ЭВМ_Семестр4_МетодПособие
.pdf
( )
( )
Решением этой системы уравнений является точка . /
.
Вычислим частные производные второго порядка и составим
матрицу Гессе данной функции: |
|
|
|
|
||||||
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
( ) |
( ) |
( |
) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
. |
|
/ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Угловые миноры |
|
и |
|
матрицы ( |
) не зависят от |
||||
координат точки и положительны во всех точках выпуклого множества . Согласно критерию Сильвестра, матрица Гессе положительно определена на множестве , и, следовательно, функция является
выпуклой на |
, а единственная стационарная точка |
– решение |
||
глобальной задачи. |
|
|||
Пример 2. Дана функция |
|
|||
( ) |
|
|
|
|
√ |
|
|||
Найти локальный минимум функции и определить на каком множестве найденное локальное решение является глобальным?
Стационарная точка функции:
81
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Решение системы – точка |
. |
|
|
/ Составим матрицу Гессе: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|||||||
|
|
|
( |
) |
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
||||||||||||
( |
) |
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
( |
|
√ |
|
|
|
|
√ ) |
|
||||||||||||||||||||
|
Матрица Гессе положительно определена на множестве точек |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
где угловые миноры |
|
|
( ) положительны, т.е. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Отсюда следует, что |
|
|
2( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
3 |
Непос- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
редственной проверкой убеждаемся, что стационарная точка |
при- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
надлежит множеству |
и, следовательно, |
согласно теореме, |
явля- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ется точкой глобального минимума функции |
( ) на множестве . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Численные методы поиска минимума функции одной переменной. Унимодальные функции
Непрерывная функци ( ) называется унимодальной на отрезке , - если;
82
1) точка |
локального минимума функции принадлежит отрезку |
,-;
2) для любых двух точек отрезка и взятых по одну сторону от точки минимума, точке , более близкой к точке минимума, соответ-
ствует меньшее значение функции, т.е. как при |
|
|
так и |
|||||
при |
справедливо неравенство |
|
|
|
||||
|
|
( |
) |
( |
) |
|
|
|
Достаточное условие унимодальности функции |
( |
) |
на отрез- |
|||||
ке, - |
содержится в следущей теореме. |
|
|
|
||||
Теорема. Если функция |
( |
) дважды дифференцируема на от- |
||||||
резке , |
- и ( ) |
в любой точке этого отрезка, то |
( |
) – уни- |
||||
модальная функция на , |
-. |
Заметим, что условие |
( |
) |
> 0 |
|||
определяет множество точек, на котором функция является выпуклой вниз.
Пример 1. Для функции ( ) |
|
найти: |
|
1) |
промежуток , на котором функция является унимодальной; |
||
2) |
решение задачи ( ) |
( |
) |
|
Функция ( ) определена при |
|
|
найдем ее производные |
|||||||
|
( ) |
|
|
( |
) |
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Следовательно, |
функция |
( |
) унимодальна |
на интервале |
||||||
( |
). Первая производная |
( |
) |
|
при |
. На основании тео- |
|||||
ремы о достаточных условиях локального экстремума заключаем, что
– точка локального минимума функции ( )
Схема сужения промежутка унимодальности функции
Пусть требуется решить задачу
( ) |
( |
) |
83
Применение численных методов для отыскания точек |
ло- |
кального минимума функции ( ) предполагает: |
|
1) определение промежутков унимодальности функции, т.е. нахождение отрезков, которым принадлежит одна точка локального
минимума; |
|
2) вычисление значения |
принадлежащего выбранному про- |
межутку, с заданной точностью. |
|
Для непрерывной функции |
( ) строят ее график на некотором |
отрезке , - и окажется, что на этом отрезке по виду графика функции можно определить отрезок унимодальности функции. Отрезок
,- берется по возможности малым.
