Высшая математика

4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

4.3.16. Замечательные пределы

Первый замечательный предел

lim sin x =1

x→0 x

Доказательство. Сначала установим справедливость неравенства 0<sinx<x<tgx при

числовой оси (см., например, Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа.-

М.: Наука, 1971, ч.1, гл.4, ?5, п.6, с.120) поэтому lim cos x =1 . Итак, для функции cosx,

x→0

1, sinx x в некоторой δ-окрестности точки x=0 выполняются все условия теоремы 2 п.3.12.

о предельном переходе в функциональных неравенствах(f(x)=cosx, g(x)=1, h(x)= sinx x и

δ= π2 ).

Следовательно, lim sin x = lim cos x =1.

x→0 x x→0

Второй замечательный предел

101

4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

4.3.17. Точки разрыва функций

Устранимый разрыв.

Замечание 1. В точке а устранимого разрыва функции f(x) можно переопределить (или доопределить) так, чтобы она стала непрерывной, положив ее равной в т. а значению предела f(x) при x→а. В примере 1 достаточно положить f(0)=1 и f(x) станет непрерывной в т. x=0 (и на всей числовой прямой в силу теоремы п.1.4.3.14.).

Разрыв первого рода

Пример 2. f(x) = sinx x . Точка а=0 является точкой разрыва первого рода. Дейст-

вительно, односторонние пределы в т. 0 существуют, но не равны между собой

Разрыв второго рода

Определение 3. Точка а называется точкой разрыва второго рода функции y=f(x), если f(x) в этой точке не имеет хотя бы одного одностороннего предела или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

Пример 3. f(x) = 1x , a = 0. Эта функция бесконечно большая при x→±0, следова-

тельно, т. а=0 – точка разрыва второго рода.

102

4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

y

x

Рис. 12.

Эта функция в точке x=0, не имеет ни правого, ни левого пределов.

В силу нечетности функции достаточно проверить, что нет правого предела. Построим две положительные последовательности, сходящиеся к нулю, на которых соответствующие последовательности значений имеют разные пределы, тогда по определению Гейне функция не будет иметь правого предела в точке 0.

не имеет только правого предела в т. 0. Точка x=0 – точка разрыва 2-го рода.

Определение 4. Функция f(x) называется кусочно непрерывной на сегменте [a,b], если эта функция определена всюду на сегменте [a,b], непрерывна во всех внутренних точках этого сегмента, за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых она имеет разрыв первого рода, кроме того, имеет правый предел в точке а и левый предел в точке b.

4.3.18. Свойства непрерывных функций

Устойчивость знака непрерывной в точке функции

Определение 1. Функция f(x) называется ограниченной сверху (снизу) на множе-

стве {x}, если

( Μ(m) R ):( (x) {x}) f(x) ≤ Μ (f(x) ≥ m).

103

4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Определение 2. Функция f(x) называется ограниченной на множестве {x}, если

она ограничена на этом множестве сверху и снизу, т.е.

( Μ, m R ):( (x) {x}) m ≤ f(x) ≤ Μ.

Обозначения: f(x) B(x).

Теорема 1. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности U точки а, непрерывна в точке а и f(а)≠0. Тогда существует такая δ- окрестность т. а, что для всех значений аргумента из указанной δ- окрестности функция f(x) не обращается в нуль и имеет знак, совпадающий со знаком f(а).

Замечание 1. Теорема 1 справедлива для полуокрестностей точки а. (см. рис. 13.)

b+ε

b y=f(x) b-ε

a-δ a a+δ

Рис. 13

Теорема 2. (прохождение непрерывной функции через нуль при смене знаков). Пусть непрерывная на сегменте функция принимает на концах этого сегмента зна-

чения разных знаков, тогда внутри сегмента найдется точка, в которой значение функции

равно нулю.

(f(x) C[a, b]) (f(a) f(b) < 0) [ ξ (a, b): f(ξ) = 0].

Теорема 3. Непрерывная на сегменте функция принимает все значения, заключенные между значениями этой функции на концах сегмента.

Доказательство. Если α=β , утверждение очевидно. Утверждение также очевидно и в том случае, когда (γ=α) (γ=β). Теперь, не ограничивая общность, будем считать, что

α>β, α > γ > β, (см. рис.14)

f(a)=α

f(b)=β a ξ b

Рис. 14

104

4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Рассмотрим функцию ϕ(x)=f(x)-γ. Тогда

ϕ(x) C[a, b], ϕ(a) = f (a)− γ = α − γ > 0, ϕ(b) = f (b)− γ = β − γ < 0 .

Таким образом, к функции ϕ(x) применима теорема 2. По этой теореме существует ξ (a,b):ϕ(ξ)=0. Но тогда ϕ(ξ)=f(ξ)-γ=0, т.е. f(ξ)=γ. Теорема доказана.

Теорема 4. (Первая теорема Вейерштрасса). Если функция f(x) непрерывна на сегменте, то она ограничена на этом сегменте.

f(x) C[a, b] f(x) B[a, b].

Замечание 2. Для интервала или полусегмента утверждение теоремы 4 неверно.

Определение 3. (рис.15). Число M (число m) называется точной верхней (точной нижней) гранью функции f(x) на множестве {x} , если выполнены два требования

M

y=f(x)

f(x0)

M -ε

x0

Рис. 15.

Таким образом, точные верхняя и нижняя грани функции – это точные верхняя и нижняя грани множества значений E(f) функции f(x) на множестве{x} . Следовательно,

справедливо следующее утверждение. Если функция y=f(x) ограничена на множестве {x} сверху (снизу), то у нее существует на этом множестве точная верхняя грань (точная

Пример 2 (рис. 15).

