Lektsii_predely_i_differentsirovanie

2.2.Примеры

Решение. Подставив вместо n последовательно 1, 2, 3, 4, 5, получим

2. Написать общий член последовательности натуральных чисел, каждое из которых при делении на 3 дает остаток, равный 1.

Решение. Для того чтобы число при делении на-3 давало остаток 1, оно должно иметь вид 3n+1; следовательно, общий член последовательности xn =3n+1.

Решение. Зададим первый член последовательности: пусть x1 2 . Полагая

получаем последовательность 2, 7, 22, 67, 202, ... .

1

4. Доказать, что последовательность с общим членом xn = n 2 1

монотонно убывает.

натуральном п. Следовательно, данная последовательность является убывающей.

следовательно, 1+ n1 <2, т. е. последовательность ограничена сверху.

2.3. Предел числовой последовательности

Определение 1: Число a называется пределом последовательности

, если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется такое натуральное число N, зависящее от , что при всех п > N

находиться лишь конечное число членов. Последовательность может иметь только один предел.

Определение 2: Если последовательность имеет предел, то такую последовательность называют сходящейся; последовательность, не имеющую предела, называют расходящейся.

Если последовательность имеет пределом число а, то пишут

lim xn a . В этом случае говорят, что последовательность сходится к

n

числу а.

2.4. Теоремы о пределах

Теорема Вейерштрасса: Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Другими словами ограниченность последовательности является

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Теорема III. Если последовательности и сходятся и предел последовательности отличен от нуля, то

2.5. Предельный переход в неравенствах

Рассмотрим последовательности

выполняется неравенство , то .

2.6. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

Последовательность называется бесконечно малой, если её предел равен нулю. Иными словами, последовательность называется

Последовательность называется бесконечно большой, если для любого М >0 найдётся такое натуральное число N, что при п N выполняется

неравенство an M , В этом случае пишут lim an

n

Если все числа an , начиная с некоторого номера N, отрицательны, то

последовательность стремится к – : lim an .

n

Решение. Согласно определению, число 5 является пределом последовательности , если для любого 0 можно указать такой

номер N, что для всех членов последовательности с номерами п>N будет выполнено неравенство

Пусть задано произвольное положительное число ; тогда из

последнего неравенства получим

Решив это неравенство относительно n, находим n 5 1.

Итак, если в качестве N взять любое натуральное число, не меньшее

5 1, то при всех п>N для любого 0 будет выполнено неравенство

т. е. x500 5 0,01. Таким образом, все члены последовательности,

начиная с 500-го, находятся в – окрестности числа 5, т. е., в интервале (4,99; 5,01). Аналогичным образом для любого заданного числа 0

можно найти номер N, начиная с которого все члены последовательности попадут в – окрестность числа 5.

Пример 7: Доказать, что последовательность xn n является

расходящейся.

натуральное число N превосходит а: N > а. При любом п > N имеем

xn a n a n a n N 1,

что противоречит определению предела, так как при всех 1 должно выполняться неравенство xn a .

Вычислите пределы следующих последовательностей:

Решение. 1) Числитель и знаменатель не имеют предела, так как это неограниченные последовательности; следовательно, теорему о пределе частного непосредственно применить нельзя. Разделив числитель и знаменатель на n и применив затем теорему о пределе частного, получим

Примеры:

1.Написать первые четыре члена последовательности , если

2.Какая из следующих последовательностей ограничена?

a.2,4,6,8,….

b.-1,-4,-9,-16,…

c.1/3, 1/9, 1/27, 1/81,…

d.-2, 4, -8, 16,…

3.Вычислить предел последовательности:

5. Вычислить предел последовательности:

Ответы:

1.

2. 1/3, 1/9, 1/27, 1/81,…

3.

5. =

Лекция № 3

Предел функции

3.1.Определение предела функции

Число А называется пределом функции f(x) в точке a (или при x a ), если

для любой последовательности допустимых значений аргумента , сходящейся к a, (т.е. ), последовательность соответствующих значений функции сходится к числу А(т.е. ).

Заметим, что для существования предела функции в точке a вовсе не требуется, чтобы функция f x была непременно определена в точке a. Для того чтобы функция f x стремилась к пределу при x a ,

необходимо лишь, чтобы в области её определения были точки, как угодно близкие к a и отличные от a.

Заметим, что вычислить предел функции, используя только определение, довольно сложно. На практике обычно пользуются теоремами о пределах, которые приведены ниже.

Интервал a , a называется – окрестностью точки а. Пользуясь этим названием, дадим определение предел функции f x при х стремящемся к а (или в точке в а): Если для любого числа 0 существует

На рис. видно, что при приближении точки x к значению а, значения функции приближаются к числу А. Естественно считать, что число А – предел функции f x

при x, стремящемся к а.

3.2. Односторонние пределы:

Если число A1 есть предел функции y f x при х стремящемся к а так,

Если число A2 есть предел функции y f x при х стремящемся к а так,

3.3. Бесконечно малые функции

Функция f x называется бесконечно малой при x a , если

lim f x 0 .

x a

3.4. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций:

1.Произведение ограниченной при x a функции на б.м. при x a , есть функция б.м. при x a .

2. Произведение конечного числа б.м. при x a функции есть б.м. при x a функция.

3.Произведение постоянной на б.м. при x a функцию есть б.м. при x a

функция.

Определение: Функция f x называется бесконечно большой при x a ,

3.5. Теорема о единственности предела

Теорема: Если функция f x имеет предел при , то этот предел

единственный.

Доказательство:

Выберем min 1; 2 . Тогда при всех х, удовлетворяющих условию: x a , выполняется (1) и (2).