

Следствие 2: Если к какому либо из классов (S T₀, T₁, M, L) добавить любую функцию, не принадлежащую этому классу, то система Su{f} является функционально полной, а ее замыкание совпадает с P₂. Поэтому классы T₀, T₁, M, L, S называются предполными.

Следствие 3: в P₂ существует только пять предполных классов T₀, T₁, M, L, S. Другие классы предполными не являются.

Следствие 4: Из теоремы Поста и следствий 1-3 следует что если в системе присутствуют константы 0 и 1, то для полноты системы, достаточно чтобы в ней содержалась немонотонная функция и нелинейная функция.

№23 Сочетания и перестановки. Бином Ньютона.

Перестановка.

Пусть n ϵ N₀, B = {b₁,b₂,…,b_n}. Перестановкой из элементов множества B называется всякое размещение этого множества по n элементов.

Очевидно, что количество всевозможных перестановок множества B не зависит от природы элементов множества В. Поэтому количество перестановок произвольного n-элементного множества обозначим через P_n.

Теорема 1: P_n = n!

Доказательство: Согласно определению перестановки P_n=A_nⁿ =n*(n-1)*…*1=n!.

Сочетание.

Пусть n, kϵN₀, knиB = {b₁,b₂,…,b_n} -­- n-элементное множество. Всякое k-элементное подмножество В называется сочетанием из n элементов этого множества по k элементов.

Совершенно очевидно, что количество всевозможных сочетаний по k элементов множества В не зависит от природы элементов множества В. В силу этого, количество всевозможных сочетаний произвольного n-элементного множества по kэлементов обозначим через С_n^k.

Сnk =

n! k!(n - k)!

Теорема 1: Число всех k-элементных подмножеств множества из n элементов

Свойства сочетаний:

1. С_n⁰ = 1.

2. С_n^k = С_n^n - k.

3. С_n^k = С_{n - 1}^{k - 1} + С_{n - 1}^k

4. С_n⁰ + С_n¹ + С_n² + ... + С_n^{n - 1} + С_nⁿ = 2ⁿ.

Бином Ньютона.

Бином Ньютона - это отношение, позволяющее представить выражение (a + b)ⁿ (n ∈ Z⁺) в виде многочлена.

Теорема 1: Имеет место равенство

(a + b)ⁿ = aⁿ + С_n¹a^{n - 1}b + С_n²a^{n - 2}b² + ... + С_n^ka^n - kb^k + ... + С_n^{n - 1}ab^{n - 1} + bⁿ. (1)

Формулу (1) можно записать в виде (a + b)ⁿ = ⁿ_k=0C_n^ka^n-kb^k.

Числа С_n¹, С_n², ... , С_n^{n - 1} называются биномиальными коэффициентами.

С помощью следующей таблицы можно определить значения биномиальных коэффициентов для любой степени. Строится он следующим образом - любое число образуется суммой рядом стоящих чисел над ним. Именно потому эта таблица имеет название треугольник Паскаля.

0

1

1

1  1

2

1  2  1

3

1  3  3  1

4

1  4   6   4  1

5

1  5  10  10  5  1

6

1  6  15  20  15  6  1

7

1  7  21  35  35  21  7  1

8

1  8  28  56  70  56  28  8  1

Слева указана степень n, справа значения соответствующих биномиальных коэффициентов.

№24 r- выборки из n - множества.

Определение 1. Набор элементов , ,…,из множества называетсявыборкой объема r из n элементов (или, иначе, -выборкой).

Выборка называется упорядоченной, если порядок следования элементов в ней задан.

Замечание. Две упорядоченные выборки, различающиеся лишь порядком следования элементов, считаются различными.

Если порядок следования элементов не является существенным, то выборка называется неупорядоченной.

В выборках могут допускаться или не допускаться повторения элементов.

Определение 2.Упорядоченная-выборка, в которой элементы могут повторяться, называется -размещением с повторениями.

Определение 3.Упорядоченная-выборка, элементы которой попарно различны, называется -размещением без повторений (или, иначе, -размещением).

Замечание.-размещения без повторений называются перестановками множества X.

Определение 4.Неупорядоченная-выборка, в которой элементы могут повторяться, называется -сочетанием с повторениями.

Определение 5.Неупорядоченная-выборка элементы, которой попарно различны, называется -сочетанием без повторений (или, иначе, -сочетанием).

Замечание. Любое -сочетание можно рассматривать, какr-элементное подмножество n-элементного множества.

Число -размещений с повторениями будем обозначать, а без повторений – через. Число перестановокn-элементного множества будем обозначать через (т.е.). Число-сочетаний с повторениями будем обозначать через, а без повторений – через.