Контрольные вопросы

1. Приведите пример задачи сравнения независимых выборок по уровню признака.

2. Какие характеристики выборки необходимо знать, чтобы определить выбор критерия различия?

3. Каковы последующие действия исследователя, если применимый критерий не выявил различия в выборках по уровню признака?

4. Найдите по таблице критических значений критерия Манна–Уитни значение для,,.

Тема 3. Проверка гипотезы о равенстве генеральных средних (независимые выборки)

Важнейшим вопросом, возникающим при анализе двух выборок, является задача выявления однородности выборок. Эта задача сводится к проверке гипотез об оценке различия между их параметрами – между средними (математическими ожиданиями) и между дисперсиями.

1. Постановка задачи о равенстве средних независимых генеральных совокупностей

Постановка задачи

Даны две независимые выборки ииз двух генеральных совокупностей. По этим выборкам найдены выборочные средние;и выборочные дисперсии;. Проверяется гипотезао равенстве математических ожиданийгенеральных совокупностей, из которых извлечены выборки. Альтернативной гипотезойявляется гипотеза.

Такие проверки возникают на производстве при сравнении средних значений контролируемого параметра продукта, выпускаемого двумя станками, в экономике при сравнении среднего уровня зарплаты, среднего объема выпускаемой продукции в двух регионах. Эта задача может возникнуть в социальной сфере при сравнении социальных факторов, таких, как средний возраст, средний уровень обеспеченности жильем.

Для решения этой задачи применяется -критерий Стьюдента, но его использование отличается в зависимости от различных предположениях относительно дисперсий.

В психологии чаще используется случай, когда дисперсии выборок неизвестны. Это объясняется тем, что, во-первых, в психологической практике генеральные дисперсии, как правило, неизвестны и, во-вторых, по психологическим выборкам малого объема () нельзя получить «хорошие» оценки дисперсий.

В случае неизвестных генеральных дисперсий возможны следующиеварианты: 1) дисперсии одинаковы; 2) дисперсии неодинаковы. Будем считать, что генеральные дисперсии в двух совокупностях одинаковы: , что связано с понятием однородности выборок и отражает сущность решаемой задачи.

2. Критерий Стьюдента для оценки различия средних значений признака в независимых выборках

Из параметрических критериев наибольшей известностью пользуется критерий Стьюдента (-критерий различия). Он применяется при сравнении математических ожиданий двух выборок, если есть основание считать, что выборки взяты из генеральных совокупностей с нормальным распределением.

При малых выборках () до начала применения-критерия необходимо проверить гипотезу о соответствии экспериментальных данных нормальному распределению.При средних и больших объемах выборки ()-распределение переходит в нормированное нормальное распределение (с параметрамии).

При использовании -критерия различия средних можно выделить два случая:

выборки независимы, т.е. получены в результате измерения двух разных групп объектов (например, две различные выборки - контрольная и экспериментальная группы);

выборки зависимые, т.е. получены в результате измерения одной и той же группы объектов, но в разное время (например, числовой материал порождается одной и той же группой объектов - «до» и «после» воздействия).

Рассмотрим независимые выборки.

Критерий (правило) проверки гипотезы

1. Проверяем нулевую гипотезу :о равенствегенеральных средних.

2. Формулируем альтернативную гипотезу :о неравенствегенеральных средних. В качестве могут выступать и другие предположения:или.

3. Назначаем уровень значимости (или).

4. Вычисляем выборочные средние значения и.

5. Вычисляем выборочное значение -критерия , где выражение для равно. Доказано, что статистикараспределена по закону Стьюдента сстепенями свободы. Таблица критических точек распределения Стьюдента приведена в Приложении.

6. По таблице критических точек распределения Стьюдента находим критическое значение при.Критическая область является двусторонней и распадается на два интервала: и. Вероятность ошибочного отклонения нулевой гипотезы делится пополам между интервалами и поэтому при нахождении критических точек фигурирует .Поскольку кривая распределения -Стьюдента симметрична, то и левая и правая критические точки симметричны относительно начала координат, т.е.. Вероятности попадания в левую часть критической области и в правую ее часть равны .

7. Сравниваем и, т.е. определяем, принадлежит ли значениекритической области.

Если , т.е.попало в область допустимых значений, то гипотеза принимается.Говорят, что с ошибкой нет оснований для отклонения гипотезыо незначимости различий между двумя генеральными средними. Различие между генеральными средними статистически незначимо (недостоверно) и объясняется случайными причинами, например, случайным отбором объектов выборки.

Если же , то гипотеза отклоняется, так как попало в критическую область. Отметим, что значениевсегда положительно, поэтомудостаточно сравнить его только с правой критической точкой .