3.4. Интервальные оценки

В статистике имеются два подхода к оцениванию неизвестных параметров распределений: точечный и интервальный. В соответствии с точечным оцениванием, которое рассмотрено в предыдущем разделе, указывается лишь точка, около которой находится оцениваемый параметр. Желательно, однако, знать, как далеко может отстоять в действительности этот параметр от возможных реализаций оценок в разных сериях наблюдений.

Ответ на этот вопрос – тоже приближенный – дает другой способ оценивания параметров – интервальный. В соответствии с этим способом оценивания находят интервал, который с вероятностью, близкой к единице, накрывает неизвестное числовое значение параметра.

Понятие интервальной оценки

Точечная оценка является случайной величиной и для возможных реализаций выборки принимает значения лишь приближенно равные истинному значению параметра. Чем меньше разность, тем точнее оценка. Таким образом, положительное число, для которого, характеризует точность оценки и называетсяошибкой оценки(или предельной ошибкой).

Доверительной вероятностью (или надежностью)называется вероятностьβ, с которой осуществляется неравенство, т. е.

. (3.20)

Заменив неравенство равносильным ему двойным неравенством, или, получим

. (3.21)

Интервал , накрывающий с вероятностьюβ,, неизвестный параметр, называетсядоверительным интервалом (или интервальной оценкой),соответствующим доверительной вероятностиβ.

Случайной величиной является не только оценка , но и ошибка: ее значение зависит от вероятностиβи, как правило, от выборки. Поэтому доверительный интервал случаен и выражение (3.21) следует читать так: “Интервалнакроет параметрс вероятностьюβ”, а не так: “Параметрпопадет в интервалс вероятностьюβ”.

Смысл доверительного интервала состоит в том, что при многократном повторении выборки объема в относительной доле случаев, равнойβ, доверительный интервал, соответствующий доверительной вероятностиβ, накрывает истинное значение оцениваемого параметра. Таким образом, доверительная вероятностьβхарактеризуетнадежностьдоверительного оценивания: чем большеβ, тем вероятнее, что реализация доверительного интервала содержит неизвестный параметр.

Следует, однако, иметь в виду, что с ростом доверительной вероятности βв среднем растет длина доверительного интервала, то есть уменьшается точность доверительного оценивания. Выбор доверительной вероятности определяется конкретными условиями; обычно используются значенияβ, равные 0,90; 0,95; 0,99.

Вероятность (3.22)

называется уровнем значимостии характеризует относительное число ошибочных заключений в общем числе заключений.

В формуле (3.21) границы доверительного интервала симметричны относительно точечной оценки. Однако не всегда удается построить интервал, обладающий таким свойством. Более общим является следующее определение.

Доверительным интервалом(илиинтервальной оценкой) параметрас доверительной вероятностьюβ, 0< β <1, называется интервал со случайными границами,, накрывающий с вероятностьюβнеизвестный параметр, т. е.

. (3.23)

Иногда вместо двусторонних доверительных интервалов рассматривают односторонние доверительные интервалы, полагая или.