Высшая математика

Доказательство: Положим в условии дифференцируемости все приращения, кроме ∆xk, равными нулю, тогда для частного приращения справедливо представление

∆xku = Ak∆xk + αk ∆xk

Отсюда

Следствие. Условие дифференцируемости функции в данной точке можно записать в виде:

Замечание 1. Существования частных производных в точке не достаточно для дифференцируемости функции в этой точке.

Покажем, что эта функция не дифференцируема в т. (0,0). Этого следует ожидать,

т.к. порядок приращения функции в нуле равен 25 ( u = 5 ∆x ∆y ), а в условии дифферен-

цируемости требуется, чтобы порядок приращения был не ниже первого. Предположим, что приращение функции представляется в виде

∆u = 0 ∆x + 0 ∆y + 0(ρ).

Это означает, что 5 ∆x ∆y = 0(ρ) ; ρ = (∆x)2 +(∆y)2 , т.е. должно выполняться условие

Отсюда следует, что 5 ∆x ∆y не является 0(ρ), т.е. функция не является дифференцируемой в нуле.

211

9. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Замечание 2. Из дифференцируемости функции в точке следует ее непрерывность

в этой точке. Действительно, из представления (1) следует, что lim ∆u = 0 .

∆x1 →0

...

∆xm →0

Обратное неверно даже в одномерном случае.

В предыдущем примере функция не является дифференцируемой, но является непрерывной. Действительно

Здесь использовано неравенство ab ≤ a 2 +2 b2 , которое, очевидно, следует из нера-

венства (а-b)2 ≥ 0.

9.6.3. Достаточное условие дифференцируемости

Пусть функция u = f(x1, ..., xm) имеет частные производные по всем аргументам в некоторой окрестности точки M 0 (x10,..., x0m ) , и эти частные производные непрерывны в самой

точке М0, тогда эта функция дифференцируема в т. М0. Принимая утверждение без доказательства, мы только отметим, что здесь частные производные рассматриваются как функции

m переменных ∂f (x1, ..., xm) в окрестности точки М0, причем эти функции непрерывны по

∂xi

совокупности переменных в т. М0 (и противоречия с примером 3 этой темы нет).

9.6.4. Геометрический смысл условия дифференцируемости функции двух переменных u=f(x,y)

Определение 1. Касательной плоскостью к графику функции u=f(x,y) в точке (х0, y0, f(x0,y0)) называется такая плоскость, что разность ее апликаты и значения функции f(x,y) является величиной, бесконечно малой по сравнению с ρ при ρ→0, где

ρ = (x − x0 )2 +(y − y0 )2 .

Пусть u0 = f(x0,y0), u = f(x,y), тогда условие дифференцируемости в т. (x0,y0) этой функции записывается в виде

u – u0 = A(x-x0)+B(y-y0)+0(ρ),

или

u = u0 + A(x-x0)+B(y-y0)+0(ρ).

Рассмотрим следующую плоскость

U-u0 = A(x-x0) + B(y-y0)

(U – откладывается на той же оси Оz, что и u), тогда ее апликата U определяется равенством

U= u0 + A(x-x0) + B(y-y0),

иразность

U-u = u0 + A(x-x0) + B(y-y0) – (u0+A(x-x0) + B(y-y0) + 0(ρ)) = 0(ρ).

212

9. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Таким образом, если функция u=f(x,y) дифференцируема в т. (x0,y0), то график этой функции в соответствующей точке (x0,y0, f(x0,y0)) имеет касательную плоскость, задаваемую уравнением

z – f(x0,y0) = ∂∂xf (x0, y0 ) (x − x0 ) + ∂∂xf (x0, y0 ) (y − y0 )

Из аналитической геометрии известно, что нормальный вектор к этой касательной плоскости имеет координаты

Уравнения нормали к касательной плоскости в т. (x0,y0, f(x0,y0)) имеют вид:

Замечание. Касательная плоскость может быть определена также следующим эквивалентным образом.

Определение 2. Плоскость П, проходящая через точку N0 поверхности, называется касательной плоскостью в этой точке, если угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через точку N0 и любую точку N1 поверхности, стремится к нулю, когда точка N1 стремится к N0.

z

N 1

П

N 0

y

x

Пример 1. Дана функция z = 2x2 – 3xy + 4y2 – 2x + y и точка (1,1). Написать уравнение касательной плоскости в соответствующей точке графика этой функции, а также уравнения нормали.

