ЭВМ_Семестр4_МетодПособие
.pdfИногда требуется находить производные функции в основных табличных точках В этом случае формулы численного дифференцирования упрощаются. Так как каждое табличное значение можно
считать за начальное, то положим |
|
|
|
|
|
тогда будем иметь: |
||||||||||||||||||||
( |
) |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
6.36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
[ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
] |
6.37 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Если |
( |
) – интерполяционный полином Ньютона, содержащий |
||||||||||||||||||||||
разности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
( |
) |
( |
|
) |
|
|
|||||||
– соответствующая |
погрешность, |
|
то |
погрешность в определении |
||||||||||||||||||||||
производной есть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
( |
) |
( |
) |
|
|
||||||||
|
|
Пр и ме р |
|
6.9. Найти |
( |
) |
функции |
заданной таб- |
||||||||||||||||||
лично. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
50 |
1.6990 |
|
414 |
|
-36 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
55 |
1.7404 |
|
378 |
|
-31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
60 |
1.7782 |
|
347 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
65 |
1.8129 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение . Здесь Используя первую строчку таблицы, на основании формулы
(6.4), с точностью до разностей третьего порядка. будем иметь:
31
( ) |
|
( |
) |
|
Учитывая, что
( )
то
Таким образом, результаты совпадают с точностью до четвертого десятичного знака.
Необходимо отметить, что также можно вывести формулы приближенного дифференцирования, исходя из второй интерполяционной формулы Ньютона.
Формулы численного дифференцирования на основе полинома Лагранжа
Пусть точки |
|
|
– равноотстоящие, т. е. |
|
|||
|
( |
|
|
|
) |
|
|
и пусть для функции |
( ) |
известны значения |
( ) ( |
||||
). Для данной системы |
узлов |
построим |
интерпо- |
||||
ляционный полином Лагранжа |
|
|
|
|
|
||
( ) |
∑ |
|
( |
) |
|
|
6.38 |
|
|
|
|
|
|||
( |
) |
( ) |
|
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
( ) ( |
)( |
|
) ( |
|
) |
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
Тогда
( ) |
( |
) |
Полагая
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
( |
) |
( |
) |
|
|
|
||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
( |
)( |
) |
|
( |
|
)( |
|
) |
( |
||
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
( |
|
) , ( |
|
)- |
( |
) |
|
( |
) |
|
Следовательно, |
для |
полинома |
Лагранжа |
|
( ) |
имеем выра- |
||||||
жение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
∑ |
( |
) |
|
|
( |
) |
( |
) |
|
6.39 |
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
||||
Отсюда, учитывая, что
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
( ) |
∑ ( |
( ) |
) |
8 ( |
) ( |
)9 |
6.40 |
33
Аналогично могут быть найдены производные высших порядков данной функции ( )
Численное дифференцирование
Численное дифференцирование применяется тогда, когда функцию трудно или невозможно продифференцировать аналитически. На-пример, необходимость в численном дифференцировании возникает в том случае, когда функция задана таблицей. Кроме того, формулы численного дифференцирования широко используются при разработке вычислительных методов решения многих задач (решение дифференциальных уравнений, поиск решений нелинейных уравнений, поиск точек экстремума функций и др.).
Вычисление первой производной
Предположим, что в окрестности точки функция дифференцируема достаточное число раз. Исходя из определения производной
( ) |
( |
) |
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
естественно попытаться использовать для ее вычисления две простейшие приближенные формулы:
|
( |
) |
( |
) |
( ) |
6.41 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
( ) |
( |
) |
||||
|
( |
) |
6.42 |
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
соответствующие выбору фиксированных значений |
и |
||||||
. Здесь |
— малый параметр (шаг). Разностные отношения в |
||||||
правых частях формул (6.41) и (6.42) часто называют правой и левой разностными производными.
34
Для оценки погрешностей |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
( |
) |
( |
) |
( |
|
) |
( ) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
( |
) |
( |
) |
|
|
|||||||
( |
) |
( |
) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
введенных формул |
численного |
дифференцирования (погрешнос- |
||||||||||
тей аппроксимации) воспользуемся формулами Тейлора: |
|
|||||||||||
( |
) |
( |
) |
( |
) |
( |
) |
|
6.43 |
|||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
Здесь и ниже |
и |
|
— некоторые точки, расположенные на |
|||||||||
интервалах ( |
|
) и ( |
|
|
|
) соответственно. Подставляя раз- |
||||||
ложения (12.3) в выражения для |
|
, получаем |
||||
( |
) |
|
|
( |
) |
|
|
|
|||||
( |
) |
|
|
|
( |
) |
|
|
|
||||
Таким образом, формулы (6.41), (6.42) имеют первый порядок точности по . Иначе говоря, правая и левая разностные производные
аппроксимируют производную |
( |
) с первым порядком точности. |
|||||||
Приведенные формулы численного дифференцирования имеют |
|||||||||
простую геометрическую интерпретацию. Пусть |
, |
и |
— рас- |
||||||
положенные на графике функции |
|
( ) точки с координатами |
|||||||
( ) ( |
( |
|
)) и ( |
|
( |
)). Как известно, про- |
|||
изводная |
( ) равна тангенсу угла |
наклона к оси |
касательной, |
||||||
проведенной к графику функции в точке |
. Формула (6.41) соответ- |
||||||||
ствует приближенной замене производной ( |
) |
правой раз- |
|||||||
ностной производной |
( |
) ( ) |
равной |
тангенсу угла |
|
наклона |
|||
|
|
|
|||||||
к графику функции секущей, проведенной через точки |
и |
. Фор- |
|||||||
мула (6.42) соответствует аналогичной замене левой разностной про-
35
изводной |
( ) |
( ) |
равной тангенсу угла |
секу-щей, проведен- |
||||||||
|
|
|
||||||||||
ной через точки |
и . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Естественно предположить, что лучшим по сравнению с |
и |
|||||||||||
приближением к |
( |
) |
является тангенс угла наклона |
|
||||||||
секущей к графику, проведенной |
через |
точки |
и |
. Соответ- |
||||||||
ствующая приближенная, формула имеет вид |
|
|
|
|||||||||
|
( |
) |
|
( |
) |
( |
) |
|
|
6.44 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Величину в правой части этой формулы часто называют цент-
ральной разностной производной.
