ЭВМ_Семестр4_МетодПособие
.pdfПоэтому дальнейшее заполнение таблицы 6.5 можно проводить при помощи суммирования, используя формулы.
|
|
|
|
( |
) |
||
|
|
|
|
( |
) |
||
|
|
|
|
( |
) |
||
|
|
|
|
Таблица 6.5 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
-1 |
3 |
8 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
11 |
20 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
13 |
31 |
32 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
44 |
63 |
44 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
107 |
107 |
56 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
214 |
163 |
68 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Первая интерполяционная формула Ньютона |
|
||
Пусть для функции |
|
( ) заданы значения для равноотсто- |
|
ящих значений независимой переменной: |
|
||
|
( |
) |
|
где шаг интерполяции. Требуется подобрать полином |
( ) степени |
||
не выше , принимающий в точках значения |
|
||
( ) |
( |
) |
6.14 |
Следуя Ньютону, полином будем искать в виде
( ) |
( |
) |
( |
|
)( |
) |
|
( |
|
)( |
)( |
) |
6.15 |
( |
)( |
|
)( |
) |
( |
) |
11
где |
( |
) |
неизвестные коэффициенты полинома |
( |
). |
|
|
|
Полагая |
в выражении (6.15), получим |
|
|
|
( |
) |
Составим первую конечную разность
( ) |
( |
) |
( |
)( |
) |
|
( |
)( |
) |
( |
) |
и, полагая в этом выражении |
|
, получим |
|
||
|
( |
) |
|
|
|
Откуда следует
Последовательно продолжая этот процесс, можно определить
все коэффициенты |
|
полинома |
( |
) |
|
|
||||
где |
|
|
( |
|
|
) |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
Подставляя найденные значения коэффициентов |
в выраже- |
|||||||||
ние (6.15), получим интерполяционный полином Ньютона |
|
|||||||||
( ) |
|
|
( |
) |
|
( |
)( |
) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
12
( )( ) ( ) 6.16
Для практического использования интерполяционную формулу (6.16) Ньютона обычно записывают в несколько преобразованном виде. Для этого введем новую переменную по формуле
и, подставляя эту переменную в формулу (6.16), получим |
|
||||||
( ) |
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.17 |
|
|
|
|
|
|
|||
( |
) |
( |
) |
|
|||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
где – представляет собой число шагов, необходимых для того, что-
бы достичь точки , исходя из точки . |
|
Частные случаи: |
|
1. формула линейного интерполирования ( |
): |
( )
2.формула параболического или квадратичного интерполи-
рования ( ):
( ) |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если дана неограниченная таблица функции , то число в ин- |
|||
терполяционной формуле (6.17) может быть любым. Практически в этом случае число выбирают так, чтобы разность была посто-
янной с заданной степенью точности. За начальное значение |
мож- |
но принимать любое табличное значение аргумента. |
|
13
Если таблица значений функции конечна, то число ограниченно, а именно: не может быть больше числа значений функции , уменьшенному на единицу.
Следует отметить, что при применении первой интерполяционной формулы Ньютона удобно пользоваться горизонтальной табли-
цей разностей, |
так как тогда нужные значения разностей функции |
||||||||
находятся в соответствующей горизонтальной строке таблицы. |
|||||||||
|
Пр имер |
6.3. |
Приняв |
шаг |
|
, построить на |
отрезке |
||
, |
- интерполяционный полином Ньютона для функции |
, |
|||||||
заданной таблицей |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Таблица 6.6 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.50 |
|
3.55 |
3.60 |
|
3.65 |
3.70 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33.155 |
34.813 |
36.598 |
|
38.475 |
40.447 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Составляем таблицу разностей (таблица 6.7). Следует отметить, что в столбцах разностей, следуя обычной практике, не указываются десятичные разряды, которые вполне из столбца значений функции.
Таблица 6.7
|
|
|
|
|
3.50 |
33.155 |
1698 |
87 |
5 |
|
|
|
|
|
3.55 |
34.813 |
1785 |
92 |
3 |
|
|
|
|
|
3.60 |
36.598 |
1877 |
95 |
|
|
|
|
|
|
3.65 |
38.475 |
1972 |
|
|
|
|
|
|
|
3.70 |
40.447 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как разности третьего порядка практически постоянны, то в формуле (6.17) полагаем . Приняв , будем иметь
( ) |
|
|
( |
) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( |
)( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
||
или
( ) |
( |
) |
( )( )
где
( )
На практике часто встречается необходимость для функции, заданной таблично, подобрать аналитическую формулу, представляющую с некоторой точностью данные табличные значения функции. Такая формула называется эмпирической, причем задача ее построения неоднозначна.
При построении эмпирической формулы следует учитывать общие свойства функции. Если из таблицы разностей следует, что –е разности для равноотстоящих значений аргумента постоянны, то в качестве эмпирической формулы можно взять соответствующую первую интерполяционную формулу Ньютона.
Пр и ме р 6.4. Построить эмпирическую формулу для функции
,которая задана таблицей
Таблица 6.8
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5.2 |
8.0 |
10.4 |
12.4 |
14.0 |
15.2 |
|
|
|
|
|
|
|
Решение . Из таблицы разностей (таблица 6.9) следует, что вторая разность постоянна.
