Высшая математика

10. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

то при выполнении указанных условий применимы обе упомянутые формулы. Из сопоставления их получается равенство:

Пример. Вычислить двойной интеграл ∫∫xdxdy по области D, ограниченной

D

линиями y=1-x, y=2, y=x2 + 1 (рис. 3).

Y

2

y=1-х y=х2+1 1

X

Рис. 3.

Применяя формулу сведения двойного интеграла к повторному (условия теоремы выполнены), получим:

Пример. Найти пределы двукратного интеграла ∫∫f (x, y)dxdy для данных

D

(конечных) областях интегрирования D. 1. x2+y2≤1, x≥0, y≥0.

Решение. Полезно сделать чертеж, хотя бы грубо, чтобы получить общее представление об области.

Y

1 X

241

2 4 X

Пример. Переменив порядок интегрирования, записать данное выражение в виде одного двукратного интеграла:

Сделаем чертеж области:

Y

1

1 2 X

1 2−y

получим ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫ dy ∫ f (x, y)dx .

D 0 y

242

Y

10.2. Замена переменных в двойном интеграле

Пусть имеются две плоскости с выбранными на них прямоугольными декартовыми системами координат XOY и UOV. Рассмотрим в этих плоскостях две замкнутые области: область D на плоскости XOY и область σ на плоскости UOV, и предположим, что функции:

x = ϕ(U, V) (1) y = ψ(U, V)

устанавливают взаимно однозначное соответствие между точками этих областей.

Пусть функции ϕ(U,V) и ψ(U,V) непрерывны в области σ вместе со своими частными производными первого порядка. Тогда определитель

будет непрерывной функцией переменных U и V, определенных в области σ. Этот функциональный определитель, называемый определителем Якоби или Якобианом

отображения (1), принято обозначать J (U,V) или символом ∂∂(U,(x, V)y) . Абсолютная

величина Якобиана играет роль коэффициента плоскости UOV при преобразовании ее в плоскость XOY.

243

10. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Рассмотрим двойной интеграл

∫∫f (x, y)dxdy

D

от непрерывной функции в заданной области D, ограниченной кусочно-гладкой линией.

Поставим своей целью заменить двойной интеграл по переменным х и у (по области D) равным ему двойным интегралом по переменным U и V (по области σ).

Эта цель достигается с помощью формулы замены переменной в двойном интеграле:

∫∫f (x, y)dxdy = ∫∫(ϕ(U, V),ψ(U, V))J(U, V) dUdV .

Применим эту формулу при переходе к полярным координатам: x=ρ cosα; y=ρ sinα.

первом квадранте. Преобразуем его к полярным координатам:

Предположим, что R→+∞, т.е. область D расширяясь, заполняет весь первый квадрант. По аналогии с несобственным интегралом отфункции одной переменной запишем

244

10. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Примем теперь в качестве области D квадрат 0≤x≤a; 0≤y≤a, тогда

∫∫e−x2 −y2 dxdy = ∫a dx∫a e−x2 −y2 dy = ∫a e−x2 dx∫a e−y2 dy .

Т.к. величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной

и окончательно

+∞

∫e−x2 dx = π .

−∞

245

называется бесконечным числовым рядом (или просто рядом). Вместо (2), пользуясь знаком суммы, часто пишут так:

n =1

где символ ∑ заменяет слово “сумма”, а индексы внизу и вверху означают, что нужно взять сумму чисел Un, когда n пробегает все целочисленные значения от 1 до ∞. (Впрочем, нумерацию членов ряда иногда бывает удобнее начинать не с единицы, а с нуля или же с какого – либо натурального числа, большего единицы).

Числа U1, U2, ... , Un, ... называются членами ряда, а член ряда, стоящий на n-ом месте от начала, – его общим членом.

Примеры рядов: 1-1+1-1+... ,

112 + 213 + 314 +... + n(n1+1) +...,

a+aq+aq2+...+aqn-1+... .

Задать ряд – это значит указать правило, закон образования его членов, по которому можно найти любой его член. Ряд можно задать формулой его общего члена. Напри-

мер, если U n = 2n1−1 , то тем самым определен следующий ряд:

1 + 13 + 15 +...+2n1−1 +... .

