Lektsii_predely_i_differentsirovanie

происходит изменение знака с минуса на плюс, то точка х -

точка минимума функции).

Теорема (достаточное условие экстремума с помощью первой и второй производной)

Если в точке х первая производная функции y=f(x) равна нулю (f´(x )=0), а вторая производная в точке х существует и отлична от нуля, то при f´´( х )<0 в точке х функция имеет максимум (а при f´´( х )>0 0 в точке х функция имеет

минимум).

Непрерывная функция может иметь экстремум лишь в точках, где производная функции равна нулю или не существует. Такие точки называются критическими.

Для исследования функции на экстремум, необходимо:

1.Найти критические точки функции y=f(x)

2.Исследовать знак производной f´(x) слева и справа от критических точек ( или исследовать знак второй производной в этих точках)

3.С помощью теорем о достаточном условии экстремума определить характер экстремума и вычислить его значение.

9.4. Выпуклость графика функции. Точки перегиба.

Определение: График функции называется выпуклым вниз (вогнутым) на интервале (a;b), если он расположен выше любой ее касательной на этом интервале; выпуклым вверх (выпуклым) на интервале (a;b), если он расположен

ниже любой ее касательной на этом интервале.

Точка, где меняется направление выпуклости, называется точкой перегиба.

Теорема:

Если функция y = f(x) во всех точках интервала (a;b) имеет

функции произвольную точку M с абсциссой x0 (a;b) и проведём через

M касательную .

Покажем, что график функции расположен ниже этой касательной. Для этого сравним в точке x (a;b) y кривой y = f(x) с ординатой yкас её

Разность f (c) f (x0 ) снова преобразуем по формуле Лагранжа:

f (с) f (x0 ) f (c1)(c x0 ) , где с1 лежит между x0 и с. Таким образом,

Итак, доказано, что во всех точках интервала (a;b) ордината

касательной больше ординаты графика, т. е. график функций выпуклый

вверх. Аналогично доказывается, что при f (x) 0 график выпуклый

вниз. Ч. т. д.

Теорема 9.6. (достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производная f′ ′ (x) при переходе через точку х0 , в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то эта точка есть точка перегиба.

9.5. Асимптоты графика функции.

Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой.

Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными.

1. Прямая х=а является вертикальной асимптотой графика функции

Если хотя бы один из пределов не существует или равен бесконечности, то кривая y=f(x) наклонной асимптоты не имеет.

Если k=0, то кривая имеет горизонтальную асимптоту y=b.

у

имеет вертикальную асимптоту х = - 1.

0

функции равен нулю).

2. Для определения типа функции найдем значение

не является ни четной, ни нечетной (общего вида).

3. Так как уравнение х2+1=0 не имеет действительных корней то график функции не имеет точек пересечения с осью Ох, но пересекает ось Оу в точке (0;-1).

Определим интервалы знакопостоянства функции:

4. Найдем асимптоты графика функции.

а). Исследуем поведение функции вблизи точки разрыва х=1:

Следовательно прямая х=1 является вертикальной асимптотой.

Из этого вытекает, что график функции имеет наклонную асимптоту

у=х+1.

5. Для нахождения точек возможного экстремума найдем производную

y'(x)=0 в точках х1 1 2; х2 1 2.

Получаем, что функция

возрастает на промежутках: ( ;1 2 и 1 2 ; )

убывает на промежутках: 1 2 ;1 и 1;1 2

xmin 1 2; y(1 2) 2 22

6. Для нахождения точек перегиба и интервалов выпуклости, вогнутости найдем вторую производную функции:

Так как у’’(х) в нуль не обращается, то критических точек нет.

Исследуем знак второй производной:

Следовательно

на интервале (-∞; 1) график направлен выпуклостью вверх (выпуклый),

ана интервале (1; +∞) – выпуклостью вниз (вогнутый).

ух 2 1

х1

y

х

4)функция непрерывна на ( , ) , точек разрыва нет;

5)вертикальных асимптот нет.

Наклонные асимптоты:

Следовательно, y=0 – горизонтальная асимптота; 6) исследуем функцию на возрастание и убывание.