Контрольные задания

Методом конечных элементов получить решение начально-краевой задачи для параболического уравнения. Область поиска решения указана в соответствии с номером варианта на рис.8–17. Оценить погрешность получаемого решения.

Варианты 1–3 (рис.8).
1.
2.
3.
Варианты 4–6 (рис.9).
4.
5.
6.
Варианты 7–9 (рис.10).
7.
8.
9.
Варианты 10–12 (рис.11).
10.
11.
12.

Варианты 13–15 (рис.12).
13.
14.
15.
Варианты 16–18 (рис.13).
16.
17.
18.
Варианты 19–21 (рис.14).
19.
20.
21.
Варианты 22–24 (рис.15).
22.
23.
24.

Варианты 25–27 (рис.16).
25.
26.
27.
Варианты 28–30 (рис.17).
28.
29.
30.

Рис.8 (варианты 1–3).	Рис.9 (варианты 4–6).
Рис.10 (варианты 7–9).	Рис.11 (варианты 10–12).
Рис.12 (варианты 13–15).	Рис.13 (варианты 16–18).
Рис.14 (варианты 19–21).		Рис.15 (варианты 22–24).

Рис.16 (варианты 25–27).	Рис.17 (варианты 28–30).

6. Применение метода конечных элементов для решения гиперболического уравнения Справочная информация

Гиперболическое уравнение является третьим типом дифференциального уравнения с частными производными 2-го порядка. В число его аргументов, как и у параболического уравнения, входит время t. Оно описывает нестационарные колебательные процессы. Для двумерного пространства {x, y} это уравнение в классической форме имеет вид

или

,

где u = u(x, y, t) – искомое решение, k и a – известные параметры уравнения, а f = f(x, y, t) – заданная ограниченная функция. В общем виде гиперболическое уравнение записывается следующим образом

,

где d = d(x, y), k = k(x, y, t), c = c(x, y, t), a = a(x, y, t) – известные и ограниченные в области действия уравнения функции. Существует ещё одна форма записи гиперболического уравнения

.

Решение рассматриваемого гиперболического уравнения ищется в замкнутой области S (см. рис.1). На границе этой области поведение решения определяется граничными условиями двух типов

или

.

Здесь h = h(x, y, t), r = r(x, y, t), q = q(x, y, t), g = g(x, y, t) – известные и ограниченные на границе Г функции. Другая форма записи граничного условия второго типа имеет вид

Рис.1.

.

Кроме граничных условий гиперболическое уравнение должно быть дополнено двумя начальными условиями

,

где функция u₀(x, y) описывает искомое решение в начальный момент времени, за который обычно принимают t = 0, а ₀(x, y) – начальная скорость изменения решения u(x, y, t). Такая постановка задачи для гиперболического уравнения называется начально-краевой задачей.