Выражение (2) является формальным, поскольку сумма бесконечного числа слагаемых не определена. Но поскольку в этом выражении между числами ряда знак суммирования, то подразумевается, что члены ряда как-то складываются. Сумма любого числа слагаемых будет найдена, если их складывать последовательно по одному. Это приводит к мысли поставить в соответствие ряду некоторое число и назвать его суммой ряда. С этой целью вводят понятие частичной суммы ряда.

Определение: Частичной суммой Sn числового ряда (2) называется сумма его первых n слагаемых, т.е.

S1=U1, S2=U1+U2, S3=U1+U2+U3, ..., Sn=U1+U2+U3+....+Un.

Определение: Суммой числового ряда называется предел последовательности его

расходится.

246

11. РЯДЫ

Примеры:

1.Рассмотрим ряд 1-1+1-1+1-... . Найдем его частичные суммы S1=1, S2=0, S3=1, S4=0,...

Последовательность его частичных сумм 1,0,1,0,1,0,... не имеет предела, следовательно, ряд расходится.

2.Рассмотрим ряд

равна 1.

3. Рассмотрим сумму членов геометрической прогрессии с первым членом а и знаменателем q (будем считать а≠0):

а+aq+aq2+aq3+...+aqn-1+... .

Известно, что сумма Sn первых прогрессии определяется по формуле

Рассмотрим несколько случаев в зависимости от величины q:

3. q=1. В этом случае ряд имеет вид а+а+а+...+а+... .

При этом Sn=n*a и lim = ∞, так как а≠0. Следовательно, ряд расходится.

n→∞

4. q=-1. Тогда ряд имеет вид а-а+а-а+а-...(-1)n-1а+... . Его частичные суммы попеременно равны а и 0: S1=a, S2=0, S3=a, S4=0, ..., но такая последовательность не имеет предела, и, следовательно, рассматриваемый ряд расходится.

Итак, ряд, составленный из членов геометрической прогрессии, сходится тогда и только тогда, когда знаменатель прогрессии q по абсолютной величине меньше единицы.

247

11. РЯДЫ

11.1.2. Основные теоремы

Если в ряде (2) отбросить первые m членов, то получится ряд:

n=m+1

называемый остатком ряда (2) после m-ого члена.

1о. Если сходится ряд (2), то сходится и любой из его остатков (3); обратно, из сходимости остатка (3) вытекает сходимость исходного ряда (2).

Доказательство. Фиксируем m и обозначим k-ю частичную сумму ряда (3) через S|k

S|k=Um+1+Um+2+...+Um+k.

и для суммы S|k , что и означает сходимость ряда (3). Обратно, если дано, что сходится ряд (3), так что S|k→S|, то перепишем равенство (4), полагая в нем R=n-m (при n>m), так:

Sn=Sm+S|n-m.

Отсюда можно усмотреть, что при неограниченном возрастании n – частичная сумма Sn имеет предел

S=Sm+S| (6),

т.е. сходится ряд (2).

Иными словами, отбрасывание конечного числа начальных членов ряда или присоединение вначале его нескольких новых членов не отражается на сходимости ряда.

Сумму ряда (3), если он сходится, обозначим вместо S| символом αm, указывая значком, после какого члена берется остаток. Тогда формулы (6) и (5) перепишутся следующим образом:

S=Sm+αm, αm=S-Sm.

Если увеличивать m до бесконечности, то Sm→S, а αm→0. Итак:

2о. Если ряд (2) сходится, то сумма αm его остатка после m-ого члена с возрастанием m стремится к нулю.

Упомянем следующие простые свойства сходящихся рядов:

3о. Если члены сходящегося ряда (2) умножить на один и тот же множитель с, то его сходимость не нарушится (а сумма лишь умножится на с).

В самом деле, частичная сумма Sn ряда cU1+cU2+...+cUn+... ,

очевидно, равна

Sn = cU1+cU2+...+cUn=c(U1+U2+...+Un+=cSn

и имеет пределом cА. 4о. Два сходящихся ряда

А=а1+а2+...+an+... и В=в1+в2+...+вn+...

можно почленно складывать (или вычитать), так что ряд

(а1±в1)+(а2±в2)+...+(an±вn)+...

также сходится, и его сумма равна, соответственно, А±В.