Таблица 6.9
|
|
|
|
0 |
5.2 |
2.8 |
-0.4 |
|
|
|
|
1 |
8.0 |
2.4 |
-0.4 |
|
|
|
|
2 |
10.4 |
2.0 |
-0.4 |
|
|
|
|
3 |
12.4 |
1.6 |
-0.4 |
|
|
|
|
15
4 |
14.0 |
1.2 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
15.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя интерполяционную формулу Ньютона в форме |
|||
(6.16) и учитывая, что |
иметь: |
|
||
или |
|
|
( |
) |
|
||||
|
|
|
|
|
Вторая интерполяционная формула Ньютона
Первая интерполяционная формула Ньютона практически неудобна для интерполирования вблизи конца таблицы. В этом случае обычно применяется вторая интерполяционная формула Ньютона.
Пусть имеем систему функций
( ) ( |
) |
для равноотстоящих значений аргумента
Построим интерполирующий полином следующего вида
( |
) |
( |
) |
( |
)( |
) |
|
|
|
|
( |
)( |
)( |
) |
6.18 |
|
|
( |
)( |
) |
( |
) |
|
где |
|
( |
|
) неизвестные коэффициенты полинома |
|||
( |
). |
Следовательно, |
необходимо |
определить |
коэффициенты |
||
|
|
|
таким образом, чтобы были справедливы равен- |
||||
ства |
|
|
|
|
|
|
|
16
( ) |
( |
) |
Для этого необходимо и достаточно, чтобы
( |
) |
( |
) ( |
) |
6.19 |
Полагая |
в формуле (1), получим |
|
|
||
|
( |
|
) |
|
|
и, следовательно,
Составим первую конечную разность
( ) |
( |
) |
( |
)( |
) |
( |
)( |
) |
( |
) |
|
и, полагая в этом выражении |
|
, получим |
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
Откуда следует |
|
|
|
|
|
Применяя метод математической индукции можно доказать,
что
( |
) |
6.20 |
17
Эта формула и носит название второй интерполяционной формулы Ньютона.
( ) |
|
( |
) |
|
( |
)( |
) |
|
|
( )( ) ( ) 6.21
Как и в предыдущем случае введем более удобную запись формулы (6.21). Пусть
тогда
Подставляя эти значения в формулу (6.21), получим:
( ) |
|
|
( |
) |
|
||
|
|
|
|
|
6.22 |
||
|
|
|
|
||||
( |
) |
( |
) |
||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Это и есть обычный вид второй интерполяционной формулы Нью-
тона. Для приближенного вычисления значений функции полагают:
( ) |
|
Пр и ме р 6 .5 . Дана таблица значений |
семизначных |
логарифмов |
|
18
|
Таблица 6.10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1000 |
|
3.0000000 |
|
|
|
|
|
1010 |
|
3.0043214 |
|
|
|
|
|
1020 |
|
3.0086002 |
|
|
|
|
|
1030 |
|
3.0128372 |
|
|
|
|
|
1040 |
|
3.0170333 |
|
|
|
|
|
1050 |
|
3.0211893 |
|
|
|
|
|
|
Найти |
. |
|
Решение . Заполняем таблицу разностей (таблица 6.11). Следует отметить, что при применении первой интерполяционной формулы Ньютона удобно пользоваться горизонтальной таблицей разностей, так как тогда нужные значения разностей функции находятся в соответствующей горизонтальной верхней строке таблицы. Следовательно, в этом случае таблица заполняется с верхней строки вниз. Однако, если применять вторую интерполяционной формулы Ньютона, то таблицу удобнее заполнять с нижней строки вверх.
|
|
|
|
Таблица 6.11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1000 |
3.0000000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1010 |
3.0043214 |
43 214 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1020 |
3.0086002 |
42 788 |
-426 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1030 |
3.0128372 |
42 370 |
-418 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1040 |
3.0170333 |
41 961 |
-409 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
1050 |
3.0211893 |
41 560 |
-401 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
Так как |
, то |
|
|
|
|
( )
Используя разности из нижней строки таблицы, в силу формулы (4) будем иметь:
19
( |
) |
|
|
|
( |
|
) |
|
( |
) |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
( |
)( |
) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
В полученном результате все знаки верные.
Как первая, так и вторая интерполяционные формулы Ньютона могут быть использованы для экстраполирования функции, т. е. для нахожде-
ния значений функции для значений аргументов |
лежа-щих вне |
||
пределов таблицы. Если |
и |
близко к |
то выгодно при- |
менять первую интерполяционную формулу Ньютона, причем тогда
Если же и близко к то удобнее пользоваться второй интерполяционной формулой Ньютона, причем
Таким образом, первая интерполяционная формула Ньютона обычно используется для интерполирования вперед и экстраполирования назад,
а вторая интерполяционная формула Ньютона, наоборот, – для интер-
полирвания назад и экстраполирования вперед.
Заметим, что операция экстраполирования, вообще говоря, менее
точна, чем операция интерполирования в узком смысле слова. |
|
|||
П р и м е р |
6.6. Имея таблицу значений функции |
в пре- |
||
делах от |
до |
с шагом |
(таблица 6.12), найти |
|
и |
. |
|
|
|
Р е ш е н и е . Составим таблицу разностей (таблица 6.13). Очевидно, |
||||
что третьи разности функции |
практически постоянны, и поэтому можно |
|||
ограничиться ими. |
|
|
|
|
20