При вычислении точки минимума точность достигается после-
довательном уменьшением отрезка , - содержащего точку |
до |
|||
размеров, не превышающих заданную точность |
|
|||
( |
). |
|
|
|
Рассмотрим один из приемов, позволяющих сузить отрезок |
||||
унимодальности функции. |
|
|
|
|
Пусть функция ( ) |
унимодальна на отрезке , -. Возьмем |
|||
две произвольные точки |
и |
принадлежащие отрезку , |
- и та- |
|
кие, что |
В каждом из следующих трех очевидных воз- |
|||
можных случаев можно указать отрезок меньших разме-ров , |
-, |
|||
содержащий точку минимума х* и принадлежащий первоначальному отрезку:
I. Если |
( |
) |
|
( |
) |
то положим |
и |
||
и получим меньший отрезок унимодальности , |
-. |
|
|||||||
II. Если |
( |
) |
|
( |
), то естественно |
принять |
|||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
III.Если |
( |
) |
|
( |
) |
то |
и |
|
|
Пример 2. |
Для |
функции |
( ) |
|
|
выбрав |
отрезок |
||
унимодальности , |
- |
, |
- |
и две произвольные |
точки |
|
|||
, - , найти меньший отрезок унимодальности , |
-. |
|
|
||||||
В примере 1 было установлено, что функция |
( |
) имеет точку |
|||||||
минимума |
и является унимодальной на любом отрезке, со- |
||||||||
|
|
|
|
84 |
|
|
|
|
|
держащем точку |
и лежащем в области ее определения ( |
). |
||||
Возьмем |
|
тогда |
( |
) |
|
|
( ) |
1,2512536. Здесь естественно |
положить |
|
|
||
0.375 и |
|
1 (случай II). |
|
|
|
|
Методы вычисления значения точки минимума функции одной |
||||||
переменной отличаются алгоритмами выбора точек |
и |
для лока- |
||||
лизации точки , - с заданной точностью. |
|
|
|
|
||
Метод половинного деления |
|
|
|
|
||
Пусть при решении задачи (7) определен отрезок , |
- |
кото- |
||||
рому принадлежит точка локального минимума , |
- и функция |
( ) |
||||
является унимодальной на этом отрезке.
Далее для сужения отрезка унимодальности используем точки и . расположенные симметрично относительно сере-дины от-
резка , -
|
Будем считать, что число |
гораздо меньше 1 ( |
). Тогда |
||
точки |
и |
принадлежат отрезку , - и, следуя рассмотренной |
|||
ранее схеме, получим новый суженный отрезок , |
- и оценим его |
||||
длину в каждом из трех возможных случаев: |
|
|
|||
. |
( |
) |
|
I. |
|
( |
) |
|
|
||
|
|
||
II. |
( |
|
) |
85
Таким образом, после первого шага преобразований найден но- |
|
вый отрезок унимодальности , |
-, длина которого уменьшилась. |
Название метода (метод половинного деления) мотивировано |
|
тем, что если величина очень мала, то длина отрезка унимодаль-
ности |
уменьшается почти вдвое. |
|
|
Теперь в новом суженном промежутке , |
- выберем точки |
( ) и |
( ) симметричные относительно его середины: |
|
( )
Проведя вычисления, аналогичные проделанным ранее, получаем отрезок , -, длина которого не больше
( ) ( )
и т.д.
В результате приходим к последовательности таких вложенных
отрезков , -, , |
- , |
-,..., что точка локального минимума |
функции ( |
) принадлежит каждому из них и является общим |
|
пределом последовательностей * |
+ и * +. |
|
Отсюда получаются приближенные равенства
точность которых на – м шаге вычислений можно оценить неравенством
|
( |
) |
( |
) |
(9.8) |
|
|
|
|
|
|||
Пример 3. Найти точку |
локального минимума |
функции |
||||
( ) |
на отрезке , |
- методом половинного деления с |
||||
точностью |
Провести вычисления, полагая |
и предва- |
||||
|
|
|
86 |
|
|
|
рительно оценив минимальное число шагов для достижения точно-
сти . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Было |
установлено, что функция |
унимодальна на отрезке |
|||||||
, |
-; точка |
принадлежит этому отрезку. Воспользуемся нера- |
||||||||
венством (8) и определим число шагов n: |
|
|
|
|||||||
( |
) ( |
) |
|
, ⁄( |
)- |
|
( ⁄ |
) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,( |
)⁄ - |
( |
) |
|
|
Обозначим
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
. ( )/, |
|
( ) |
|
|
|
. ( )/ ( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
(9.9) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
координаты |
начала |
и |
||
конца отрезка, полученные на 1-м шаге вычислений, точки |
( ) и |
( ) |
|||||||||||||||
принадлежат отрезку , |
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Произведем последовательные вычисления. |
|
|
|
||||||||||||||
Отрезок , - |
, |
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0.5875, |
|
|
|
0.6625, |
|
|
|
|
|
||||||
Отрезок , |
- |
|
, |
|
|
|
- |
, |
|
- |
|
|
|
||||
( |
) |
0.4356, |
( |
) |
0.4769, |
|
( |
) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отрезок , |
- |
|
0 |
( |
) |
|
1 |
, |
|
- |
|
|
|||||
( |
) |
0,5377, |
( |
) |
|
|
0,5604, |
|
( |
) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1.1987 |
