Статфизика |
24 |
Распределение Ферми-Дирака и Бозе-Энштейна
1. Общие свойства ферми- и бозе-газов
На предыдущей лекции мы установили условия применимости распределения Больцмана:
N 2 2 3/2 1
V mkT
Если ввести число частиц в ед. объема n= NV
На основе этих соотношений легко получить оценку применимости классического описания многочастичной системы:
T T 0= |
h2 n2/3 |
(0) |
|
2 mk |
|||
|
|
а при температурах Т≤Т0 система частиц становится квантовой.
Квантовые частицы помимо волновых свойств обладают собственным (спиновым) механическим моментом. Его величина равна
s 1 s h ,
где спин s — целое (включая нуль) или полуцелое положительное число, определяемое природой частиц.
Состояние квантовой частицы данного типа определяется волновой функцией Ψ(x, у, z) и спиновым числом ms (характеризующим одно из возможных значений проекций спинового момента на фиксированную ось). Возможны 2s+1 состояний с заданной волновой функцией, отличающихся ориентацией спина.
В отсутствие магнитного поля энергия частицы не зависит от ориентации спина, поэтому наличие спина увеличивает число квантовых состояний с заданной энергией в 2s+1 раз. Т.е статистический вес уровня
gk=2s 1 .
Взависимости от того, является ли спин целым или полуцелым, частицы делятся на
два класса: фермионы и бозоны.
Требование антисимметрии волновой функции системы фермионов приводит к тому, что они удовлетворяют принципу Паули: в заданном квантовом состоянии может находиться не более одной частицы, т. е. число заполнения пк = 0; 1.
В каждом одночастичном состоянии бозе-газа может находиться любое число частиц: nk = 0, 1, 2, ..., N, где N — общее число частиц в системе.
Статфизика |
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
||
|
|
бозе-частицы, |
или ферми-частицы, или фермионы |
||
|
|
бозоны |
|
|
|
|
Спин |
целый |
полуцелый |
|
|
|
Частицы |
фотон (s=l), |
электроны, |
протоны, нейтроны |
|
|
|
π и k-мезоны (s = 0) |
(s = 1/2) |
|
|
|
Симметрия волновой симметрична |
антисимметрична |
|
||
|
функции |
|
|
|
|
|
относительно |
|
|
|
|
|
перестановки частиц |
|
пк = 0; 1 |
|
|
|
Число заполнения |
nk = 0, 1, 2, ..., N, |
|
|
|
|
|
где N — общее число по принципу Паули: в заданном |
|||
|
|
частиц в системе. |
квантовом |
состоянии |
может |
|
|
|
находиться |
не более |
одной |
|
|
|
частицы |
|
|
Спин сложной частицы определяется числом входящих в нее фермионов. Если это число четное (Н, Н2, Не4), то сложная частица является бозоном, если нечетное (D, HD) — фермионом.
В соответствии с этим существуют две квантовые статистики: статистика Бозе— Эйнштейна (для бозонов) и статистика Ферми — Дирака (для фермионов).
Найдем функции распределения по квантовым состояниям обоих классов частиц.
Для газа, находящегося в полном термодинамическом равновесии, можно написать свободную энергию, однако при учете тождественности частиц возникает трудность, связанная с перестановочной симметрией. По этой причине удобнее работать не при
заданном числе частиц, а при заданном химическом потенциале μ. В соответствии с этим производят вычисления не свободной энергии, а Ω-потенциала.
