Lektsii_predely_i_differentsirovanie

Производные и дифференциалы высших порядков

Определение. Второй производной, или производной второго порядка, называется производная от первой производной. Обозначается .

Для обозначения второй производной используются символы:

Определение. Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от первого дифференциала.

d 2 y d dy , т.к. dx x , то dx - постоянная по отношению к x .

d dy y'dx ' dx y" dx dx y"dx2 , т.е.

Замечание: Дифференциалы высших порядков свойством инвариантности не обладают.

Лекция №8

Теоремы о дифференцируемых функциях

Рассмотрим ряд теорем, имеющих большое теоретическое и прикладное значение

8.1. Теорема Ролля.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке a;b , дифференцируема на интервале a;b

и на концах отрезка принимает одинаковые значения f(a)= f(b), то найдётся, хотя бы одна точка c a;b , в которой производная f (x) обращается в нуль, т.е. f (c) 0.

Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на отрезке a;b , то она достигает на

этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений, соответственно, M и m.

Если m=M, то функция f(x) постоянна на a;b и, следовательно, её производная f (x) 0 в любой точке отрезка a;b .

Если M m , то функция достигает, хотя бы одно из значений M или m во внутренней

точке с интервала a;b , т. к. f(a)= f(b).

Пусть, например, функция принимает значение M в точке x c a;b , т. е. f(c)=M.

Тогда для всех x a;b выполняется соотношение

f (c) f (x).

Найдём производную f (x) в точке x c :

Она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: непрерывна на отрезке a;b и

дифференцируема на интервале a;b , т. к. является линейной комбинацией функций f(x) и

(x); на концах отрезка она принимает одинаковые значения F(b) F(a) 0 .

8.3. Теорема Лагранжа

Если функция f(x) непрерывна на отрезке a;b , дифференцируема на интервале a;b ,

то найдётся хотя бы одна точка c a;b , такая, что выполняется равенство:

f (b) f (a) f (c) b a .

Доказательство. Теорему Лагранжа можно рассматривать как частный случай теоремы Коши. Действительно, положив (x)= x, находим

Замечание: Полученную формулу

f (b) f (a) f (c) b a .

Называют формулой Лагранжа или формулой о конечном приращении:

аргумента, умноженному на значение производной функции в некоторой внутренней точке этого отрезка

Следствие 1 :Если производная функции равна нулю на некотором промежутке, то функция постоянна на этом промежутке.

Следствие 2: Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке, то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.

8.4. Правило Лопиталя

Ч.т.д.

8.5. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенности вида

Пусть f(x) и g(х) – функции, непрерывны и дифференцируемы в некоторой окрестности точки х0, за исключением быть может самой точки х0, и при х х0 обе эти функции стремятся к

отношения самих функций, причем, они равны, т.е.

Замечания:

1)теорема остается справедливой и в том случае, если х или х х0 0;

Лопиталя следует применить еще раз.

Примеры:

Вычислить пределы функций с помощью правила Лопиталя.

Лекция № 9

Исследование функции и построение графика

9.1. Возрастание и убывание функции.

х

f(x1)>f(x2).

Из этих определений вытекает, что

Таким образом, возрастание и убывание функции может быть охарактеризовано знаком ее производной, что устанавливает справедливость следующих теорем.

f (x) 0 ( f (x) 0) для x (a;b) , то эта функция возрастает (убывает)

т. е. функция f(x) возрастает на интервале (a;b) . Ч.т.д.

9.3. Экстремумы функции

Точки, в которых производная равна нулю, или не существует, называются критическими.

максимума и минимума называются точками экстремума функции.

Теорема ( необходимое условие экстремума функции):

Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет экстремум в точке х , то ее производная в этой точке равна нулю f´(x )=0.

Замечание: Геометрически этот факт означает, что в точке экстремума дифференцируемой функции y=f(x), касательная к ее графику параллельна оси ОХ.

Замечание: Обратная теорема неверна,

т.е. если f´(x )=0, то это не значит, что х -

точка экстремума. Например, для функции y=x³ ее производная y´=3x²равна нулю при х=0, но х=0 не является точкой экстремума, а является точкой перегиба

Теорема ( достаточное условие экстремума функции)

Если непрерывная функция y=f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки х и при переходе через нее (

слева на право) производная f´(x) меняет знак с плюса на минус, то х есть точка максимума функции (если же