ЭВМ_Семестр4_МетодПособие
.pdfРАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА № 12
Проблема собственных значений. Полная проблема собственных значений. Метод Якоби
Краткие теоретические сведения
Под полной проблемой собственных значений понимают задачу вычисления всех собственных значений λ и соответствующих им собственных векторов {x}, которые удовлетворяют следующему равенству:
[A] {x} = λ {x} ,
где [A] - заданная квадратная матрица.
Матрица [A] размерности (nхn) имеет n собственных значений и n соответствующих собственных векторов {x}.
Основные положения матричного исчисления
итеории собственных значений
1.Матрица [A] называется симметричной, если
= , |
где i , j =1,2,…n. |
2.Матрица называется диагональной, если все еѐ элементы, расположенные вне главной диагонали равны нулю.
3.Матрица , - называется ортогональной, если
, - , - |
, - |
где
, - - транспонированная матрица , - ; , - - единичная матрица, т.е. диагональная матрица у которой
диагональные элементы равны единице.
141
4. Для ортогональной матрицы справедливо
|
|
|
, - |
= |
, - |
где |
, |
- - обратная матрица , |
- . |
||
|
5. |
Матрицы , |
- и ,В- называются подобными, если суще- |
||
ствует такая неособенная, т.е. имеющая обратную матрицу, |
|||||
ца ,Р-, что справедливо соотношение |
|||||
|
|
|
,В- = ,Р- |
, -,Р-. |
|
|
6. |
Если две матрицы подобны, то их собственные значения |
|||
совпадают, т. е. если |
|
|
|
||
|
,В- = ,Р- , |
-,Р- , то |
матрицы , - и ,В- имеют одинако- |
||
вые собственные значения. |
|
|
|||
|
7. |
Собственные значения диагональной матрицы равны еѐ |
|||
диагональным элементам. |
|
|
|||
|
Например, матрица [A] = |
имеет следующие соб- |
|||
ственные значения: |
=4 ; |
=2; |
=-3. |
||
Метод Якоби (метод вращения)
Метод Якоби (метод вращения) относится к методам преобразования подобия. Суть метода состоит в том, чтобы получить из исходной матрицы [A] другую с более простой структурой, но с теми же собственными значениями. Очевидно, что самым лучшим упрощением будет привидение исходной матрицы [A] к диагональному виду (см. пункт 7). Но при этом полученная упрощѐнная диагональная матрица должна быть подобна исходной матрице [A] , так как только в этом случае их собственные значения будут одинаковыми (см. пункт 6).
Метод Якоби позволяет привести исходную матрицу к подобной диагональной матрице, последовательно обнуляя все элементы, находящиеся вне главной диагонали.
142
В случае симметричной вещественной матрицы [A] преобразование выполняется с помощью ортогональных матриц [ которые называют матрицами вращения.
Вычислительный процесс осуществляется следующим образом. Из исходной матрицы [A] образуют матрицу
[ ( )] = [ ( )] [ ] , ( )-т.
При этом ортогональная матрица [ |
( |
)] выбирается так, чтобы |
||||||
в матрице [ ] появился нулевой элемент, |
стоящий вне главной диа- |
|||||||
гонали. Затем из [ |
( )] с помощью второй преобразующей матрицы |
|||||||
[ ( )] образуют новую матрицу [ |
( )]: |
|
|
|
|
|||
|
[ ( )] = [ ( )], ( )- , ( )-т, |
|
||||||
при этом [ ( |
)] выбирается так, чтобы в матрице [ ( )] появился |
|||||||
новый нулевой внедиагональный элемент. Далее так |
||||||||
|
[ ( )] = [ ( )], ( )- , ( )- ; |
|
||||||
|
. . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
[ ( |
)] = [ ( |
)], ( )- , ( |
)-т. |
||||
Эту процедуру выполняют так, чтобы на каждой итерации в |
||||||||
нуль обращался |
наибольший |
внедиагональный |
элемент матрицы |
|||||
[ ( )]. Для осуществления этой |
операции на каждом шаге, итерации |
|||||||
матрица вращения |
( |
) должна формироваться специальным об- |
||||||
разом. Компоненты матрицы |
( |
)формируются в зависимости от |
||||||
максимального внедиагонального элемента |
( ) |
матрицы [ ( )] в |
||||||
следующем виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) = |
( |
) = |
cos θ ; |
|
||
|
( |
) = - |
( |
) = sin θ ; |
|
|||
|
( |
) = 1, |
при |
i ≠ |
k, l ; |
|
||
|
( |
) = 0, |
при |
i ≠ j , |
|
|||
143
т.е. ( ) имеет вид :
|
k |
l |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
cosθ |
sinθ |
k |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
-sinθ |
сosθ |
|
|
|
l |
|
1 |
|
|
|
1
Чтобы внедиагональный элемент |
( |
) |
был равен нулю, значе- |
|||||||
ние θ выбирается |
так, чтобы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
tg 2θ = |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
( ) |
( |
) |
|
|
|
||||
а значение θ лежало в интервале |
- |
|
≤ θ ≤ |
|
. |
|||||
|
|
|||||||||
Полученная |
матрица [ ( |
)] будет |
отличаться от |
матрицы |
||||||
[ ( )] только строками и столбцами k и l. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Приведение матрицы [A] к строго диагональному виду требует довольно большого количества итераций, так как образование нового
144
нулевого внедиагонального элемента на месте одного из элементов матрицы часто приводит к появлению ненулевого элемента там, где ранее был получен нулевой внедиагональный элемент.