105

Теорема 5 (вторая теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на сегменте, то она достигает на этом сегменте своих точных верхней и нижней граней.

Замечание 3. Функции, не являющиеся непрерывными на данном сегменте, могут принимать точную верхнюю и точную нижнюю грани. Пример – функция Дирихле.

Замечание 4. Утверждение теоремы 5, вообще говоря, не будет верным для интер-

вала.

Пример: y=x на (0,1) (рис. 17).

y

1

Рис. 17

106

5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

5. Дифференциальное исчисление

5.1. Определение производной

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 и пусть x – не-

x→x0, то этот предел называется производной функции y=f(x) в точке x0 и обозначается f ′(x0 ) .

нечной или бесконечной производной справа (слева) функции y=f(x) в точке x=x0 и обо-

значается f ′(x0 +0)(f ′(x0 −0)).

Правая и левая производные называются односторонними производными.

Теорема. Функция y=f(x), определенная в некоторой окрестности точки x=x0 , имеет производную f ′(x0 ) тогда и только тогда, когда f ′(x0 −0) и f ′(x0 +0) существуют и

равны друг другу, т.е. f ′(x0 −0) = f ′(x0 +0) . В этом случае f ′(x0 ) = f ′(x0 −0) = f ′(x0 +0) . Доказательство теоремы следует из теоремы об односторонних пределах.

Операция вычисления производной от функции называется операцией дифференцирования.

107

5.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

5.2.Геометрический смысл производной

Рассмотрим график функции y=f(x), определенной и непрерывной на некотором интервале (a,b). Точка M0 на графике (см. рис.)

Определение. Касательной к графику функции y=f(x) в точке М0 называется предельное положение секущей М0М при стремлении точки М к точке М0 по графику (или при ∆x→0 вследствие непрерывности y=f(x)).

Очевидно, что tgϕ(∆x) = ∆y = f(x0 + ∆x) − f(x0 ) .

∆x ∆x

Докажем следующую лемму.

Лемма. Пусть функция y=f(x) имеет производную в точке x=x0, тогда справедливы следующие два утверждения:

1)график функции y=f(x) имеет касательную в точке М0, соответствующей значению аргумента x0;

2)угловой коэффициент касательной равен f ′(x0 ) .

Доказательство.

Пусть ∆x – любое, достаточно малое и отличное от нуля значение приращения аргумента

дельное значение (при ∆x→0) угла наклона секущей М0М, что доказывает существование касательной в точке М0.

Обозначим, далее, угол наклона касательной к оси Оx через ϕ0, тогда

ϕ0 = arctgf ′(x0 ) , откуда tgϕ0 = f ′(x0 ) .

108

5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

5.3. Дифференцируемость функции

Пусть функция y=f(x) определена на (a,b), x – некоторое фиксированное значение аргумента x (a,b), ∆x – любое приращение аргумента такое, что (x+∆x) (a,b). Определение. Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x, если приращение ∆y этой функции в точке x, соответствующее приращению аргумента ∆x, может быть представлено в виде

∆y=А∆x+α ∆x, (1)

где А – некоторая константа, не зависящая от ∆x, а α- функция от ∆x (α(∆x)), являющаяся бесконечно малой при ∆x→0.

Замечание 1. При ∆x=0 функция α(∆x), вообще говоря, не определена, поэтому в этой точке для удобства припишем значение α(0), равное нулю. В этом случае функция α(x) станет непрерывной в точке ∆x=0, и равенство (1) можно распространить на значение

∆x=0.

Замечание 2. Так как α(∆x) и ∆x – бесконечно малые функции в точке ∆x=0,

Теорема 1. Для того, чтобы функция y=f(x) являлась дифференцируемой в точке x (символическая запись: f(x) C′(x) , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой

точке конечную производную.

(см. теорему 1 п.3.11).

Отсюда ∆y = f ′(x)∆x + α ∆x , где lim α(x) = 0 , и если f ′(x) обозначить через А, то

∆x→0

∆y=А∆x+α ∆x.

Замечание 3. Доказанная теорема позволяет в дальнейшем отождествлять понятие дифференциируемости функций в данной точке и наличие у этой функции в данной точке конечной производной.

Теорема 2. Если функция y=f(x) дифференцируема в точке x, то она непрерывна в

этой точке.

[f(x) C′{x}] [f(x) C{x}].

ференцируемости функция y=f(x) непрерывна в точке x (см. замечание 1 п.4.1.) Замечание 4. Обратное утверждение, вообще говоря, места не имеет, т.е. непре-

рывная в точке x функция может не являться дифференцируемой в этой точке.

109

5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

В остальных точках производная функции y= x существует и равна sgnX

5.4. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями

Теорема. Пусть функции y1=f1(x) и y2=f2(x) имеют производные в точке x0. Тогда их сумма, разность, произведение и частное (частное при условии y2≠0 в точке x=x0) также имеют производные в точке x=x0, причем

1.(y1 ± y2 )′ = y1′ ± y2′.

5.5. Вычисления производных некоторых элементарных функций

1. y=c (c= const) ∆y=c-c lim ∆y = 0 . Итак, с′ = 0 .

∆x→0 ∆x

Замечание 1. Производная произведения функции на постоянную равна произведению этой постоянной на производную функции, т.е. (cy)′ = cy′.

Доказательство. (cy)′ = с′y +cy′ = 0 y +cy′ = cy′.

Замечание 2. Если n – любое фиксированное целое число, то

(c1y1 +c2y2 +...+cn yn )′ = c1y1′ +c2y2′+...+cn y′n .

Следует из предыдущей теоремы с помощью метода математической индукции.

2. y=xn (степенная функция), где n – положительное целое число. Если использовать формулу бинома Ньютона, получим

110