1. Решение линейной краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков и их систем Справочная информация

Краевая задача для нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений высших порядков предполагает отыскание их частного решения, которое подчиняется граничным (краевым) условиям. Количество этих условий должно быть равно порядку системы уравнений или порядку уравнения, чье частное решение ищется. В простейшей постановке краевая задача записывается в виде дифференциального уравнения

,

область действия которого ограничено отрезком [0, l], и граничных условий, задаваемых на концах этого отрезка

при x = 0 при x = l

Здесь φ_i (i = 1, 2,..., s) и ψ_j (j = 1, 2,..., k) некоторые функции, аргументами которых являются значения искомого решения и его производных в граничных точках. Их количество равно порядку уравнения

n = s + k.

В другой постановке краевая задача может быть сформулирована в виде нормальной системы дифференциальных уравнений с граничными условиями

,

при x = 0 при x = l

Краевая задача в таком виде имеет следующую матричную форму записи

,

при x = 0: , приx = l: ,

где

, .

Здесь и далее рассматривается случай, когда решение краевой задачи существует и единственно.

Метод стрельбы

Одним из эффективных методов решения рассматриваемых краевых задач является метод стрельбы, который иногда называют методом пристрелки или методом прогонки. Его идея состоит в сведении краевой задачи к задаче Коши, для которой существуют хорошо отработанные методы численного решения.

На самом деле, краевая задача для нормальной системы дифференциальных уравнений может быть заменена задачей Коши

где постоянные с₁,с₂,…,с_nподбираются так, чтобы её решение совпадало с решением исходной краевой задачи.

Это достигается следующим способом. Решение задачи Коши кроме аргумента xбудет содержать постоянныес₁,с₂,…,с_n

а, следовательно левые части граничных условий в точках x = 0 и точке x = l тоже будут функциями этих постоянных, так как

Таким образом формируется система из nалгебраических уравнений относительноnнеизвестныхс₁,с₂,…,с_n

Все сказанное выше позволяет сформировать алгоритм решения линейной краевой задачи методом стрельбы.

Пусть линейная краевая задача записана в общем виде следующим образом:

,

при x = 0 при x = l

где a₁₁(x),…,a_nn(x),f₁(x),…,f_n(x) – ограниченные на отрезке [0,l] известные функции, аp₁₁,…,p_n,q₁₁,…,q_kn,θ₁,…,θ_sи,…,– заданные постоянные.

В матричной форме эта краевая задача имеет вид

,

при x = 0: , приx = l: ,

где

,

.

Эквивалентная ей задача Коши имеет вид

, ,

где с– вектор, составленный из постоянныхс₁,с₂,…,с_n

,

Подстановка её решения в граничные условия краевой задачи при x= 0 иx=lдаётnалгебраических уравнений относительно постоянныхс₁,с₂,…,с_n

↔

↔

Первая система из sуравнений является линейной, а для конкретизации второй системы изkуравнений надо воспользоваться свойствами линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Как известно из теории дифференциальных уравнений общее решение таких систем является линейной комбинацией их линейно независимых частных решений

,

где

,,

или

,

где квадратная матрица Y₀составлена из частных решений однородной системы уравнений

.

В связи с этим вторая система уравнений, получающаяся из граничных условий при x=l, тоже будет линейной – системой линейных алгебраических уравнений

:

где

.

Отсюда, из сравнения структуры решения нормальной системы линейных дифференциальных уравнений и структуры системы линейных алгебраических уравнений, получающихся из граничных условий при x=l, можно построить следующий алгоритм нахождения коэффициентов матрицыGи вектораg^*.

Сначала задача Коши численно решается для нулевых начальных условий. В этом случае все слагаемые с постоянными с₁,с₂,…,с_nи в решении задачи Коши, и в граничных условиях приx=l, будут отсутствовать. Поэтому с помощью такого решения появляется возможность найти элементы вектораg^*:

.

