Контрольные задания

Методом конечных элементов получить решение краевой задачи для эллиптического уравнения. Область поиска решения указана в соответствии с номером варианта на рис.16–25. Дать оценку погрешности получаемого решения.

Варианты 1–3 (рис.16).
1.
2.
3.

Варианты 4–6 (рис.17).
4.
5.
6.
Варианты 7–9 (рис.18).
7.
8.
9.
Варианты 10–12 (рис.19).
10.
11.
12.
Варианты 13–15 (рис.20).
13.
14.
15.

Варианты 16–17 (рис.21).
16.
17.
18.
Варианты 19–21 (рис.22).
19.
20.
21.
Варианты 22–24 (рис.23).
22.
23.
24.
Варианты 25–27 (рис.24).
25.
26.
27.

Варианты 28–30 (рис.25).
28.
29.
30.

Рис.16 (варианты 1–3).	Рис.17 (варианты 4–6).

Рис.18 (варианты 7–9).	Рис.19 (варианты 10–12).

Рис.20 (варианты 13–15).	Рис.21 (варианты 16–18).
Рис.22 (варианты 19–21).	Рис.23 (варианты 22–24).
Рис.24 (варианты 25–27).	Рис.25 (варианты 28–30).

5. Применение метода конечных элементов для решения параболического уравнения Справочная информация

Параболическое уравнение относится к дифференциальным уравнениям с частными производными 2-го порядка. Оно описывает нестационарные процессы, так как одним из его аргументов является время t. В двумерном пространстве {x, y} это уравнение в классической форме имеет вид

или

,

где u = u(x, y, t) – искомое решение, a – известный параметр уравнения, а f = f(x, y, t) – заданная ограниченная функция. В общем виде параболическое уравнение записывается следующим образом

,

где d = d(x, y, t), c = c(x, y, t), a = a(x, y, t) – известные и ограниченные в области действия уравнения функции. Другая форма записи параболического уравнения имеет вид

.

Решение параболического уравнения обычно ищется в замкнутой областиS (см. рис.1). На границе этой области поведение решения определяется граничными условиями двух типов

или

.

З

Рис.1.

десьh = h(x, y, t), r = r(x, y, t), q = q(x, y, t), g = g(x, y, t), – известные и ограниченные на границе Г функции. Другая форма записи граничного условия второго типа имеет вид

.

Кроме граничных условий для решения параболического уравнения необходимо задавать одно начальное условие

.

Оно описывает искомое решение в начальный момент времени, за который обычно принимают t = 0. Такая постановка задачи для параболического уравнения называется начально-краевой задачей.