ЭВМ_Семестр4_МетодПособие
.pdfРешение задач квадратичного программирования методом седловой точки
Рассмотрим задачу квадратичного программирования, т.е.
( ) |
( |
) |
( |
) |
|
( ) |
|
( |
) |
где – матрица размера ( |
|
); |
– векторы-столбцы ( |
); |
– |
||||
матрица |
размера |
( |
); |
b – |
вектор-столбец ( |
). Для |
задачи |
||
квадратичного программирования критерий существования седловой точки приобретает вид задачи решения СЛАУ. Действительно, функция Лагранжа в этом случае запишется в виде
∑ ∑ ∑ |
∑ :∑ |
; (10.16) |
где |
– элементы матрицы ; |
– элементы вектора ; |
– элемен- |
ты вектора свободных членов ; |
– элементы матрицы |
; – ко- |
|
эффициенты Лагранжа. Необходимые и достаточные условия опти-
мальности решения |
принимают вид |
|
|
|
∑ |
∑ |
( |
) |
(10.17) |
∑ |
( |
) |
|
(10.18) |
( |
) |
(10.19) |
( |
) |
(10.20) |
111
Равенства (10.18), (10.19) образуют систему |
линейных уравне- |
|
ний с ( |
) неизвестными |
|
Решения этой системы, при которых выполняются равенства (19), (20), дают координаты седловой точки (х*,λ*). Соответственно координат дают оптимальное решение задачи (15).
Задание для выполнения лабораторной работы №10
Построить допустимую область задачи и линии уровня.
Записать функцию Лагранжа и необходимые условия экстремума, из которых аналитически или используя прикладные пакеты найти условно-стационарные точки.
Для каждой точки указать активные и пассивные ограничения. Проверить выполнение достаточных условий экстремума в найденных стационарных точках. Найти глобальный минимум функции. Используя критерий, проверить, что найденная точка является седловой точкой функции Лагранжа.
Проверить справедливость оценки (10.9), решив задачу при положительных и отрицательных малых значениях приращения .
Решить задачу квадратичного программирования методом седловой точки. Для этого записать систему (10.17) - (10.18), найти ее решения, удовлетворяющие условиям (10.19) - (10.20).
Пример выполнения лабораторной работы |
|
|
|
Минимизировать нелинейную функцию ( |
) |
при |
|
условиях |
и , применяя метод функции Лагранжа. |
||
Проверить справедливость оценки изменения целевой функции
(10.9).
112
( |
) |
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
Допустимая область – часть сферы |
‖ ‖ |
, лежащая в подпростран- |
|||||
стве ( |
) |
|
( |
) |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
(10.21) |
|
|
+ |
|
|
|
|
(10.22) |
|
|
+ |
|
|
|
|
(10.23) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(10.24) |
|
|
|
|
|
|
|
(10.25) |
( |
) |
|
|
|
|
(10.26) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(10.27) |
|
|
|
|
|
|
|
(10.28) |
Рассмотрим случай |
|
Если при этом |
, то |
||||
Из (21) - (23) следует |
|
, что противоречит (28). |
|||||
Если |
|
то |
|
(иначе получаем противоречия в (21) - (23)). |
|||
Из (21) - (23) следует |
|
|
|
. Подставляя в (26), полу- |
|||
|
|
|
|||||
чим: |
|
|
|
. Отсюда |
, что противоречит исходному |
||
|
|
|
|||||
предположению |
|
. |
|
|
|
||
Рассмотрим теперь случай
113
+
+
+
( )
Если |
, то получаем точку ( )=( |
) (из (1′) … (3′), |
(7′)). |
|
|
Остальные "симметричные" точки здесь и далее приводить не будем. Если , , то
Далее получаем точки |
|
|
|
|
|
|
||||||
( ) |
|
|
|
( |
) |
и |
( ) |
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
√ |
√ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
( |
) |
значение |
|
|
, |
|
|
|
||||||
√ |
|||||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
114
для |
( |
) |
значение |
|
|
. |
|
|
|
||||||
√ |
|||||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
+
+
+
Если |
, |
|
|
, то |
|
|
Если |
, то |
|
|
|
||
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
и |
. Однако, |
, значит, |
|||
пришли к противоречию. Таким образом, |
|
|||||
Суммирование первых трех уравнений дает уравнение |
|
|||||
|
+ |
|
|
( |
) |
|
в котором последнее слагаемое равно нулю, поэтому
+
С другой стороны,
( |
) ∑ |
( |
) |
и ∑
Следовательно, +
115
откуда |
|
. Если |
, то |
= |
|
||||
Разделим равенства на |
: |
|
||
их произведение не может быть равно
x1 x2 , получаем следующую систему:
+
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
√ |
|
√ |
|||
|
|
||||
√ √
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
. Однако, если |
|
то |
||
|
|
. Значит, |
|
. Если |
|
|
|
||
√
Получаем точку
( ) : √ √ √ ;
(в силу симметрии переменных |
координаты можно пере- |
ставить), |
|
√
116
Предположив |
|
|
|
|
|
, получим те же результаты. |
|
|
|||||||||||||||||
Найдены следующие точки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
( |
) |
( |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( |
) |
|
|
( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
√ |
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
( |
) |
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
( |
) 4 √ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
√ |
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Запишем второй дифференциал обобщенной функции Лагранжа.
|
( |
) |
|
( |
) |
( |
) |
|
Который является активным ограничением только для точки ( ). Применим достаточное условие минимума второго порядка к этой точке:
117
>0;
( )
Подставив |
и |
|
во второй дифференциал функции Ла- |
||
гранжа, получим |
|
|
|
|
|
|
( |
) |
( |
) |
( |
) |
. |
|
|
|
|
Запишем матрицу квадратичной формы относительно приращений:
( |
( |
) |
|
* |
|
( |
) |
||
|
|
|
.
Для "верхнего" знака ( ) матрица
. /
Для "нижнего" знака элементы матрицы меняют знак. Согласно критерию Сильвестра, в этой точке нет экстремума.
Сравним значения функции в остальных точках:
( ( )) |
( ( )) |
|
|
( ( )) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
√ |
√ |
||||||
|
|
|
|||||
Точкой глобального минимума является
118
( ) |
|
|
( |
) |
|
|
|||
√ |
|
|||
|
|
|||
значение функции в этой точке
( |
( )) |
|
|
|
|
|
|
|
=. |
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
√ |
|
|
√ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Проверим справедливость оценки |
|
|
|
для точки |
( ) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Возьмем вектор |
( |
) ему соответствуют множители Ла- |
||||||||||||
гранжа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Следовательно,
√
Перепишем условие задачи, введя приращение
( ) ( )
( )
( |
) |
( )
( |
) |
119
√
√
√
Из первых трех уравнений получаем |
и подставим в по- |
следнее уравнение: |
|
√
( |
) √. |
|
/ . |
|
Возьмем, например, ( )
| | | √( |
|
* |
( ( ))| |
|
С другой стороны,
√
Аналогично для |
( |
) |
120