Итерационный процесс метода Якоби заканчивается, когда все внедиагональные элементы становятся достаточно малыми, меньше заданного малого числа Ɛ. Если после выполнения итераций заданная точность достигнута, то диагональные элементы матрицы [ ( )] можно считать собственными значениями матрицы [A], а соответствующие собственные векторы исходной матрицы как столбцы матрицы [Т], где
[Т] = , ( )-т , ( )-т. . . , ( )-т.
Реализация метода Якоби в пакете MATLAB
Рассмотрим, как можно реализовать метод Якоби в пакете
MATLAB.
Имеющаяся в пакете MATLAB функция eig(A) позволяет вычислять собственные значения матрицы A и еѐ собственные вектора, т.е. решать полную проблему собственных значений.
Еѐ синтаксис:
d = eig(A) или [R, D] = eig(A).
Так если записано d = eig(A), то в d функция eig(A) возвратит собственные значения матрицы A, а если - [R, D] = eig(A), то в диагональную матрицу D возвращает собственные значения, а в матрицу R собственные вектора, удовлетворяющие соотношению
A * R = R * D.
Эти векторы нормированы так, что норма каждого из них равна единице.
145
Пример 12.1. Для заданной матрицы [A] = |
, |
используя пакет MATLAB вычислить все собственные значения и соответствующие вектора.
На рис.12.1 представлен ввод исходной матрицы [A], а на рис. 1.2 использование функции eig(A) для решения поставленной задачи.
Рисунок 12.1 - Ввод исходной матрицы [A].
146
Рисунок 12.2 - Использование функции eig(A) для вычисления собственных значений и соответствующих векторов
матрицы [A].
147
Практическая часть
Задания к лабораторной работе
1. Используя пакет MATLAB вычислить все собственные значения и соответствующие собственные вектора для заданной матрицы [A] размерностью 3х3. Матрицу [A] взять из предыдущей работы
всоответствии со своим вариантом задания.
2.В пакете MATLAB выполнить проверку полученных резуль-
татов.
148
Рекомендуемая литература
1.Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математи-
ки. – М.: Наука, 1966. – 664 с.: ил.
2.Метьюз Д., Финк К. Численные методы. Использование MATLAB.
– М. -Спб.-К.: «Вильямс», 2001. – 716 с.: ил.
3.Кузьменко В.Г. VBA эффективное использование. – М.: БИНОМ,
2009. – 617 с.: ил.
4.Калядин В.И., Макаров А.И. Основы работы на персональном компьютере: Учебное пособие. – М.: МГТУ «МАМИ», 2010. – 85с.: ил.
5.Калядин В.И. Численные методы: решение задач в Excel на VBA. Часть 1: Учебное пособие. – М.: Университет машиностроения, 2013.
– 142 с.: ил.
6.Антомони В.И., Архипов В.Н., Любин А.Н., Тихомиров В.Н. ПРОГРАММИРОВАНИЕ НА VBA В MICROSOFT OFFICE: Сборник ла- бо-раторных работ по дисциплине «Информатика» для студентов всех специальностей. – М.: МГТУ «МАМИ», 2011. – 160 с.: ил.
7.Карташов Н.С., Макаров А.И., Макаров Д..А. Алгоритмизация и программирование на VBA в Microsoft Excel: Учебное пособие.
– М.: Университет машиностроения, 2013. – 133 с.: ил.
8.Дьяконов В.П. MATLAB 7.*/R2006/R2007: Самоучитель. – М.: ДМК Пресс, 2008. – 768 с.: ил.
149
Учебное издание
Антомони Валерий Иосифович Архипов Владимир Николаевич Любин Александр Николаевич
Численные методы в инженерных расчетах(часть 2)
Учебное пособие по дисциплине «Численные методы» для студентов, обучающихся по специальности Наземные транспортнотехнологические средства. М.: Университет машиностроения, 2013. ?? с.: ил.
Под редакцией авторов
Оригинал-макет подготовлен редакционно-издательским отделом Московского государственного машиностроительного университета (МАМИ)
По тематическому плану внутривузовских изданий учебной литературы на 2013 г.
Подписано в печать __.__.13. Формат 60х90 1/16 Бумага 80 г/м2 Гарнитура «Таймс». Ризография. Усл. печ. л.
Тираж ____ экз. Заказ № ФГБОУ ВПО «Московский государственный машиностроительный
университет (МАМИ)» 107023. г. Москва, Б.Семеновская ул., 38
150