Высшая математика

9. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Пример 5. Исследовать на экстремум функцию u = x2 + y2 + z2 +2x + 2y + 4z.

Квадратичная форма является положительно определенной, поэтому в т. (-1, -1, -2) функция имеет локальный минимум (не трудно проверить, что он является и глобальным).

Замечание. Если второй дифференциал функции f(x1, ..., xm) в т. М0 не является ни знакоопределенной, ни знакопеременной квадратичной формой (d2f(M0)≥0 всюду или d2f(M0)≤0 всюду, причем есть ненулевые наборы dx1, ..., dxm, в которых d2f(M0)=0), т.е. является квазизнакоопределенной квадратичной формой, то ничего нельзя сказать о наличии или отсутствии в этой точке локального экстремума, и требуется дополнительное исследование. Это показано на следующих двух примерах.

d 2f(0,0) = 0 (dx)2 +2 0 dx dy +0 (dy)2 ≡ 0 – является квазизнакоопределенной

квадратичной формой. Экстремума в т. (0,0) нет, т.к. f(x,x)=2x3 меняет знак вдоль прямой у=х при переходе через т. (0,0).

231

9. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Пример 7. f(x,y) = x2 + 2xy + y2

d 2f = 2(dx)2 +2 2dxdy +2(dy)2 = 2(dx +dy)2 ≥ 0.

d 2f является квазизнакоопределенной квадратичной формой (d 2f =0 при dx=-dy). Заметив, что f(x,y)=(x+y)2 ≥ 0, мы получаем, что т. (0,0) (не строгий) минимум.

В частном случае двух переменных можно сформировать следующее достаточное условие экстремума.

Теорема. Пусть функция f(x,y) определена и имеет непрерывные частные производные второго порядка в окрестности точки (х0,у0), которая является стационарной для

Следовательно, в т. (-1, -2) локальный минимум.

232

9.ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

9.11.Условный экстремум функции нескольких переменных

Определение 1. Функция u=f(x1, ..., xm) имеет условный максимум (условный ми-

выполняется неравенство f(M0) ≥ f(M) (f(M0) ≤ f(M)).

То, что условный экстремум не совпадает, вообще говоря, с обычным экстремумом функции, видно на следующем примере.

Пример 1. u = x2 + y2 при условии x+y-1=0

Безусловный экстремум этой функции достигается в точке (0,0) и равен 0.

Условный экстремум ищем при условии x+y-1=0, т.е. для функции u = x2 + y2 = x2 + (1-x)2 = 2x2 – 2x + 1

Следовательно функция u = x2 + y2 имеет условный минимум в т. ( 12 ; 12 ), который

233

9. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

из которой находятся x10,..., x0m , λ01,..., λ0s , где (x10,..., x0m ) – координаты точки, в которой возможен условный экстремум (для каждой такой точки получается свой (!) набор параметров λ1,..., λs ).

(Эти соотношения получаются, если взять дифференциалы от уравнений связи).

Пример 2. Исследовать на условный экстремум функцию f(x,y)=xy при наличии связи x2+y2 =1.

Функция Лагранжа имеет вид: L = xy + λ(x2 + y2 -1)

∂∂Lx = y +2λx = 0

∂∂Ly = x +2λy = 0

x2 + y2 −1 = 0

Решая эту систему, получим четыре решения:

(+, если х,у разных знаков) (-, если х,у одного знака).

Рассмотрим, например, точку x1 = y1 = 12 ; λ = −12

Для λ = −12 функция Лагранжа принимает вид: L(x,y) = xy – 12 (x2 + y2 -1).

d2L( 12 ; 12 ) = -(dx)2 + 2 1 dxdy – (dy)2 = -(dx – dy)2.

234

9. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Этот дифференциал является квазизнакоопределенным для произвольных dx и dy. Однако, dx и dy не являются независимыми, и из уравнения связи следует

x2 + y2 -1 = 0 2xdx + 2ydy = 0, и в т. ( 12 ; 12 ) получаем dx + dy = 0, или dy = -dx.

Эта квадратичная форма отрицательно определена, и в т. ( 12 ; 12 ) исходная функция f=xy имеет условный максимум.

