Численные методы Методические материалы

Приближенным решением будут значения

yh / 2

, i 0,1,..., n .

i

Пример 2. Применим первый модифицированный метод Эйлера для ре-

t y

(2t / y),

y 0 1, рассмотренной ранее в пре-

шения задачи Коши y

дыдущем примере. Возьмем шаг

h 0, 2.

Тогда

n

1 0

5,

и расчетная

0, 2

формула

первого

модифицированного

метода

Эйлера

имеет вид:

yi 1 yi

hfi 1/ 2

yi

0, 2fi 1/ 2 , где

f

f t

,

y

y

2ti 1/ 2

, t

t

h / 2 t

0,1,

1

i 1/ 2

i 1/ 2

i 1/ 2

yi 1/ 2

i 1/ 2

i

i

i

2

h

f ti

, yi yi

2ti

0,

y0 1, i 0,1,..., 4.

yi 1/ 2

yi

0,1 yi

, t0

yi

2

Решение представим в виде таблицы 7.

Таблица 7

i

ti

yi

(h / 2)f ti , yi

ti 1/ 2

yi 1/ 2

h fi 1/ 2

0

0

1

0,1

0,1

1,1

0,1836

1

0,2

1,1836

0,0850

0,3

1,2682

0,1590

2

0,4

1,3426

0,0747

0,5

1,4173

1,1424

3

0,6

1,4850

0,0677

0,7

1,5527

0,1302

4

0,8

1,6152

0,0625

0,9

1,6777

0,121

5

1

1,7362

Третий столбец таблицы 3 содержит приближенное

решение

yi , i = 0, 1,..., 5. Сравнивая полученное приближенное решение с

точным

решением, представленном в таблице 2, видим, что погрешность составляет

R max

y ti yi

0,0042 .

0 k 5

y

y

h

f

t , y

f t

, y

y

0,1 f t , y f

t

, y

,

i 1

i

2

i i

i 1

i 1

i

i

i

i 1

i 1

где

f t

, y

y

2ti

, y

y

hf t

, y

y

0,1 y

2ti

,

t

0,

i

i 1

i

i

i

0

i

i

yi

i

i

yi

y0 1, i 0,1,...,4 .

Решение представим в виде таблицы 8.

Таблица 8

i

ti

yi

(h / 2)f ti , yi

ti

1

yi

1

f ti 1, yi 1

0

0

1

0,1

0,2

1,2

0,867

1

0,2

1,1867

0,0850

0,4

1,3566

0,767

2

0,4

1,3484

0,0755

0,6

1,4993

0,699

3

0,6

1,4938

0,0690

0,8

1,6180

0,651

4

0,8

1,6272

0,0645

1

1,7569

0,618

5

1

1,7542

вариант метода Рунге – Кутта.

Рассмотрим

задачу

Коши

для

дифференциального

уравнения

t f t, y

t с начальным условием y t0 y0 .

y

Как и в методе Эйлера, выберем шаг h

T t0

и построим сетку с систе-

n

мой узлов ti t0

ih, i 0,1,..., n .

Обозначим через yi приближенное значение искомого решения в точке ti .

Приведем расчетные формулы метода Рунге – Кутта четвертого по-

рядка точности:

yi 1 yi (1/ 6)h k1i

2ki2 2ki3 ki4

, k1i f ti , yi ,

ki2

f ti

h / 2, yi (h / 2)k1i ,

ki3 f ti h / 2, yi (h / 2)ki2

,

ki4

f ti

h, yi hki3 , i = 0, 1,..., n .

Таблица 9

ti

yi

i

ti

yi

i

0

1

0,6

1,43333

5 10 7

0,1

1,01005

10-9

0,7

1,63232

2 10 6

0,2

1,04081

4 10 9

0,8

1,89648

3 10 6

0,3

1,09417

2 10 9

0,9

2,2479

6 10 6

0,4

1,17351

6 10 8

1

2,71827

2 10 5

0,5

1,28403

2 10 7

7.5 РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО

УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА МЕТОДОМ ПРОГОНКИ

Пусть

на отрезке a, b требуется

найти

решение

дифференциального

уравнения:

(1)

y p(x)y q(x)y f (x) ,

удовлетворяющее следующим краевым условиям:

0y(a) 1y (a) A;

0y(b) 1y (b) B ;

(2)

0

1

0;

0

1

0

Численное решение задачи состоит в нахождении приближенных значений

y0 , y1,..., yn

искомого решения y(x) в точках x0 , x1,..., xn . Для этого разо-

бьем отрезок

a, b на

n равных

частей с шагом

h

b a

.

