Lektsii_predely_i_differentsirovanie

A B.

3.6. Связь между функцией, ее пределом и

бесконечно малой функцией

Между бесконечно малой функцией и функцией, имеющей конечный предел, существует следующая зависимость.

Теорема: Если функция f x имеет конечный предел при x a , то ее

можно представить в виде суммы постоянной и бесконечно малой

в виде суммы постоянной и бесконечно малой функции при x a , то эта функция имеет конечный предел при x a , и этот предел равен

значению постоянной, т.е. если то f(x)=A + (x), где (x) – бесконечно

малая функция, то lim f x A .

X a

3.7. Теоремы о пределах

Теорема I. Если существуют пределы функций f x и x при x a , то

существует также и предел их суммы, равный сумме пределов функций

Теорема II. Если существуют пределы функций f x и x при x a ,

то существует также и предел их произведения, равный произведению

Теорема III. Если существуют пределы функций f x и x при x a и предел функции x отличен от нуля, то существует также предел

3.8.Следствия

1.Постоянный множитель можно вынести за знак предела:

при x a равен значению этой функции при х=а, если а принадлежит

области определения функции, т. е.lim R x R a .

x a

3.9. Теорема о пределе промежуточной функции

Теорема (о пределе промежуточной функции). Если функция f(x) заключена между функциями (x) и g(x), стремящимися к одному и тому

же пределу, то она также стремится к этому пределу, т.е. если

выполняются оба неравенства . И из условия

(x) A f (x) A g(x) A.

Теорему о пределе промежуточной функции иногда шутливо называют «принципом двух милиционеров». Роль «милиционеров» играют функции (x) и g(x), функция f(x) «следует за милиционерами».

3.10. Теорема о пределе монотонной функции

Теорема^ Если функция f(x) монотонна и ограничена при x x0 (или

3.11. Некоторые обозначения

При вычислении предела функции могут возникнуть ситуации, которые описываются с помощью следующих обозначений:

– бесконечно малая величина,

∞ - бесконечно большая величина,

С – константа

Могут возникнуть неопределенности, которые требуют раскрытия:

Примеры

Пример 1. Вычислить lim 5x3 6x2 x 5 .

x 2

Решение. По правилу нахождения предела многочлена находим

Решение. Так как при x 2 знаменатель дроби отличен от нуля, то по

правилу нахождения предела дробно-рациональной функции получим

Решение. Здесь пределы числителя и знаменателя при x 0 равны

нулю. Непосредственной подстановкой вместо аргумента его предельного значения вычислить предел нельзя, так как при x 0 получается

отношение двух бесконечно малых величин.

Разложим числитель и знаменатель на множители, чтобы сократить дробь на общий множитель, стремящийся к нулю, и следовательно, сделать возможным применение теоремы III. Нужно иметь в виду, что здесь не производится сокращение на нуль, что недопустимо, По определению предела функции аргумент х стремится к своему предельному значению, никогда не принимая этого значения; поэтому до перехода к пределу можно произвести сокращение на множитель, стремящийся к нулю. Имеем:

Пример 5: Вычислить lim x2 5x 6 .

x 3 3x2 9x

Решение. Пределы числителя и знаменателя при x 3 равны нулю:

Разложим квадратный трёхчлен в числителе на линейные множители по формуле ax2 bx c a x x1 x x2 ,где x1 и x2 — корни трёхчлена.

Разложив на множители и знаменатель, сократим дробь на x 3 . Используя

следствие 4, получим

двух бесконечно больших величин. Выполнив вычитание дробей, получим

Решение. При x знаменатель 4x 1 неограниченно растёт, т.е.

ограниченную величину (постоянная—частный случай ограниченной величины) есть величина бесконечно малая, и предел её при x равен

Решение. При x числитель и знаменатель—величины бесконечно

большие. Поэтому при непосредственном применении теоремы III получаем выражение / , которое представляет собой неопределённость. Для

вычисления предела этой функции нужно числитель и знаменатель разделить на x :

следовательно, их пределы равны нулю).

Решение. Разделим числитель и знаменатель на наивысшую степень аргумента в знаменателе, т.е. на x 4 :

После сокращения в числители величина ограниченная, в знаменателе величина бесконечно малая, следовательно, пределом является величина бесконечно большая.

Решение. При x данная функция представляет собой разность двух бесконечно больших величин . Умножив и разделив функцию на

выражение x x 2 4x, получим

Лекция № 4 Первый и второй замечательные пределы

4.1.Теорема (первый замечательный предел)

lim sin x 1

x 0 x

Покажем

4.2. Примеры

Вычислить следующие пределы:

Решение. Очевидно, что при x→π/2 числитель и знаменатель дроби стремиться к нулю. Разложив числитель и знаменатель на множители и сократив дробь на 1 sin x, получим

2. lim sin 4x .

x 0 3x

Решение. Преобразуя заданное выражение и используя первый замечательный предел, получим

3. lim sin 3 2x .

x 0 x

3