Замечание. Для разыскания наибольшего (наименьшего) значения дифференцируемой функции u = f(x1, ..., xm) в замкнутой области D, ограниченной гладкой кривой, поступаем следующим образом:

1) находим стационарные точки внутри D, решая систему

2)находим стационарные точки функции Лагранжа для случая, когда уравнением связи является уравнение границы области D;

3)сравниваем значения функции f в полученных точках: наибольшее из них будет наибольшим значением функции в области D; наименьшее – наименьшим значением функции в области D.

В предыдущем примере внутри круга x2 + y2 ≤ 1 функция f(x,y)=xy имеет четыре

значение равно - 12 .

235

10.ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

10.Двойные интегралы

Двойные интегралы представляют собой одно из возможных обобщений понятия определенного интеграла на случай функции двух переменных. К введению этого понятия естественным образом приводит решение задачи об объеме цилиндрического тела.

Рассмотрим тело V, которое сверху ограниченно поверхностью z=f(x,y), где f(x,y) – непрерывная функция, с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси z, наконец снизу – областью σ плоскости XOY (σ – проекция поверхности S, заданной уравнением z=f(x,y) на плоскость XOY). Такое тело V будем называть цилиндрическим телом с основанием σ (рис. 1). В частных случаях боковая

поверхность может отсутствовать, например: z= R 2 − x 2 − y2 .

Z

z=f(x,y)

Y

σ

∆σi

X

Рис. 1

Требуется найти объем этого цилиндрического тела.

Для решения этой задачи применим обычный в интегральном исчислении метод, состоящий в разложении искомой величины на элементарные части, приближенному подсчету каждой части, суммированию и последующему предельному переходу. С этой целью разобьем область σ на n частей: ∆σ1, ∆σ2, …, ∆σn и рассмотрим ряд цилиндрических столбиков, которые имеют своими основаниями эти частичные области и в совокупности составляют данное тело. Напомним два принципа, из которых мы исходим при определении объема тела:

1.Если разбить тело на части, то его объем будет равен сумме объемов всех частей.

2.Объем прямого цилиндра, т.е. цилиндрического тела, ограниченного плоскостью, параллельной плоскости XOY, равен площади основания, умноженной на высоту тела.

236

10. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Для определения объема ∆V1 столбца с основанием ∆σi возьмем в области ∆σi произвольную точку Pi(xi;yi) и построим цилиндр с основанием ∆σi и высотой hi=f(xi;yi). На ∆σi можно принять за приближенное значение объема ∆Vi:

∆Vi≈f(xi;yi) ∆σi.

n

Рассмотрим Vn=f(x1;y1)∆σ1+ f(x2;y2)∆σ2+…+ f(xn;yn)∆σn= ∑f (xi ; yi )∆σi .

i=1

Принимая объем V данного цилиндрического тела приближенно равным Vn, будем считать, что Vn тем точнее выражает V, чем больше n и чем меньше каждая из частичных областей.

Переходя к пределу при n→∞, мы будем требовать, чтобы не только площадь каждой частичной области стремилась к нулю, но чтобы стремились к нулю все ее размеры.

Назовем диаметром области наибольшее расстояние между точками ее границы. Если диаметр области устремить к нулю, то сама область будет стягиваться в точку. Обозначим через λ максимальный из диаметров разбиения области σ на части ∆σ1, ∆σ2,

n

…, ∆σn. Если при стремлении λ к нулю (λ→0) интегральные суммы ∑f (xi ; yi )∆σi имеют

i=1

конечный предел, то этот предел называют двойным интегралом от функции f(x,y) по области σ и обозначают символами:

∫∫f (x, y)dσ или ∫∫f (x, y)dxdy .

σσ

Здесь f(x,y) – подынтегральная функция, σ – область интегрирования, x и у – переменные интегрирования, dσ (dxdy) – элемент площади.

Таким образом, по определению

если этот предел существует и конечен.

Таким образом получим:

V= ∫∫f (x, y)dσ.

σ

Функцию f(x,y), для которой существует двойной интеграл, будем называть интегрируемой в области σ.

237

10.ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

10.1.Условия существования двойного интеграла и его свойства

Очевидно, что интегрируемая в области σ функция должна быть ограничена в замкнутой области σ, т.к. в противном случае за счет выбора точек Pi интегральную сумму можно было бы сделать сколь угодно большой по абсолютной величине, и это противоречит определению.

