Lektsii_predely_i_differentsirovanie

6.2. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью

Теорема : Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.

Доказательство: Пусть функция y=f(x) дифференцируема в

А это и означает, что функция y=f(x) непрерывна в точке x, ч.т.д.

Обратная теорема неверна: непрерывная функция может не иметь

производной. Примером такой функции является функция

Изображённая на рисунке функция не прерывна в точке x=0, но не дифференцируема в ней.

6.3. Геометрический смысл производной

Касательной к данной кривой в данной точке М называется предельное положение МТ секущей MN, проходящей

через точку М, когда вторая точка секущей N, неограниченно приближается по кривой к точке М.

Рассмотрим график непрерывной функции y=f(x). Пусть в точке x0 функция

имеет невертикальную касательную (предельное положение секущей). Найдем угловой коэффициент секущей k=tg , где - угол наклона

касательной к оси ОХ. Угловой коэффициент секущей

y' x0 tg - угловой коэффициент касательной.

Решение:

2.у/(х0) = у/( 2 ) = - 2.

3.у(х0) = у( 2 ) = 2 .

4.Тогда уравнения касательной и нормали имеют вид:

у- 2 = - 2(х - 2 ) 2х + у - 3 2 = 0 – искомое уравнение

касательной;

1

нормали.

6.4. Основные правила дифференцирования

1. Производная постоянной величины равна 0 .

Доказательство:

2.Производная суммы двух функций равна сумме производных.

u v ' u' v' .

Доказательство:

y u v , если u и v - дифференцируемые функции, то их алгебраическая

сумма дифференцируема.

y y u u v v .

y' u' v' .

3. Производная произведения двух функций:

u v ' u' v u v' .

Пример: Найти производную функции:

у = соsx ln2x.

y/ = (cosx)/ ln2x + cosx (ln2x)/ = - sinx ln2x + cosx 2lnx (lnx)/ =

-sinx ln2x +cosx 2lnx ( 1х ).

4.Производная частного:

Если u и v - дифференцируемые и v 0 , то

Пример: Найти производную функции:

Доказательство: Дадим x0 отличное от нуля приращение x , тогда z x

Правила дифференцирования:

1.С/ = 0

2.(CU)/ = CU

3.(U V)/ = U/ V/

4.(UV)/ = U/V + UV/

6.5. Производная обратной функции

6.8. Производная функции, заданной параметрически

Часто применяется способ задания функции, при котором текущие координаты являются функцией третьей переменной величины, параметра t:

Лекция № 7

Дифференциал функции

7.1. Понятие дифференциала

Пусть функция имеет в точке х отличную от нуля производную

. Тогда по теореме о связи функции, ее предела

и бесконечно малой функции, приращение функции можно записать:

y A x x

Обозначается: dy A x , или

Дифференциал dy называется также дифференциалом первого порядка .

Найдем дифференциал независимой переменной х, т.е. дифференциал функции y=x. Так как , то , т.е.

дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной. Поэтому

дифференциал функции равен произведению производной этой функции

дифференциал в точке х.

7.2.Геометрический смысл дифференциала

Выясним геометрический смысл дифференциала.

Для этого проведём к графику функции y=f(x) в точке M(x;y)

касательную MT и рассмотрим ординату этой касательной для точки x x

Сравнивая полученный результат с формулой

dy f (x) x,

получаем

y=f(x) в точке x равен приращению ординаты касательной графику функции

вэтой точке, когда x получит приращение x .

7.3.Приложение дифференциала к приближенным вычислениям

Т.к. y A x x dy x , где x - б.м.

То dy y f x0 x f x0

f x0 x f x0 f ' x0 x

Используя это равенство можно оценивать приближенное значение функции вблизи точек, в которых известно точное значение функций.

7.4.Свойства дифференциала функции

Производная как отношение дифференциалов. Пусть y x , тогда

4. d c u c du , c const

5. d u v du dv

7.5.Дифференциал сложной функции

Теорема: Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента (если обе функции дифференцируемы)

Доказательство:

y f x , пусть u x , y f u

По правилу диф. сложной функции:

yx' yu' ux' . Умножим на dx обе части:

dy yu' du

Замечание: здесь u - функция, а x - независимая переменная. Отсюда

следует свойство инвариантности дифференциала: Дифференциал равен произведению производной функции на дифференциал аргумента, при этом безразлично, является ли аргумент независимой переменной или функцией.

Таблица дифференциалов