Подставляя в выражение для погрешности
|
( |
) |
|
( ) |
( |
|
) |
( |
|
) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
соответствующие разложения по формуле Тейлора |
|||||||||||||||
( |
) |
( ) |
( |
) |
|
|
( ) |
( |
)( ) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
получим, |
( |
) |
|
|
( )( |
) ( )( |
) |
Следовательно, справедлива |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
оценка погрешности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
| ( |
)| |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
-| ( )( )| , |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Таким образом, центральная разностная производная аппроксимирует производную ( ) со вторым порядком точности относительно
Для вычисления f'(x) можно получить формулы любого порядка точности. Однако в таких формулах с ростом порядка точности возрастает и число используемых значений функции. В качестве примера приведем формулу
36
( ) |
( |
) |
( |
) |
( |
) |
( |
) |
6.45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
имеющую четвертый порядок точности.
|
Пр имер 6.10. Пусть функция ( ) |
задана на отрезке , - |
||||||
таблицей значений с шагом |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 6.14 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.0 |
0 2 |
|
0.4 |
0.6 |
0.8 |
1.0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
1.00000 |
1.22140 |
|
1.49182 |
1.82212 |
2.22554 |
2.71828 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя формулы численного дифференцирования, найдем |
|||||||
значения производной |
|
( ) в узлах таблицы. |
|
|
||||
|
В точках |
|
и |
из приведенных здесь формул мож- |
||||
но воспользоваться лишь формулами (6.41) и (6.42). В остальных точках применим формулу (6.44), имеющую более высокий порядок точности. Вычисления дают следующую таблицу производных:
Т а б л и ц а 6.15
|
|
|
0.0 |
0 2 |
0.4 |
|
0.6 |
0.8 |
|
1.0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
1.10700 |
1.22955 |
1.50180 |
1.83430 |
2.24040 |
|
2.46370 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
-0.10700 |
-0.00815 |
0.00998 |
-0.01218 |
-0.01486 |
|
0.25458 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь же приведены значения погрешностей ( ), |
которые в |
||||||||
данном случае легко вычисляются (ведь |
( ) |
|
( )). Как и |
||||||||
следовало ожидать, значения погрешности в крайних точках (здесь использовались формулы первого порядка точности) существенно больше, чем во внутренних точках.
|
Заметим, что значения погрешностей можно было оценить и за- |
||||||||
ранее, используя априорные оценки. Например, в точке |
можно |
||||||||
получить оценку |
|
|
|
|
|||||
| | |
|
|
|
|
|
-| | |
|
|
|
, |
|
|
|||||||
37
Аналогичную оценку можно получить и в точке х = 0.2
| | |
|
|
|
|
-| |
| |
, |
||||||
|
Для вычисления ( ) при |
и |
можно также |
||
применить формулу (12.8) и получить значения ( |
) |
и |
|||
( |
) |
с погрешностями, приближен-но равными 6 |
|
||
и |
|
соответственно. |
|
|
|
Вычисление второй производной
Наиболее простой и широко применяемой для приближенного вычисления второй производной является следующая формула:
( ) |
( |
) |
( ) |
( |
) |
6.46 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Величину в правой части этого приближенного равенства часто называют второй разностной производной.
Подставляя в выражение для погрешности
( |
) |
( ) |
( |
) |
( ) |
( |
) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
соответствующие разложения по формуле Тейлора
( |
) |
( ) |
( ) |
( ) |
( )( ) |
||
|
|
|
|||||
|
( )( |
) |
|
|
|
|
|
получим ( ) |
( )( ) |
( )( ) |
. Следовательно, |
|
|
|
|
||
38
| ( |
)| |
|
, |
-| ( )( )| , |
|
Таким образом, формула (6.46) имеет второй порядок точности. Для вычисления ( ) можно получить формулы любого поряд-
ка точности. Например, формула
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
( |
) |
( |
) |
( ) |
( |
) |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеет четвертый порядок точности.
|
|
П р и м е р |
6.11. Используя табл. 6.14 |
значений |
функции |
||||||
( ) |
|
, найдем с помощью формул численного дифференциро- |
|||||||||
вания значения |
( ) во внутренних узлах таблицы. |
|
|||||||||
|
|
Вычисление по формуле (6.47) дает значения, приведенные в |
|||||||||
табл. 6.15: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Таблица 6.15 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.2 |
0.4 |
|
0.6 |
|
0.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
1.22550 |
1.49700 |
|
1.82800 |
|
2.23300 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( |
) |
|
-0.00410 |
-0.00518 |
-0.00588 |
-0.00746 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применение формулы |
(6.46) |
позволяет |
получить |
значения |
|||||
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
с погрешностями, приближенно равными -2 |
, |
|
|||||||||
Формулы численного дифференцирования
Выпишем готовые выражения для производных первого и второго порядка при различных значениях Эти формулы можно получить непосредственно из полинома Лагранжа.
( )
( |
) |
|
( ) |
|
39
|
|
( |
) |
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
( |
|
) |
|
( ) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
) |
|
|
( |
) |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
( ) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
( ) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
( |
|
|
|
) |
|
|
( |
) |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
( ) |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
( |
) |
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
( |
) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
40