ЭВМ_Семестр4_МетодПособие

Если сравнивать различные формулы, то очевидно, что наиболее простые выражения получаются при четных в средних точках. При этом и коэффициенты при производных в остаточных членах получаются самыми маленькими. Поэтому на практике, по возможности, следует применять эти формулы.

Приведем соответствующие выражения для вторых производных.

42

43

45

46

Все численные методы вычисления определенного интеграла связаны с тем или иным методом аппроксимации функции. Основная идея большинства методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной функции более простой, интеграл от которой легко вычисляется аналитически. При этом для оценки значения интеграла получаются формулы вида

где — число точек, в которых вычисляется значение подынтегральной функции. Точки называются узлами метода, числа — весами узлов. При замене подынтегральной функции на полином нулевой, первой и второй степени получаются соответственно методы прямоугольников, трапеций и парабол (Симпсона). В вычислительных процедурах этих методов используется разбиение интервала интегрирования на n равных участков, что связано с простотой составления вычислительного алгоритма. Данные методы имеют простую геометрическую интерпретацию.

Увеличение количества участков разбиения во всех методах приводит к повышению точности расчета и к увеличению времени выполнения расчетов на ЭВМ. Точность вычисления оценивается абсолютной или относительной погрешностью. Модуль разности между точным и вычисленным значением интеграла называется абсолютной погрешностью, а модуль отношения разности к точному значению интеграла – относительной погрешностью.

У такого подхода повышения точности вычисления есть ограничения, связанные с ошибками округления чисел в ЭВМ. Увеличение количества арифметических операций для получения более точного результата приводит к накоплению ошибок округления, что, в конце концов, сводит на нет эффект от уменьшения шага интегрирования.

Метод прямоугольников

48

Метод прямоугольников — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене подынтегральной функции на многочлен нулевой степени, то есть константу, на каждом элементарном отрезке. Суть метода заключаться в приближѐнном вычислении площади под графиком суммированием площадей конечного числа прямоугольников, ширина которых будет определяться расстоянием между соответствующими соседними узлами интегрирования, а высота — значением подынтегральной функции в этих узлах.

Если отрезок [a,b] является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по следующим формулам:

формула левых прямоугольников:

формула правых прямоугольников:

формула средних прямоугольников:

Однако обычно отрезок a,b разбивается на n равных отрезков дли-

ной точками xi (i 1,2,..., n 1; x1 a, xn 1 b) . Разность значений абсцисс двух соседних точек называется шагом интегрирования, т.е. h x2 x1 xi 1 xi (рисунок 7.2).

Рисунок 7.2 – Метод левых прямоугольников

49

Искомая площадь заменяется суммой площадей прямоугольников. Таким образом, получим:

ленный на рисунке 7.2, при x*i xi 1 применяется метод правых пря-

моугольников, а при применяется метод средних прямо-

угольников.

Погрешность вычисления определенного интеграла с помощью метода левых и правых прямоугольников можно оценить по формуле:

Rn 0.5h(b a)M1,

где M1 max f (x) – максимальное значение модуля первой производ-

ной на отрезке [a,b]. На рисунке 7.2 заштрихована фигура, площадь которой равна значению интеграла, полученному методом прямоугольников с узловой точкой в начале каждого участка.

Метод трапеций Метод трапеций — метод численного интегрирования функции од-

ной переменной, заключающийся в замене на каждом элементарном отрезке подынтегральной функции на многочлен первой степени, то есть линейную функцию. Площадь под графиком функции аппроксимируется прямоугольными трапециями (рисунок 7.3). Если отрезок [a,b] является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по формуле

50