- •Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
- •Кафедра информатики и прикладной математики математика ч. 2 Теория вероятностей и элементы математической статистики
- •Санкт-Петербург
- •Информация о дисциплине
- •1.1. Предисловие
- •Содержание дисциплины и виды учебной работы
- •Объем дисциплины и виды учебной работы
- •Перечень видов практических занятий и контроля:
- •2. Рабочие учебные материалы
- •2.1. Рабочая программа (объем 150 часов) Введение
- •Раздел 1. Случайные события (50 часов)
- •Тематический план дисциплины для студентов очно-заочной формы обучения
- •Тематический план дисциплины для студентов заочной формы обучения
- •2.3. Структурно-логическая схема дисциплины
- •Математика ч.2. Теория вероятностей и элементы математической статистики Теория
- •Раздел 1 Случайные события
- •Раздел 3 Элементы математической статистики
- •Раздел 2 Случайные величины
- •2.5. Практический блок
- •2.6. Балльно-рейтинговая система
- •Информационные ресурсы дисциплины
- •Библиографический список Основной:
- •3.2. Опорный конспект по курсу “ Математика ч.2. Теория вероятностей и элементы математической статистики” введение
- •Раздел 1. Случайные события
- •1.1. Понятие случайного события
- •1.1.1. Сведения из теории множеств
- •1.1.2. Пространство элементарных событий
- •1.1.3. Классификация событий
- •1.1.4. Сумма и произведение событий
- •1.2. Вероятности случайных событий.
- •1.2.1. Относительная частота события, аксиомы теории вероятностей. Классическое определение вероятности
- •1.2.2. Геометрическое определение вероятности
- •Вычисление вероятности события через элементы комбинаторного анализа
- •1.2.4. Свойства вероятностей событий
- •1.2.5. Независимые события
- •1.2.6. Расчет вероятности безотказной работы прибора
- •Формулы для вычисления вероятности событий
- •1.3.1. Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли)
- •1.3.2. Условная вероятность события
- •1.3.4. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •Раздел 2. Случайные величины
- •2.1. Описание случайных величин
- •2.1.1. Определение и способы задания случайной величины Одним из основных понятий теории вероятности является понятие случайной величины. Рассмотрим некоторые примеры случайных величин:
- •Чтобы задать случайную величину, надо указать ее закон распределения. Случайные величины принято обозначать греческими буквами ,,, а их возможные значения – латинскими буквами с индексамиxi,yi,zi.
- •2.1.2. Дискретные случайные величины
- •Рассмотрим события Ai , содержащие все элементарные события , приводящие к значению XI:
- •Пусть pi обозначает вероятность события Ai :
- •2.1.3. Непрерывные случайные величины
- •2.1.4. Функция распределения и ее свойства
- •2.1.5. Плотность распределения вероятности и ее свойства
- •2.2. Числовые характеристики случайных величин
- •2.2.1. Математическое ожидание случайной величины
- •2.2.2. Дисперсия случайной величины
- •2.2.3. Нормальное распределение случайной величины
- •2.2.4. Биномиальное распределение
- •2.2.5. Распределение Пуассона
- •Раздел 3. Элементы математической статистики
- •3.1. Основные определения
- •Гистограмма
- •3.3. Точечные оценки параметров распределения
- •Основные понятия
- •Точечные оценки математического ожидания и дисперсии
- •3.4. Интервальные оценки
- •Понятие интервальной оценки
- •Построение интервальных оценок
- •Основные статистические распределения
- •Интервальные оценки математического ожидания нормального распределения
- •Интервальная оценка дисперсии нормального распределения
- •Заключение
- •Глоссарий
- •4. Методические указания к выполнению лабораторных работ
- •Библиографический список
- •Лабораторная работа 1 описание случайных величин. Числовые характеристики
- •Порядок выполнения лабораторной работы
- •Лабораторная работа 2 Основные определения. Систематизация выборки. Точечные оценки параметров распределения. Интервальные оценки.
- •Понятие статистической гипотезы о виде распределения
- •Порядок выполнения лабораторной работы
- •Ячейка Значение Ячейка Значение
- •5. Методические указания к выполнению контрольной работы Задание на контрольную работу
- •Методические указания к выполнению контрольной работы События и их вероятности
- •Случайные величины
- •Среднее квадратическое отклонение
- •Элементы математической статистики
- •6. Блок контроля освоения дисциплины
- •Вопросы для экзамена по курсу « Математика ч.2. Теория вероятностей и элементы математической статистики»
- •Продолжение таблицы в
- •Окончание таблицы в
- •Равномерно распределенные случайные числа
- •Содержание
- •Раздел 1. Случайные события………………………………………. 18
- •Раздел 2 . Случайные величины ..………………………… ….. 41
- •Раздел 3. Элементы математической статистики ............... . 64
- •4. Методические указания к выполнению лабораторных
- •5. Методические указания к выполнению контрольной
1.1.3. Классификация событий
Для конечных пространств элементарных событий отождествим событие и множество всех исходов, при которых данное событие наступает. Эти исходы называют элементарными событиями, благоприятствующими данному событию. Для конечных пространств элементарных событийсобытие– это множество всех исходов ему благоприятствующих. Такой подход к определению случайного события позволяет применять теорию множеств.
Определение. Невозможным событиемназывается событие, которое не может наступить в условиях данного эксперимента, т.е. это событие имеет пустое множество благоприятствующих исходов.