Приведем без доказательства достаточные условия существования двойного интеграла.

Теорема 1. Если функция f(x,y) непрерывна в замкнутой области σ, то двойной интеграл ∫∫f (x, y)dσ существует.

σ

Теорема 2. Если функция f(x,y) ограничена в замкнутой области σ и непрерывна в ней всюду, кроме конечного числа кусочно-гладких линий, то двойной интеграл

∫∫f (x, y)dσ существует.

σ

Пусть mi и Мi наименьшее и наибольшее значения функции f(x,y) на ∆σi. Сформулируем критерий существования двойного интеграла:

Теорема 3. Для существования двойного интеграла необходимо и достаточно,

чтобы

n

lim ∑(Mi −mi )∆σi = 0 .

λ→0 i=1

Приведем свойства двойного интеграла.

1. Двойной интеграл ∫∫f (x, y)dxdy не зависит от обозначения переменных

σ

интегрирования.

2.Постоянный множитель подынтегральной функции можно выносить за знак двойного интеграла ∫∫:

∫∫k f (x, y)dσ = k∫∫f (x, y)dσ.

σ σ

3. Двойной интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме двойных интегралов от слагаемых функций

∫∫(f (x, y)±ϕ(x, y)±... ±g(x, y))dσ = ∫∫f (x, y)dσ± ∫∫ϕ(x, y)dσ±... ± ∫∫g(x, y)dσ

σ σ σ σ

4.Если область σ разбита на две не имеющие общих внутренних точек области σ1 и σ2, то:

∫∫f (x, y)dσ = ∫∫f (x, y)dσ+ ∫∫f (x, y)dσ.

238

10.ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

5.Если во всех точках области σ функции f(x,y) и ϕ(x,y) удовлетворяют условию f(x,y)≥ϕ(x,y) то:

∫∫f (x, y)dσ > ∫∫ϕ(x, y)dσ.

σσ

6.Если f(x,y) во всех точках области интегрирования σ удовлетворяет неравенствам: m≤f(x,y)≤M , то

m S ≤ ∫∫f (x, y)dσ ≤ M S,

σ

где S – площадь области σ.

7.Если функция f(x,y) непрерывна в замкнутой области σ, то в этой области существует точка Р(a,b), такая, что

∫∫f (x, y)dσ = f (a, b) S .

σ

10.2. Вычисление двойных интегралов

Продолжая трактовать двойной интеграл геометрически как объем цилиндрического тела, мы дадим здесь указания относительно его вычисления путем сведения к вычислению определенных интегралов.

Теорема. Если функция f(x,y) непрерывна в замкнутой оласти σ, ограниченной линиями х=а, х=b (a<b), y=ϕ(x), y=g(x) (ϕ(x) и g(x) – непрерывные функции на отрезке [a;b], причем ϕ(x)≤g(x) на этом отрезке), то имеет место равенство

позволяющее свести вычисление двойного интеграла к последовательному вычислению определенного интеграла от определенного интеграла (или, что тоже, к вычислению повторного интеграла).

Повторный интеграл, заданный в правой части равенства ( ), обычно записывается в виде:

239

10. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

При вычислении двойного интеграла с помощью повторного по формуле (*) сначала вычисляется внутренний интеграл

g(x)

∫f (x, y)dy

ϕ(x)

при постоянном значении переменной х в пределах изменения у (для области σ), затем полученная функция от х интегрируется по х в максимальных пределах изменения переменной х для области σ.

Рассмотрим пример. Вычислить интеграл ∫∫(x − y)dxdy , если область σ ограничена

σ

1 X

Так как область σ и функция f(x,y) удовлетворяют условиям теоремы, получим:

ограничена линиями y=c; y=d; (c<d), x=g1(y); x=g2(y) (c≤y≤d), (g1(y), g2(y) непрерывные на

[c;d] функции, причем всюду на этом отрезке g1(y)≤g2(y)), то получим формулу

Замечание. Если контур области σ пересекается лишь в двух точках прямыми, параллельными оси ординат, так и параллельными оси абсцисс (как, например, в случае, изображенном на рис. 2),

Рис. 2.

240