Полагая

x0 a; xn b i 0,1,...., n

n

xi x0 ih ,

и

вводя обозначения

p(xi ) pi , q(xi ) qi ,

f (xi ) fi ,

y(xi ) yi

для

внутренних

точек

x xi (i 1,2,...,n 1)

отрезка a, b , вместо дифференциального уравнения

yi 1 2yi yi 1

p

yi 1 yi 1

q

y

i

f

,

i 1, 2,....n 1

h2

i

2h

i

i

y1

y0

yn 1

yn

y

0

A,

0

y

n

B.

0

1

h

1

h

После соответствующих преобразований будем иметь

yi 1

mi yi

ni yi 1

ˆ

2

,

i

1, 2,..., n 1 ,

(3)

fih

где

2 qih

2

1

pi

h

ˆ

fi

2

mi

,

ni

,

fi

.

1

pi

1

pi

1

pi

h

h

h

2

2

2

Полученная система имеет

(n 1) линейных уравнений с

(n 1)

неиз-

вестными. Решим эту систему методом прогонки.

Решая уравнение (3) относительно yi , будем иметь

1

ˆ

2

i 1, 2,...., n 1 .

ci

, di fih

nici 1di 1

,

mi nici 1

Из формулы (4) при i 0 имеем

y0 c0 (d0 y1).

(6)

Поэтому

c0

1

, d0

Ah

.

(7)

0h

1

1

На основании формул (6) и (7) последовательно определяются коэффици-

енты сi ,di i 1, 2,..., n 1

до

cn 1

и dn 1

включительно (прямой ход).

Обратный ход начинается с определения yn . Решая систему

0

y

n

yn 1 yn

B, y

n 1

c

n 1

d

n 1

y

n

,

1

h

получим

yn

Bh 1cn 1dn 1

0h 1 cn 1 1

и по формуле (4) последовательно находим yn 1, yn 2 ,..., y0 .

Для простейших

краевых

условий y(a) A, y(b) B

формулы для

c0 ,d0 , y0 и yn

упрощаются. Полагая 0 1, 1 0, 0 1, 1 0, полу-

чим c0 0; d0 , c0d0 A .

1

ˆ

2

Отсюда c1

, d1 f1h

n1A, yn B, y0

A .

m1

ˆ

2

i 1, 2,..., n 1 ;

yi 1 mi yi ni yi 1 fih

y0 0;

y10 0;

mi 2 h

2

ˆ

xi ih ;

, ni 1; fi

1

ˆ

2

c1

m1

0,498; d1 f1h

n1A

0,001;

с

1

; d

ih 3 c

d

1

i 1, 2,..., n 1 .

i

i

2

h 2

ci 1

i 1 i

и di i 1,2,...,9 записываем в первых двух

Найденные значения ci

строках

таблицы. Используя

известное

значение y10 0, вычислим

y9 , y8,...y1

и запишем в таблицу. Для значения в последней строке даны зна-

~

2e

чения точного решения y

shx x .

e2 1

Таблица 10

i

0

1

2

3

4

5

сi

0

-0,498

-0,662

-0,878

-0,890

-0,900

di

0,001

0,002

0,004

0,008

0,012

xi

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

yi

0

-0,025

-0,049

-0,072

-0,078

-0,081

~

0

-0,015

-0,029

-0,041

-0,050

-0,057

yi

i

6

7

8

9

10

сi

-0,908

-0,915

-0,921

-0,926

di

0,16

0,022

0,028

0,035

xi

0,6

0,7

0,8

0,9

1

yi

-0,078

-0,070

-0,055

-0,032

0

~

-0,058

-0,054

-0,044

-0,026

0

yi

1

2x 5x 3 0

8

sin x / 3 0,5x 0

2

3x 4x3 12x2 5 0

9

5x 3x 0

3

0,5

x

1 x

2

2

10

x

4

x 1 0

4

x 3 cos x 1, 2 x 2

11

x2 2 0,5x 0

5

arctg x 1/ 3x

3

0

12

x 1

2

lg x 11 1

6

2x3 9x2

60x 1 0

13

2x sin x 0, 25

7

log2 x

x 2 1

14

x3

3x2 10 0

1

3

8

x

3

3x 1 0

ln x x 1 0

2

x3 3x2 9x 15 0

9

3x cos x 1 0

3

x3 2x2 2 0

10

x3 x 3 0

4

x 2x 1

11

x lg x 0,5

5

12

x3 0, 4x2 0,6x 1,6 0

x 1 1/ x

6

x3 2x 2 0

13

2 x 2 0

7

x cos x 0

14

x3 0, 2x2 0, 4x 1, 4 0

3. Решить уравнение методом хорд и касательных и видоизменѐнным

Ньютона с точностью 0,00001.

1

2 0,1x ln x

8

2x lg x 7

2

x3 0,1x2

0, 4x 2 0

9

x3 3x2 6x 5 0

3

2 x ex

0

10

5x 8ln x 8

4

x3 3x2 12x 3 0

11

x3 0, 2x2 0,5x 1,7 0