5.Отношение порядка. Отношение эквивалентн. Бинарные опер.

Отношение эквивалентности наз. отнош., явл. рефлексивным, симметричным.и транзитивным. (X,Y) R (Z,P) X/Y=Z/P

Пусть на мн-ве М задано отношение эквивалентности R, для каждого элемента рассмотрим M_a ={b|}.

В силу симметричности и транзитивности отнош. R получаем, что если , то мн-веM_a = M_b.

Если Ṝb, то M_aM_b=, следовательно система множеств { M_a } есть разбиение мн-ва М на классы эквивалентности бинарного отношения R на множестве М. При этом любые два элемента одного класса эквивалентности эквивалентны, любые 2 элемента разных классов не эквивалентны.

Отношения порядка. Отношения строгого порядка наз. бинарное отношение явл. антисимметричным, антирефлексивным и транзитивным. Обозначают это отношение таким образом a{b и говорят: а предшествует b.

Отношения не строгого порядка наз. бинарное отношение явл. рефлексивным, антисимметричным и транзитивным.

Отношения порядка устанавливаются на тех мн-вах, где для всех пар либо для некоторых отношение предшествования.

Задание на мн-ве отношения порядка наз. Упорядочением мн-ва, а само мн-во М наз. упорядоченным.

Если для a,bM выполнено a{b либо b{a, то элементы a и b наз. сравнимыми.В противном случае несравнимыми.

Линейноупорядоченным мн-вом М наз. мн-во на котором задано отнош. порядка, причём любые 2 элемента мн-ва М сравнимы.

Частично упорядоченным наз. мн-во в котором допускается несравнимые элементы. Если a²+b²+c²<d²+e²+f².

Бинарные операции. Множество , B={0,1}, тогда отображениеназ. характеристической ф-цией м-ваM и ставит в соответствие элементам множ. M 1 , и О если элемент, то.

n-арная операция на множ. M-есть отображ.f :Mⁿ→M, где М – произвольное множ. не обязательно числовое.

Если n=2, то операция наз. бинарной– обозначение.

Частным случаем n- арной операции когда M – числовое множ. явл. n- местная функция.

Мн-во М наз. замкнутым отнош. опер. .

БулеаномB(E) наз.множ. Всех подмн-ств множ. E.

БулеаномB(E) явл. Замкнутым отнош. операций объединения, пересечения и дополнения ().

А система { B(E),} – наз. алгеброй мн-ва на мн-ве Е или алгеброй Кантора.

Ассоциативной бинарной операцией наз. опер. , обладающая св-вом:.

Ассоциативность позволяет записывать такую последов. без скобок. (32:4):2=4 32:(4:2)=16

Если опер. обладает св-вом:то она наз. коммутативной бинарной опер.

Дистрибутивность бинарной опер. определяет распределительный закон подобный арифметическому отношению ((a+b)c=ac+bc.

Дистрибутивность слева бинарной опер. относ. бинарной опер. есть св-ва: (=.

Дистрибутивность справа бинарной опер. относ. бинарной опер. будет св-ва: =.

6. Алгебры. Алгебра Кантора и булева алгебра. Изоморфизм. Операции над двоичными числами.

Алфавит, это кортеж попарных символов, которые мы будем наз. буквами алфавита.

К алфавиту будем также относить мн-во {0,1}, а также {0,1,2,…,9}.

Словом в алфавите A будем называть кортеж (вектор) из символов алфавита А.

Слово записывается символами алфавита подряд слева направо без пробелов.

Формула не всегда считается словом из-за нелинейности расположения символов.

Алгеброй будем. наз. мн-во М вместе с заданной на этом мн-ве системой операций, где – некот. опер. При этомназ. сигнатурой алгебры, М – носитель алгебры.

(F; D) – мно-во всех диф. фун. F многл. всех действ. ф-ций, D – оператор диф.

Изоморфизмом 2-х алгебр А=;B=() будем наз. взаимооднозначное соотв. Г междуM и N и операциями ипри котором выполнено усл.:

Смысл этого соответствия состоит в том, что если в алгебре А выполнить какие-либо операции над элементами мн-ва М и выполнить соотв. операции в алгебре В над элементами мн-ва М, то результат операции также будут соответствовать друг другу.

Т.к. системаявл.алгеброй Кантора. Если этой алгебры поставить в соответствиеоперациютрактовать как +;

То алгебра Кантера будет соотв. алгебре введённой на мн-вецелых чисел отн. +, ;

Т.к. в изоморфных алгебрах А и В можно элементы и операции переименовать так, что В=А, то в дальнейшим алгебры будем рассматривать в точности до изоморфизма.

Булева алгебра.

Булевой алгеброй называется непустое множество A с двумя бинарными операциями (аналог конъюнкции),(аналогдизъюнкции),унарной операцией(аналог отрицания) и двумя выделенными элементами: 0 (или Ложь) и 1 (или Истина) такими, что для всех a, b и c из множества A верны следующие аксиомы: