Высшая математика

5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Пусть функция f(x) дифференцируема в точке С и имеет в этой точке локальный экстремум, тогда f ′(c) = 0 (рис. 3).

Доказательство. По условию теоремы существует f ′(c) . Так как функция y=f(x)

имеет в точке С локальный экстремум, она не может в этой точке ни возрастать, ни убывать. Следовательно, по теореме 1 f ′(c) не может быть ни положительной ни отрицатель-

ной, т.е. f ′(c) = 0 .

Теорема доказана.

y

y=f(x)

x

Рис. 3

Замечание 2. Как показано на рис. 3 касательная к графику дифференцируемой функции в точке экстремума горизонтальна.

Пример 2. y=x3, y′(0) = 0 , но функция не имеет экстремума, т.е. необходимое условие (теорема 2) экстремума не является достаточным.

5.14.2. Теорема о нуле производной

Теорема (теорема Ролля).

Пусть функция f(x) непрерывна на сегменте и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента, а значения функции на концах сегмента одинаковы, тогда внутри сегмента найдется такая точка, в которой значение производной f ′(ξ) обращается

в нуль.[(f(x) C[a, b]) ( x (a, b) f ′(x)) (f(a) = f(b))] [ ξ (a, b):f ′(ξ) = 0].

Доказательство. f(x) C[a,b] (по второй теореме Вейерштрасса) f(x) достигает на [a,b] своих точных верхней и нижней граней (M и m соответственно). Могут представиться два случая:

1)M=m; 2) M>m. Рассмотрим оба этих случая.

1)M=m f(x)=M=m=const f ′(x) ≡ 0 x [a,b].

2)M>m. Так как f(a)=f(b), хотя бы одно из двух значений M и m достигается во внутренней точке ξ сегмента [a,b]. Но тогда функция f(x) имеет в точке ξ локальный экстремум. По необходимому условию экстремума (теорема Ферма см. п.5.1) f ′(ξ) =0. Теорема дока-

зана.

Замечание 3. Кратко можно сказать, что между двумя равными значениями дифференцируемой функции обязательно лежит нуль производной, то есть существует хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции горизонтальна (рис.1).

121

5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

y

y=f(x)

Рис. 1

Приведем несколько примеров, когда при нарушении хотя бы одного из условий теоремы утверждение теоремы не имеет места.

а) Функция f(x)=x-E(x) (E(x) – целая часть от x) на сегменте [0,1] не является непрерывной (рис.2). И хотя все остальные условия теоремы выполнены, однако на (0,1) не существует точки ξ такой, чтобы f ′(ξ) =0.

в) Нарушено условие f(a)=f(b).

Для функции f(x)=x на [0, 1] (рис.4) нет точки ξ (0, 1), в которой значение производной обращалось бы в 0.

y

1

Рис. 4

122

5.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

5.14.3.Формула конечных приращений (теорема Лагранжа)

Теорема. Если функция определена и непрерывна на [a,b] и дифференцируема на (a,b), то внутри сегмента [a,b] найдется точка ξ такая, что справедлива формула f(b)- f(a)= f ′(ξ) (b-a).

[(f(x) C[a, b]) ( x (a, b) f ′(x))] [ ξ (a, b):f(b) − f(a) = f ′(ξ) (b −a)]

(Формула f(b)-f(a)= f ′(ξ) (b-a) называется формулой Лагранжа или формулой конечных

приращений).

Доказательство. Рассмотрим на сегменте [a,b] вспомогательную функцию (рис.1)

F(x) = f(x) − f(a) − f(b) − f(a) (x −a) . b −a

Проверим, что для функции F(x) выполнены все условия теоремы Ролля. 1) F(x) C[a,b] (как разность f(x) и линейной функции);

2) F ′(x) = f ′(x) − f(b) − f(a) x (a, b) ; b −a

3) F(a)=F(b)=0.

По теореме Ролля ξ (a, b):F ′(ξ) = 0 , т.е.

C B

A

Рис. 1

Замечание 1. Напишем уравнение прямой l, проходящей через точки A(a, f(a)) и

Вычитая эту функцию из f(x), получим F(x), для которой F(a)=F(b)=0.

Угловой коэффициент построенной прямой l равен f(b) − f(a) . Теорема Лагранжа утвер- b −a

ждает, что найдется такая точка ξ (a,b), в которой угловой коэффициент касательной

f ′(ξ) совпадает с угловым коэффициентом прямой l, т.е. касательная к графику функции в

точке С(ξ,f(ξ)) параллельна прямой l, проходящей через точки A и В. Замечание 2. Другой вид формулы Лагранжа.

123

5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Пусть х0 - любое значение аргумента из [a,b], а ∆х- произвольное приращение аргумента, но такое, что (x0 + ∆x) [a, b]. Тогда формула Лагранжа для сегмента [x0 ,x0+ ∆х]

имеет следующий вид: f(x0 + ∆x) − f(x0 ) = ∆x f ′(ξ), где ξ- некоторая точка из интервала

(x0 ,x0+ ∆х) (см. рис.2).

Этот вид формулы оправдывает термин “формула конечных приращений”, ибо дается выражение для приращения функции через вызвавшее его произвольное конечное приращение ∆х аргумента.

