Lektsii_predely_i_differentsirovanie

4.3. Второй замечательный предел. Число e.

Имеет место соотношение ( второй замечательный предел)

Число e– иррациональное (e ≈ 2,718…, более точное значение e ≈

2,7182818).

Показательная функция с основанием e называется экспоненциальной. . Для нее также применяется обозначение y=exp(x).

4.4. Примеры

Вычислить следующие пределы:

Решение. Выполнив преобразования и используя формулу (2), находим

4.Если A не существует, то x и x несравнимые б.м. функции.

5.Если A 1, то x и x эквивалентные б.м. при x a функции

4.6. Теоремы об эквивалентных бесконечно малых функциях

Теорема 1: Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой функцией.

Теорема 2: Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из них. Теорема 3. Сумма конечного числа бесконечно малых функций разного порядка эквивалентна слагаемому высшего порядка.

4.7. Таблица эквивалентных функций (при

sin x x; tgx x; arcsin x x; arctgx x; ln 1 x x;

x2

2

ex 1 x

a x 1 x ln a;

1 m n 1 mx

Лекция №5

Непрерывность функций

5.1. Непрерывность функции в точке

Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х0, если она определена в этой точке, существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е.

lim f (x) f (x0 ) .

x x0

Это равенство означает выполнение трех условий:

1)функция f(x) определена в точке х0 и ее окрестности;

2)функция f(x) имеет предел при х→х0 ;

3)предел функции в точке х0 равен значению функции в этой точке.

Т.к. , то

Другими словами, при нахождении предела непрерывной функции, можно перейти к пределу под знаком функции и вместо аргумента подставить его предельное значение.

Можно дать другое определение предела: пусть функция y=f(x) определена в некотором интервале (a,b) . и любого разность называется приращением аргумента в точке .

Разность соответствующих значений функции называется приращением функции и обозначается .

Т.е. для непрерывной функции бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

5.2. Непрерывность функции в интервале и на отрезке

Функция y=f(x) называется непрерывной в интервале (а;b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция y=f(x) называется непрерывной на отрезке *а;b], если она непрерывна в интервале (а;b) и в точке х=а непрерывна справа ( т.е.

5.3. Точки разрыва и их классификация

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Если х=х0 – точка разрыва, в ней не выполняется по крайней мере одно из условий определения непрерывности функции.

Все точки разрыва разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Определение: Точка разрыва х0 называется точкой разрыва первого рода функции y=f(x), если в этой точке существуют конечные пределы

функции слева и справа (односторонние пределы), т.е. lim f (x) А1 и

x x0 0

lim f (x) А2 .

x x0 0

При этом:

1) если А1=А2 , и f(x) , то точка х0 называется точкой устранимого разрыва;

2) если , то х0 называется точкой конечного разрыва, а величину называют скачком функции.

Точка разрыва х0 называется точкой разрыва второго рода функции y=f(x), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.

Пример1:

Исследовать функцию на непрерывность в точке х=2.

Решение:

Теорема 1: Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная(для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю)

Теорема 2: Если функция непрерывна в точке , а функция y=f(u)

непрерывна в точке Тогда сложная функция

непрерывна в точке .

Теорема 3: Если функция y=f(x) непрерывна и строго монотонна на отрезке оси ОХ, то обратная ей функция также монотонна и непрерывна на соответствующем отрезке оси ОУ.

Замечание 1: Все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях переменной х, при которых они определены.

Замечание 2: Функция, полученная из элементарных с помощью конечного числа арифметических действий и суперпозиций (операция взятия функции от функции) непрерывна при тех значениях аргумента, при которых она определена.

5.5. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теорема 1(Вейерштрасса): Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

Изображенная на рисунке функция принимает свое наибольшее значение М в точке , а наименьшее значение m в точке . Для любого значения имеет место неравенство: .

Теорема 2( БольцаноКоши): Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке и принимает на его концах неравные значения f(a)=A, и f(b)=B, то на этом отрезке она принимает все промежуточные значения между А и В.

найдется хотя бы одна точка с, в которой данная функция f(x) обращается в нуль : f( c)=0.

Данное утверждение лежит в основе метода «половинного деления», который используется для нахождения корня уравнения f(x)=0.

Метод половинного деления:

Для решения уравнения f(x)=0 с заданной точностью , необходимо :

1.Подобрать отрезок , такой, что на этом отрезке функция непрерывна и f(a)f(b)<0.

2.Вычислить

3.Если f(x)=0, то х- корень уравнения

4.Если , то если f(a), то b=x , иначе a=x

5.Если , то х найден, иначе идти на пункт 2.

Лекция № 6

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