248

11. РЯДЫ

Доказательство. Если Аn, Вn и Сn означают частичные суммы упомянутых рядов,

В заключение сделаем еще одно замечание.

5o. Общий член Un сходящегося ряда стремится к нулю. Это может быть доказано совершенно элементарно: Sn (а с ним и Sn-1)имеет конечный предел S, то

Следствие. Если предел общего члена ряда при n→∞ не равен нулю, то ряд расхо-

дится.

Доказательство проведем от противного, т.е. допустим, что ряд сходится. Тогда в

силу необходимого признака сходимости должно выполняться условие lim U n = 0. Но по

n→∞

условию предел общего члена ряда не равен нулю. Это противоречие означает, что предположение о сходимости ряда ошибочно; следовательно, ряд расходится.

Значит, данный ряд расходится.

Однако важно подчеркнуть, что необходимое условие сходимости ряда не является само по себе достаточным для сходимости ряда. Иными словами, даже при выполнении его ряд может расходиться. Примером такого ряда служит ряд

Покажем, что она возрастает неограниченно. Для этого члены гармонического ряда, начиная с третьего, объединим в группы:

1 + 12 +(13 + 14) +(15 + 16 + 17 + 18) +(19 +101 +111 +121 +131 +141 +151 +161 )+... .

В первую включим два члена (3-й и 4-й), во вторую 22=4 члена (с 5-го по 8-й), в третью 23=8 членов (с 9-го по 16-й) и т.д., каждый раз увеличивая вдвое число членов в группе. Таких групп, очевидно, бесконечное множество. Если заменить члены ряда в каждой группе их последними членами, то сумма членов этой группы уменьшится, т.е. спра-

249

11. РЯДЫ

Таким образом, сумма членов каждой группы больше 12 , а сумма членов, включен-

ных в достаточно большое число групп, как угодно велика. Следовательно, последовательность частичных сумм гармонического ряда неограниченно возрастает, а ряд расхо-

дится, хотя его общий член U n = n1 при n→∞ стремится к нулю.

Заметим, что частичные суммы гармонического ряда возрастают, хотя и медленно. Например, подсчитано, что S1000≈7,48, а S1000000≈14,39.

11.1.3. Сходимость положительных рядов

∞

Пусть ряд ∑a n = a1 +a 2 +...+a n +... будет положительным, т.е. an>0 (n=1,2,3,...).

n =1

Тогда очевидно, An+1=An+an+1>An, т.е. Аn оказывается возрастающей. На основании теоремы о пределе монотонной последовательности, мы непосредственно приходит к следующему основному в теории положительных рядов предложению!

Положительный ряд всегда имеет сумму; эта сумма будет конечной (и, следовательно, ряд – сходящимся), если частичные суммы ряда ограничены сверху, и бесконечной (а ряд – расходящимся) в противном случае.

11.1.4. Теоремы сравнения рядов

Сходимость или расходимость положительного ряда часто устанавливают путем сравнения его с другим рядом, заведомо сходящимся или расходящимся. В основе такого сравнения лежит следующая теорема.

Теорема 1. Пусть даны два положительных ряда

∞

∑ an = a1 +a2 +... +an +... (А)

n=1

∞

∑bn = b1 +b2 +... +bn +... (B).

n=1

Если, хотя бы начиная с некоторого места (скажем, для n>N), выполняется неравенство: аn≤bn, то из сходимости ряда (В) вытекает сходимость ряда (А) или – что то же – из расходимости ряда (А) следует расходимость ряда (В).

Доказательство. На основании того, что отбрасывание конечного числа начальных членов ряда не отражается на его поведении, мы можем считать, не нарушая общности, что аn≤bn при всех значениях n=1,2,3,... Обозначив частичные суммы рядов (А) и (В), соответственно, через Аn и Вn, будем иметь: Аn≤Bn.

Пусть ряд (В) сходится, тогда его частичные суммы Вn ограничены: Вn≤L (L=const; n=1,2,3,...).

В силу предыдущего неравенства, и подавно Аn≤L, а это, по той же теореме, влечет за собой сходимость ряда (А).

Иногда на практике более удобна следующая теорема, вытекающая из первой: Теорема 2. Если существует предел (в предположении, что вn≠0)

250