- •Средняя хронологическая
- •Данные для расчета средней численности сотрудников компании "Бест"
- •Средняя гармоническая (сг).
- •Данные о реализации товаров по двум магазинам фирмы "Весна"
- •Средняя геометрическая.
- •Средняя квадратическая и средняя кубическая.
- •Мода и медиана, расчет и применение в с/анализе. Квартили и децили
- •Данные выборочного обследования потребляемой женщинами обуви
- •Группированные данные по торговой площади магазинов
- •Расчет медианы по интервальному ряду
- •Расчетная таблица для сравнения отклонений от медианы и от средней арифметической
- •630, 650, 680, 690, 700, 710, 720, 730, 750.
- •Квартили и децили
- •7. Показатели вариации, способ их вычисления
- •8. Среднее квадратическое отклонение
- •Распределение кип шерсти при отгрузке
- •Данные для расчета квадратического отклонения
- •Расчетные данные для определения взвешенного квадратического отклонения
- •К вопросу 7. Коэффициент вариации
- •Дисперсия
- •Свойства дисперсии
- •Правила сложения дисперсий
- •Данные для определения средних и дисперсий по заработной плате компаний "Бест" и Иванов к°"
- •Вопросы для самоконтроля
630, 650, 680, 690, 700, 710, 720, 730, 750.
Номер медианы для нечетного объема вычисляется по формуле
где n – число членов ряда.
В нашем примере номер медианы равен 5, медиана равна 700 руб. (т.е. одна половина рабочих получила зарплату менее 700 руб., а другая – более 700 руб. в месяц).
В случае четного объема ряда медиана равна средней из двух вариантов, находящихся в середине ряда.
В интервальных рядах распределения медианное значение (поскольку оно делит всю совокупность на две равные по численности части) оказывается в каком-то из интервалов признака х. Этот интервал характерен тем, что его кумулятивная частота (накопленная сумма частот) равна или превышает полусумму всех частот ряда. Значение медианы вычисляется линейной интерполяцией по формуле:
(13)
где – нижняя граница медианного интервала; - медианный интервал;
– половина от общего числа наблюдений; – сумма наблюдений, накопленная до начала медианного интервала; – число наблюдений в медианном интервале.
Формула (13) получена исходя из допущения о равномерности нарастания накоплений частоты внутри интервала и пригодна для любого интервального ряда.
Рассчитаем медиану по данным табл. 4.4. Прежде всего найдем медианный интервал. Таким интервалом очевидно будет интервал стоимости ОПФ малых предприятий (18–20 тыс. руб.), поскольку его кумулятивная частота равна 18 (2+6+10), что превышает половину суммы всех частот (25:2 = 12,5). Нижняя граница интервала 18 млн руб., его частота 10; частота, накопленная до него, равна 8. Подставив данные в формулу (4.13), получим, тыс. руб.:
Полученный результат говорит о том, что из 25 малых предприятий региона 12 предприятий имеют стоимость ОПФ менее 18 тыс. руб., а 12 предприятий – более этой величины.
Медиана находит практическое применение в маркетинговой деятельности вследствие особого свойства – сумма абсолютных отклонений чисел ряда от медианы есть величина наименьшая: .
Мода и медиана в отличие от степенных средних являются конкретными характеристиками, их значение имеет какой-либо конкретный вариант в вариационном ряду.
Мода и медиана, как правило, отличаются от значения средней, совпадая с ней только в случае симметричного распределения частот вариационного ряда. Поэтому соотношение моды, медианы и средней арифметической позволяет оценить асимметрию ряда распределения.
Мода и медиана, как правило, являются дополнительными к средней характеристиками совокупности и используются в математической статистике для анализа формы рядов распределения.
Квартили и децили
Более общая постановка вариант, занимающих определенное порядковое место в ранжированном ряду, называется порядковой статистикой. К порядковым статистикам принадлежат и экстремальные значения признака, т. е. минимальные и максимальные в данном ряду. Различают порядковые статистики, отсекающие четверти совокупности, которые называются квартили; первую или нижнюю (отсекающие четверть совокупности снизу), третью или верхнюю (отсекающие четверть сверху). Второй квартилью можно назвать медиану. Далее можно говорить об отсекающих десятые части — децилях и т. д.
Определение этих порядковых статистик в вариационном ряду, так же как и определение медианы, начинается с расчета порядкового номера соответствующего варианта, а затем по накопленным частотам определяется интервал, в котором находится соответствующий вариант. Определение величины накопленного варианта внутри интервала тоже аналогично нахождению медианы.
В интервальном вариационном ряду квартили внутри определенного по накопленным частотам интервала рассчитываются по следующим формулам:
Нижний квартиль Верхний квартиль
где хо — нижняя граница квартальных интервалов;
i— величина интервала;
—сумма частот;
—накопленная частота интервала, предшествующего нижнему квартилю;
—накопленная частота интервала, предшествующего верхнему квартилю;
—частоты квартального интервала.
Формулы для децилей в интервальном вариационном ряду записываются следующим образом:
Пример. В табл. 11 дан интервальный ряд распределения 50 учащихся по росту. Определить верхний и нижний квартиль и первые два дециля. Таблица .11
Распределение 50 учащихся по росту в интервальном ряду
Рост, см х |
Число учащихся |
Накопленные частоты |
160—165 |
3 |
3 |
165—170 |
7 |
10 |
170—175 |
16 |
26 |
175—180 |
10 |
36 |
180-185 |
9 |
45 |
185-190 |
3 |
48 |
190-195 |
2 |
50 |
ВСЕГО |
50 |
- |