Например, пусть событие D ={на верхней грани кубика выпало число > 7}. Это событие является невозможным и ему соответствует пустое множество благоприятствующих исходов. Будем невозможное событие обозначать символом.
Определение. Достоверным называется событие, которое всегда наступает в условиях данного эксперимента. Множество благоприятствующих исходов достоверного события совпадает с пространством элементарных событий.
Пусть событие E= {на верхней грани кубика выпало число <= 7}. Это событие является достоверным и множество благоприятствующих ему исходов совпадает с пространством элементарных событий.
Определение. Если при каждом осуществлении событияAпроисходит событиеB, то говорят, чтособытие A влечет событие B. В этом случае множество благоприятствующих исходов событияAсодержится в множестве благоприятствующих исходов событияB, т.е..
Определение. СобытияА и В называются эквивалентными, если событиеА влечет событие В, а событие В влечет А.
Определение. Событие =-A называется противоположным событиюA. Множество благоприятствующих исходов событияявляется дополнением до пространства элементарных событиймножества благоприятствующих исходов событияA( или появление события -это непоявление событияА ).
Определение. События A и B называются несовместными,если они не могут произойти вместе.
1.1.4. Сумма и произведение событий
Определение. Суммой (объединением) событий A и Bназывается событие, которое наступает, когда происходит хотя бы одно из этих событий, и обозначаетсяA+B. При сложении событий множества благоприятствующих исходов складываются (объединяются).
Например, для событий примера 1.6 суммой событий AиC будет событиеA+C ={1 ,2 ,3 ,4 ,6}, а суммой событийAиB будет событиеA+B = {1,2,3,4,5,6}=, т. е. достоверное событие.
Операцию сложения определяют и для бесконечной последовательности событий.
Определение. Суммой (объединением)последовательности событий A1, A2, … An,.. называется событие, которое наступает, когда происходит хотя бы одно из событий последовательности и обозначается.
Пусть событие A состоит из благоприятствующих исходов.
Тогда событие Aпо определению суммы можно представить в виде
.
Определение. Произведением событий A и B называется событие, которое происходит при одновременном наступлении этих событий и обозначаетсяAB. При умножении событий множества благоприятствующих исходов умножаются (пересекаются).
Например, для событий примера 1.6 произведением событий A иCбудет событиеAC = {1 ,3}, а произведением событийAиBбудет невозможное событиеAB =.
Определение.Произведением последовательности событий A1,A2,…An,..называется событие, которое происходит при одновременном наступлении всех событий последовательности и обозначается.
Определение. Разность событий A и Bпроисходит, когда событиеAнаступает, а событиеB -не наступает, и обозначаетсяA-B.
Используя определения действий над событиями, можно доказать следующие свойства
1) A+B=B+A 2) AB=BA 3) A+(B+C)=(A+B)+C
4) A(B+C)=AB+AC 5) A+=A 6) A=
7) A=A 8) A+A=A 9) AA=A
10) A+= 11) A=A 12) A+=
13) A= 14) =A 15) = 16) =.
Первые семь свойств аналогичны свойствам алгебры, таким как перестановка, сочетание и распределение, при этом невозможное событие можно считать как 0, а достоверное событие– как 1. Остальные свойства не имеют аналогов в алгебре.
Для событий Аи Всправедливы формулы, называемые соотношениями двойственности:
.
Определение. Класс событий U образует алгебру событий, если
1) достоверное событие содержится в этом классе, т.е. U
2) для любых событий A U,B U из этого класса их сумма и произведение также принадлежат этому классу: AB U, A+B U,
3) если событие A из этого класса A U , то и противоположное событие также принадлежит этому классу: А U.
Пример 1.7.Подбрасывают две монеты различного достоинства. Пространство элементарных событий состоит из четырех элементов
= {ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ }.
Здесь Гозначает, что монета выпала гербом вверх, аЦ –цифрой вверх.
Построим все подмножества пространства элементарных событий :
, ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ, { ГГ, ГЦ }, { ГГ, ЦГ}, {ГГ, ЦЦ}, { ГЦ, ЦГ }
{ ГЦ, ЦЦ }, { ЦГ, ЦЦ }, {ГГ, ГЦ, ЦГ}, {ГГ, ГЦ, ЦЦ }, {ГГ, ЦГ, ЦЦ },
{ГЦ, ЦГ, ЦЦ }, {ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ }=.
Нетрудно проверить, что все 16 событий образуют алгебру событий.
Для точного определения события в произвольном пространстве элементарных событий рассмотрим следующее определение.
Определение. Алгебра событий U образует -алгебру событий, если для бесконечной последовательности событий Ai из -алгебры событий их объединение и пересечение принадлежат -алгебре
U , U.
Если задано пространство элементарных событий и -алгебра событий U, то говорят, что задано измеримое пространство { , U }.
В случае произвольного пространства элементарных событий , событиями называют только такие подмножества пространства элементарных событий , которые образуют -алгебру событий U. Все остальные подмножества , не входящие в -алгебру событий U, событиями не являются.
Вопросы для самопроверки
При подбрасывании монеты выпала сторона с изображением герба (условно обозначим это событие буквой А). Какое событие будет являться противоположным событию А?
Подбрасываются две монеты, в результате чего видим изображение двух гербов. Что будет являться противоположным событием в этом случае?
Написать действие, соответствующее тому факту, что при подбрасывании двух монет на одной будет изображен герб (событие А), а на другой монете – цифра (событие В).