( |
) |
< 1,2072. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Отрезок , |
- |
|
0 |
( |
) |
( |
)1 |
, |
|
- |
|
|
|||||
( |
) |
0,4918, |
( |
) |
= 0,5043, |
( ) |
1.1934 > ( ) |
|
|
||||||||
1,1932. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отрезок , |
- |
|
0 |
( |
) |
( |
)1 |
, |
|
- |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
87 |
|
|
|
|
|
Разность Следовательно, точкой локального минимума, найденной с заданной точностью, является
Метод золотого сечения
Термин "золотое сечение" ввел Леонардо да Винчи. Точка
является золотым сечением |
отрезка , - если отношение длины |
||||||||||||||||||
|
всего отрезка к длине |
|
|
|
|
большей части равно отношению |
|||||||||||||
длины большей части к длине |
|
|
|
меньшей части, т.е. ‒ золотое |
|||||||||||||||
сечение, если справедливо отношение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Аналогично, точка |
симметричная точке относительно се- |
|||||||||||||||||
редины отрезка , - |
является вторым золотым сечением этого от- |
||||||||||||||||||
резка. Так как точки |
|
и |
|
|
|
расположены симметрично относи- |
|||||||||||||
тельно середины отрезк , |
- а то можно записать |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.10) |
||||||||
|
Учитывая, |
что |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
( |
) |
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
и используя определение золотого сечения, вычислим число
> 0:
=
√
Отметим свойство золотого сечения, в котором легко убедить-
ся: пусть и |
─ два золотых сечения отрезк , -; тогда точка |
|||
одновременно является золотым сечением отрезка , |
-, а другая |
|||
точка |
─ золотым сечением отрезка , |
-. |
|
|
|
Теперь разберем подробнее алгоритм метода золотого cечения |
|||
при |
нахождении последовательности |
вложенных |
отрезков |
|
|
|
88 |
|
|
, |
- ( |
) сужающихся к точке |
локального миниму- |
|||||
ма унимодальной функции ( |
). |
|
|
|
|
|||
|
Сначала |
на исходном |
отрезке , |
- |
по формулам |
(10) при |
||
|
|
|
|
|
|
|||
√ |
|
найдем точки |
и , а затем разность |
|
|
|||
Далее вычисляем значения функции |
( |
) и |
( |
) и, сле- |
||||
дуя методу нахождения минимума унимодальности, образуем сужен-
ный отрезок , |
-. Наконец, готовясь к следующему шагу и исполь- |
|
зуя свойство золотого сечения, на отрезке , |
- находим два сече- |
|
ния ( ) ( ) При этом возможны три случая: |
|
|
.
I.
II.
|
|
( |
) |
||
( |
) |
( |
) |
||
|
|
( |
) |
||
( |
) |
( |
) |
||
|
|
( |
) |
||
|
|
|
|
|
|
Теперь, следуя разобранной схеме, можно переходить к нахож-
дению отрезков , |
- |
, |
- и т. д., учитывая при этом, что в слу- |
||||||||||
чаях I или II значение |
( ) или |
|
( ) целевой функции уже получено на |
||||||||||
предыдущем шаге ( |
|
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Точность приближенного равенства |
|
|
|
|
на |
||||||||
шаге вычислений можно оценить неравенством |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.11) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
полученным из неравенства (10.8), где |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
√ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 4. Найти |
точку |
|
локального минимума |
функции |
|||||||||
( ) |
на отрезке |
, |
|
- методом золотого сечения с |
|||||||||
точностью |
Провести вычисления, полагая |
и предва- |
|||||||||||
89
рительно оценив минимальное число шагов |
|
|
для достижения точно- |
|||||
сти . |
|
|
|
|
|
|
||
|
Определим минимальное число шагов |
, используя неравен- |
||||||
ство (11): |
|
|
|
|
|
|
||
,( |
) - |
( |
) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Произведем последовательные вычисления.
|
Отрезок , |
- |
|
, |
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0.5365, |
|
|
|
|
0.7135, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Отрезок , |
|
- |
|
, |
|
|
- |
, |
|
|
|
|
- |
|
||
|
( |
) |
0.4271, |
|
|
( ) |
|
|
|
, |
( |
) |
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Отрезок , |
|
- |
|
0 |
( |
) |
|
1 |
, |
|
|
|
- |
|
||
|
( |
) |
( |
) |
, |
|
( |
) |
0.6041, |
|
|
( ) |
( |
) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Отрезок , |
|
- |
|
0 |
( |
) |
( |
)1 |
|
, |
|
|
- |
|
||
|
( |
) |
0.4947, |
( |
) |
|
|
( |
) |
( |
) |
|
, |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отрезок , |
|
- |
|
0 |
( |
) |
( |
)1 |
|
, |
|
|
- |
|
||
|
( |
) |
0.4688, |
|
|
|
|
( |
) |
|
( ), |
|
|
( |
) |
|
|
( |
) |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отрезок , |
|
- |
|
0 |
( |
) |
( |
)1 |
|
, |
|
|
- |
|
||
|
Точкой минимума функции |
( |
) |
с погрешностью |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
является |
|
|
|
|
|
|
||||
90