Следствие 1.

[( f ′(x) x (a, b)) (f ′(x) ≡ 0 x (a, b))] f(x) = const

Доказательство. Пусть x0 (a,b)- фиксированна, x (a,b)- произвольная точка. На [x0, x] (и [x, x0] соответственно) f(x) дифференцируема. Применим теорему Лагранжа на

этом сегменте: ξ (x0 , x)[ξ (x, x0 )]:f(x) − f(x0 ) = f ′(ξ) (x − x0 ). Но f ′(ξ) = 0 f(x) = f(x0 ), т.е . f(x) = const.

5.14.4. Обобщенная формула конечных приращений (формула Коши).

Доказательство.

1) Докажем, что g(a)≠g(b). Предположим, что g(a)= g(b), тогда к функции y=g(x) применима теорема Ролля на сегменте [a,b], по этой теореме

ζ (a, b):g′(ζ) = 0 . Противоречие с условием теоремы g′(x) ≠ 0 x (a, b). Таким обра-

зом, g(a)≠g(b).

2) Рассмотрим вспомогательную функцию

F(x) = f(x) − f(a) − f((b)) − f((a)) [g(x) − g(a)].

g b g a

−

124

5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Для функции F(x) выполнены на сегменте [a,b] все условия теоремы Ролля, действительно:

1) F(x) C[a, b];

ξ (a, b):

Теорема доказана.

Замечание. Формула Лагранжа является частным случаем формулы Коши для g(x)=x . (Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа лишь формально, так как доказательство теоремы Лагранжа основано на теореме Ролля).

5.14.5. Раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя)

Теорема. (первое правило Лопиталя).

Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в проколотой окрестно-

Замечание 1. Предел отношений производных может не существовать, в то время, как предел отношения функций существует.

125

5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Замечание 4. Второе правило Лопиталя также имеет место для случаев 1) х→а±0, 2) х→∞, 3) х→±∞. Изменения в доказательстве аналогичны теореме 1.

126

5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Раскрытие неопределенностей других видов.

Кроме неопределенностей 00 и ∞∞ , часто встречаются неопределенности вида:

0.∞, ∞-∞, 1∞, ∞0, 00. Все эти неопределенности сводятся к изученным выше двум неопределенностям. Рассмотрим неопределенность вида ∞-∞. Пусть имеем выражение f(x)-g(x),

неопределенность вида 00 .

Рассмотрим теперь неопределенности типа 1∞, 00, ∞0. Каждая из этих неопределенностей имеет вид y=f(x)g(x), где при x→a f(x)→1; 0; ∞, a g(x) →∞; 0; а. Логарифмируя это

выражение (считая, что f(x)>0), получим lny=g(x)lnf(x). В любом из трех случаев это выражение представляет собой при х→а неопределенность вида 0 ∞.

Покажем теперь, как сводить эту неопределенность к виду 00 и ∞∞ . Итак, пусть

Пример 4. lim x−2x . Здесь y=x-2x, тогда ln y = −2x ln x = −2 ln x

x→0+0 1

x

x

5.14.6. Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (в форме Шлемильха-Роша)

Теорема. (Тейлора). Пусть функция f(x) имеет в некоторой окрестности точки а производную порядка n+1 (где n – любой фиксированный номер). Пусть х – любое значение аргумента из указанной окрестности, р – произвольное положительное число. Тогда между точками а и х найдется точка ξ такая, что справедлива следующая формула:

127

5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Формула (1) называется формулой Тейлора с центром в точке а, а Rn+1(x) – остаточный член в общей форме (форме Шлемильха-Роша).

Замечание.

1) Независимо от расположения точки x относительно а (справа или слева от точки а)

2) Функция f(x) и ее производные непрерывны до порядка n включительно.

5.14.7. Остаточный член в форме Лагранжа, Коши, Пеано

Запишем остаточный член в общей форме:

Отметим, что в этих формулах значения θ, вообще говоря, считаются различными, так как θ зависит от р, которое различно в этих формулах.

Сформулируем без доказательства следующую теорему.

Теорема. Пусть функция f(x) имеет производные до порядка (n-1) в некоторой окрестности точки а и производную порядка n в самой точке а, тогда справедливо равенство

R n +1 (x) = 0[(x −a)n ] (бесконечно малая при х→а более высокого порядка малости, чем (x −a)n ). Последнее выражение есть остаточный член в форме Пеано.

128

5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Замечание. Запишем формулу Тейлора в несколько ином виде:

0<θ<1. При n=0 приходим к формуле Лагранжа: f(x) − f(x0 ) = f ′(x0 + θ∆x)∆x . Таким образом, формула Тейлора является обобщением формулы Лагранжа.

5.14.8. Формула Маклорена

Формулой Маклорена называют формулу Тейлора с центром в точке а=0, т.е. формула Маклорена дает представление функции в окрестности точки х=0. Формула Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа, Коши и Пеано имеет вид:

5.14.8.1. Оценка остаточного члена в форме Лагранжа.

Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки х=0 и существует М>0 такое, что n N f (n) (x) ≤ M x u , тогда

129

5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