В общем случае:
N [ |
kT |
EN |
kT |
] |
|
||
=−T ln∑ exp |
|
N |
∑ exp |
|
−E N |
|
(1) |
|
|
|
|
|
|||
Полное число частиц N выражается через nk - числа заполнения одночастичных квантовых состояний. Для идеального газа полная энергия также представляется в виде суммы произведений тех же чисел заполнения на энергию одночастичных квантовых состояний:
N =∑ nk , |
E N =∑ k nk , |
(2) |
k |
k |
|
После подстановки (2) в (1) осуществляем переход к новым переменным суммирования nk. Оно означает независимое от полного числа частиц суммирование по числам заполнения одночастичных квантовых состояний отдельной частицы:
Статфизика
=−kT ln |
∑ |
|
|
|
|
[ |
|
∑ nk |
] |
|
[ |
−∑nk k |
] |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
exp |
|
|
k |
|
|
|
exp |
|
|
k |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
kT |
|
|
|
|
kT |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
n0, n1, ... , ns |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
−kT ln |
∑ |
|
|
∏k |
exp[nk kT−nk k ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
n1, ... ,ns |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
затем изменяем порядок суммирования и перемножения: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
||||
=−kT ln ∏ ∑ |
|
exp |
[ |
−nk k− |
] |
=−kT ln∏ ∑ |
|
|
exp |
[ |
−nk k |
] |
= |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
kT |
|
|
|
|
kT |
|
||||||||||||||||||||||
k |
nk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
nk |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−nk k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
−kT ∑ ln ∑ |
|
exp |
[ |
|
|
] |
=∑ k |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
k |
|
|
nk |
|
|
|
|
|
kT |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
26
(3)
где k= k − - энергия одночастичных состояний, отсчитанная от химического потенциала.
Таким образом, Большой термодинамический потенциал Ω идеального газа
распадается на сумму Ωk-потенциалов, относящихся к данному одночастичному квантовому состоянию.
2. Статистика Бозе
Для частиц с целым спином: s = 0 (4Не), s ~ 1 (фотоны), s = 2 (гравитоны) - числа заполнения могут быть произвольными: nk = 0,1,2...
Омега-потенциал получаем с помощью суммирования геометрической прогрессии. Ряд (4) сходиться если ξk>0. Это значит, что химический потенциал бозе газа не может быть больше наименьшего из энергетических уровней ε0
−∞ k 0
Если ряд расходиться – это означает невозможность термодинамического равновесия.
∞ |
|
|
−nk |
k |
|
[ |
|
k |
|
] |
|
k=−kT ln ∑ exp |
|
|
=kT ×ln |
1−exp − |
|
|
(5) |
||||
[ |
kT |
|
] |
kT |
|
||||||
nk=0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Формула (5) была получена с.о. Если введем знаменатель геометрический прогрессии q=exp[−kTk ]
то сумма геометрической прогрессии
1 q q2 ..... qn ..=1−1 q = 1−q −1
3. Статистика Ферми
Для частиц с полуцелым спином s=1/2 числа заполнения не могут превышать 1: nk=0,1
1 |
|
|
−nk |
k |
|
[ |
|
k |
|
] |
|
k=−kT ln ∑ exp |
|
|
=−kT ×ln 1 exp − |
|
(6) |
||||||
[ |
kT |
|
] |
kT |
|
||||||
nk=0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Статфизика |
27 |
Используя общее термодинамическое соотношение: d =−SdT − pdV −Nd (7)
находим уравнение для определения химического потенциала:
N = |
−∂ |
=∑k |
1 |
(8) |
∂ |
exp k /kT ±1 |
Верхний знак относится к статистике Ферми, а нижний - к статистике Бозе.
Уравнение состояния находим с помощью общего соотношения:
pV =− = kT |
1 |
(9) |
|
exp k /kT ±1 |
|||
∑k |
Система уравнений (8), (9) определяет уравнение состояния р = = p(V/N, T) в параметрической форме. Тепловые свойства определяются через теплоёмкость которую находим через производную от энтропии:
Теплоёмкость CV,N при заданном объёме и числе частиц выражается через теплоёмкость СVμ, при заданном объёме и химическом потенциале с помощью якобиана преобразования от переменных (T, N) к переменным. (T,μ) (при заданном объёме):
Учитывая соотношения
4. Сопоставление распределений Максвела Больцмана, БозеЭнштейна, Ферми-Дирака
Проведем сопоставление на примере среднего числа заполнения nk
Поскольку |
N =∑ nk |
, то из (8) следует |
|||||
|
|
|
|
|
k |
|
|
n |
= |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
k |
|
exp[ |
k − |
]±1 |
|
||
|
|
kT |
|
||||
эта функция описывает функции распределения Бозе-Энштейна и Ферми-Дирака, а если ее преобразовать к виду