Тестовые задания

1. Точечная оценка параметра распределения признака, вычисленная по выборке, характеризуется:

1) одним числом 2) средним значением признака

3) точкой на прямой 4) результатами выборки

2. В результате измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм): 11, 13, 15. Тогда оценка дисперсии измерений равна:

1) 4; 2) 13; 3) 8; 4) 3.

3. Отметьте правильные ответы. Качество точечной оценки параметра распределения признака характеризуется:

1) несмещенностью; 2) эффективностью;

3) состоятельностью; 4) случайностью.

4. Отметьте правильный ответ. Несмещенная оценка математического ожидания признака:

1) ; 2);

3) ; 4).

5. Оценка генеральной средней признака:

1) выборочное среднее значение 2) среднее значение признака

3) наибольшее значение признака 4) математическое ожидание

6. Несмещенная оценка дисперсии признака:

1) ; 2);

3) ; 4).

7. Проведено четыре измерения (без систематических ошибок) некоторой случайной величины (в мм): 5, 6, 9, 12. Оценка математического ожидания равна:

1) 8,25; 2) 8,5 ; 3) 7; 4) 8.

8. Математическое ожидание оценки параметра равно:

1) параметру; 2) выборочному среднему значению;

3) выборочной дисперсии; 4) нулю.

9. Несмещенная и состоятельная оценка генеральной дисперсии:

1) выборочная дисперсия; 2) исправленная выборочная дисперсия;

3) размах признака; 4) приближенное значение дисперсии.

Ответы. 1. 1). 2. 1). 3. 1, 2, 3. 4. 2).

5. 1). 6. 1). 7. 4). 8. 1). 9. 2).

Контрольные вопросы

1. Дайте определение точечной статистической оценки.

2. Какая оценка параметра распределения называется точечной?

3. Какими свойствами обладает выборочное среднее ?

4. Какими свойствами обладает выборочная дисперсия ?

5. Какая числовая характеристика выборки является несмещенной для математического ожидания?

6. Какая числовая характеристика выборки является несмещенной для дисперсии?

Тема 2. Интервальные оценки параметров генеральной совокупности

1. Доверительная вероятность и доверительный интервал

Точечные оценки являются приближенными, так как они указывают точку на числовой оси, в которой должно находиться значение неизвестного параметра.

Оценка параметра при разных выборках одного и того же объема будет принимать разные значения. Поэтому в ряде задач требуется найти не только подходящее значение параметра, но и определить его точность и надежность.

Для этого в математической статистике используется два понятия – доверительный интервал и доверительная вероятность.

Доверительный интервал – интервал значений, в пределах которого, как можно надеяться, находится параметр генеральной совокупности.

Наша надежда выражается доверительной вероятностью – вероятность, с которой доверительный интервал «захватит» истинное значение параметра генеральной совокупности. Чем выше доверительная вероятность, тем шире доверительный интервал. Значение доверительной вероятности выбирает сам исследователь. Обычно это 0,9; 0,95; 0,99.

Если статистическая оценка параметра закона распределения случайной величины характеризуется двумя числами – концами интервала, то такая оценка называетсяинтервальной.

Интервал , в который попадает оцениваемый параметрс заданной надежностью(вероятностью), называетсядоверительным интервалом, а вероятность -доверительной вероятностью или уровнем надежности. Число называетсяуровнем значимости.

Вычисление доверительных интервалов основывается на предположении нормальности наблюдаемых величин. Если это предположение не выполнено, то оценка может оказаться плохой, особенно для малых выборок. При увеличении объема выборки, скажем, до 100 или более, качество оценки улучшается и без предположения нормальности выборки.

Например, если среднее выборки равно 23, а нижняя и верхняя границы доверительного интервала с уровнем p=.95 равны 19 и 27 соответственно, то можно заключить, что с вероятностью 95% интервал с границами 19 и 27 накрывает среднее популяции. Если мы установим больший уровень доверия, то интервал станет шире, поэтому возрастает вероятность, с которой он "накрывает" неизвестное среднее популяции, и наоборот.

Доверительный интервал применяется в случае сравнительно небольшого объема выборки, когда предполагается, что надежность точечной оценки может быть невысокой.

Доверительный интервал симметричен относительно оценки истинного значения параметраи имеет вид, где- предельная ошибка выборки (наибольшее отклонение выборочного значения параметра от его истинного значения). Это означает, что неравенствавыполняются с вероятностью.

Для доверительного интервала половина его длиныназываетсяточностью интервального оценивания.

Если выполняется соотношение , то числоназываетсяточностью, а число -надежностью оценки генеральной числовой характеристики.