Уравнение касательной плоскости z – 2 = -1 (x-1) + 6 (y-1)

213

9. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Уравнения нормали к графику функции в той же точке имеют вид: x−−11 = y 6−1 = z−−12

9.6.5. Дифференцирование сложной функции

Пусть функция u = f(x1, ..., xm) и система функций

A 0 (t10,..., t 0k ) , а функция u = f(x1, ..., xm) дифференцируема в соответствующей точке

подставляются не произвольные приращения переменных ∆x1, ..., ∆xm, а приращения функции ϕi (t1,..., t k ) (i =1,..., m) , соответствующие приращениям аргументов ∆t1, ...,

∆tk. Эти приращения представимы в виде (следует из условия дифференцируемости функ-

ций ϕi (t1,..., t k )(i =1,..., m) )

214

9. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Выделяя затем линейную часть ∆u относительно ∆t1, ..., ∆tk, мы получаем выражения для частных производных сложной функции.

Заметим, что в случае, когда х1, ..., хm зависят только от одной переменной t, производная по t сложной функции (обыкновенная) вычисляется по формуле

и если, кроме того, f зависит от одной переменной х, то формула принимает вид: dudt = dudx ddtϕ , т.е. совпадает с формулой для одномерного случая.

= 2t12 t 2 + 4t1t 2 − 4t 32 .

215

9.ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

9.6.6.Дифференциал функции нескольких переменных

Дифференциал функции нескольких переменных определяется как линейная (относительно приращений аргументов) часть приращения дифференцируемой функции

du = ∂∂u dx1 +...+ ∂∂u dxm , x1 xm

где dxi ≡ ∆xi (i=1, ..., m), если x1, ..., xm – независимые переменные.

Как и в случае одной переменной первый дифференциал обладает свойством инвариантности его формы, т.е. выражение для первого дифференциала имеет тот же вид и в случае, когда х1, ..., хm являются функциями некоторых переменных t1, ..., tk. Свойство инвариантности формы первого дифференциала позволяет установить следующие формулы

d(c u) = c du (c = const) d(u ± v) = du ±dv

d(u v) = u dv + v du

Например, для дифференциала произведения рассуждаем следующим образом. Рассмотрим функцию ω = u v двух переменных u, v. Дифференциал этой функции равен

Пример 2. z = ex2 +y , где x=cost, y=t2. Вычислить дифференциал сложной функ-

ции.

Воспользуемся инвариантностью формы первого дифференциала dz = ∂∂xz dx + ∂∂yz dy .

216

9. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Здесь

9.6.7. Производная по направлению. Градиент

Пусть задана функция двух переменных u=f(x,y) (для большего числа переменных все аналогично), которая определена в окрестности т. (x0,y0) и дифференцируема в этой точке. Мы будем рассматривать нашу функцию на лучах, проходящих через т. (x0,y0). Луч

задается начальной точкой и направляющим единичным векторомer = {cosα;cosβ}, его параметрические уравнения имеют вид:

(( e ,gradu) принимает наибольшее значение).

217

9. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Таким образом, gradu определяет направление, в котором скорость возрастания функции является наибольшей.

u

u=f(x,y)

y

gra du

x

Пример 1. Найти производную функции z = x2y3 в точке (1,2) в направлении вектора, составляющего с положительным направлением оси Ох угол 450.

Пример 2. Найти grad(x2 – y) в точке (1,1) и вычислить производную функции в направлении градиента в этой точке

Производная функции в направлении градиента равна модулю градиента.

где cosα, cosβ, cosγ – направляющие косинусы вектора e . Соответственно,

gradu = ∂f ; ∂f ; ∂f .

∂x ∂y ∂z

218

9.ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

9.7.Частные производные и дифференциалы высших порядков функций нескольких переменных

9.7.1.Частные производные высших порядков

Пусть частная производная ∂u (x1,..., xm ) функции u=f(x1,...,xm) существует в ка-

∂xi

ждой точке некоторого множества {M}, т.е. представляет собой функцию переменных x1,

..., xm.

Если эта функция имеет частную производную по переменной хk в некоторой точке М0, то она называется второй частной производной функции f(x1, ..., xm) по переменным xi и xk и обозначается

Совершенно аналогично определяются и последующие частные производные функции f.

Таким образом,

Если не все индексы i1, ..., in совпадают между собой, то частная производная называется смешанной.

Вычисляются частные производные по тем же правилам, что и обыкновенные производные. Необходимо только следить при каждом дифференцировании, чтобы все переменные, кроме одной, считались постоянными.