Затем задача Коши численно решается ещё nраз с единичными начальными условиями. Под такими начальными условиями имеются в виду условия, у которых одна компонента равна единице, а остальные считаются равными нулю. По этим решениям находятся элементы столбцов матрицыG:

,

,

………………………………………………………….

.

После этого системы линейных алгебраических уравнений, полученные из граничных условий при x= 0 иx=l, объединяются в одну систему изnуравнений

,

где

,

которая решается одним из известных методов решения систем линейных алгебраических уравнений и, таким образом, определяются постоянных с₁,с₂,…,с_n.

Иллюстрацией данному алгоритму может служить решение следующей краевой задачи для линейного уравнения 2-го порядка

, .

Сначала эта задача приводится к краевой задаче для нормальной системы дифференциальных уравнений

, ,

где введены обозначения ,. В матричной форме она имеет вид

,

при x = 0: , приx = l: .

Здесь

.

Затем для неё записывается эквивалентная задача Коши

,

которая решается трижды для следующих начальных условий

Её решение методом Эйлера для первой пары начальных условий даёт следующие значения y₁(x) и y₂(x), которые сведены в таблицу

x	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0
y1	0.000	0.000	0.000	0.006	0.024	0.060	0.117	0.199	0.306	0.438	0.5897
y2	0.000	0.000	0.060	0.180	0.355	0.573	0.820	1.074	1.316	1.520	1.666

Повторное решение этой же задачи для второй и третьей пар начальных условий даёт другие значения y₁(x) и y₂(x), которые также сведены в таблицы

x	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0
y1	1.000	1.000	0.910	0.736	0.492	0.200	–0.112	–0.413	–0.667	–0.842	–0.909
y2	0.000	–0.900	–1.740	–2.439	–2.921	–3.124	–3.004	–2.543	–1.751	–0.671	0.627

x	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0
y1	0.000	0.100	0.200	0.297	0.388	0.470	0.542	0.601	0.647	0.681	0.7051
y2	1.000	1.000	0.970	0.910	0.823	0.714	0.590	0.463	0.342	0.240	0.1670

Значит

,

,

.

Поэтому система линейных алгебраических уравнений для определения постоянных с₁ис₂будет иметь вид

.

Её решение легко находится

.

С полученными значениями с₁ и с₂ методом Эйлера строится окончательное решение задачи Коши. Оно приведено в следующей таблице.

x	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0
y1	0.000	–0.511	–1.022	–1.481	–1.836	–2.039	–2.054	–1.855	–1.435	–0.806	0.000
y2	–5.109	–5.109	–4.589	–3.549	–2.037	–0.145	1.991	4.199	6.288	8.059	9.324

Из неё видно, что на левом (при x = 0) и на правом (при x = 1) концах отрезка поиска решения заданной краевой задачи получено равенство искомого решения нулю.

Оценка погрешности метода стрельбы

Основной вклад в ошибку приближённых решений краевых задач получаемых методом стрельбы вносят методы решения задачи Коши. На каждом шаге h по аргументу x они вносят в решение абсолютную погрешность, оцениваемую неравенством

,

где m = 2 для метода Эйлера, m = 3 для усовершенствованного метода Эйлера и m = 5 для метода Рунге-Кутта 4-го порядка. Абсолютная погрешность приближённого решения на всём отрезке интегрирования системы дифференциальных уравнений описывается неравенством

,

Однако на практике из-за необходимости вычисления C_k и E_k такая оценка абсолютных погрешностей решения краевой задачи затруднительна. Поэтому для вычисления погрешности рассматриваемых методов на всём отрезке поиска решения используют апостериорную оценку, базирующуюся на правиле Рунге

,

где y(x_k, h) и y(x_k, 2h) – приближённые значения решения, вычисленные в точке x_k при шагах интегрирования или разбиения отрезка поиска решения краевой задачи, отличающихся друг от друга в два раза. В качестве относительной погрешности решения краевой задачи используют её интервальную оценку

.

Такой подход вполне оправдан до тех пор, пока при реализации вычислений не начинают сказываться неустранимые ошибки округления.