Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кубанский государственный технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Численные методы Методические материалы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.05.2015

Размер:

2.09 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

4) Для поиска последовательных приближений используют формулы:

				k 1			cos y	k	/ 3 0,3,
			x				cos y		/ 3 0,3,
							sin xk		0,6 1,6.
			yk 1				sin xk		0,6 1,6.

Выберем следующие начальные значения: x0 0,15,											y0 2 .

xn	0,15	0,1616				0,1508			0,1539	0,1510	0,1519	0,1510
yn	-2	-2,035				-2,0245		-0,0342		-2,0313	-2,0341	-2,0333

Поскольку max			x5 x		6		y5 y6	, то		x 0,151 и y 2,033.
Поскольку max			x5 x		6	,	y5 y6	, то		x 0,151 и y 2,033.

3.4. МЕТОД СКОРЕЙШЕГО СПУСКА РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Сущность метода скорейшего спуска заключается в том, что искомое решение системы fi x1, x2,....xn 0, i 1, 2,..., n рассматривается как ми-

нимум некоторой функции U в n -мерном пространстве x1,..., xn , и этот

минимум ищется в направлении, противоположном направлению градиента функции U , то есть в направлении скорейшего убывания этой функции. Фун-

ция U связана с функциями fi исходной системы соотношениями:

U	x1,...,
Пусть точка x	(0)	, x	(0)
	1		2

,...., x

(0) n

n					2
n	f		x , ...,		.
	f		x , ...,	x	.
i 1		i	1	n

является начальным приближением к

искомому	решению.	Через эту точку проводится	поверхность		уровня
U U x(0)	, x(0) ,...., x	(0) , а также нормаль к данной поверхности,			которая
1	2	n
указывает направление скорейшего убывания функции			U . Точка, в которой
нормаль касается новой поверхности уровня U U x(1)			, x(0)	,...., x(1)	, будет
		1	2	n

следующим приближением к исходному решению. Нормаль, проведенная к
этой поверхности через точку x					(1) , x(1) ,...., x(1)			, даѐт возможность дойти до
точки x(2) , x		,...., x(2) ,			1	2	n
точки x(2) , x	(2)	,...., x(2) ,		в которой нормаль касается какой-то другой по-
1	2		n			, и т. д.
верхности U U x(2)			, x(2)	,...., x(2)		, и т. д.
		1	2		n			U x(k)		,...., x(k) ,
Так как	U	x(k 1) , x(k 1)			,...., x(k 1)			U x(k)	, x(k)	,...., x(k) ,	где
		1	2			n		1	2	n	(0) ,
k 0,1,2,...,		то	последовательность				точек		x(0) , x(0) ,...., x		(0) ,
									1	2	n

x1(1) , x(21) ,...., x(n1) , x1(2) , x(22) ,...., x(n2) … приведет к минимальному значе-

нию функции U , т. е. к искомому решению исходной системы. Последовательные приближения определяются из матричного равенства

x(k 1) x(k) k U(x(k) ) , где через x (k) обозначен вектор в n -мерном пространстве, указывающий координаты точки x1(k) , x(2k) ,...., x(nk) , т. е. значение k -го приближения; – параметр, характеризующий изменение функции

Uвдоль соответствующей нормали, U – градиент функции U в точке x (k) .

Вобщем случае параметр может быть найден из уравнения:

	d	U x(k) U x(k) 0,	(1)
	d
где U( ) U x(k) U(x(k) ) 0 – скалярная функция,			определяющая

изменение функции U . При этом берется наименьший положительный корень уравнения (1).

Если считают малой величиной и не учитывают членов, содержащих во второй и высших степенях, то приближенно искомое решение можно найти

x(k 1)

x(k)

Wт

(k)

(k 0,1,...) ,

из

матричных

равенств

(k)

(k) , W W т

2 k

W W т

0,1,... , где

(k) , W W т

(k)

(x (k) ,..., x (k) )

(k)

,..., x

)

f (x

)

...

(k)

(x1

,..., x n

)

		f (x(k) )			f (x(k) )
		1	...			1
		x1	...			xn
	W x(k)	x1				xn
W	W x(k)	.................................					,
k
		fn (x(k) )
		fn (x(k) )		...		fn (x(k) )
		x1		...		xn
		x1				xn

		n	f (x(k) )				fi (x(k) )
				1			fi (x(k) )
				x1
				x1
W тf (k) W т x(k) f x(k) i 1								.
k		n	fn (x		(k)
			fn (x			) fi (x(k) )
	i 1			x n

Важным достоинством метода скорейшего спуска является его неизбежная сходимость. Поэтому его рекомендуется применять для уточнения решения в тех случаях, когда другие итерационные методы расходятся.

Пример. Методом скорейшего спуска приближенно вычислить корни сис-

	2	5xy 6
x		5xy 6
темы:		2		2
		2	y	2	9.
2x			y		9.
Решение. Пусть x(0)						0,5
Решение. Пусть x(0)							.
						3

x 2	5xy 6					2x 5y		5x
Здесь f					и	W		.
	2	y	2				4x	2y
2x		y		9

Подставляя нулевое приближение, будем иметь
f (0)	1,25	, W	14	15	, W т	14	2	,
		0			0		6
	0,5		2	6		15	6

W0т f (0)	14	2 1,25		18,5
W0т f (0)		6			,
	15	6	0,5	15,75

W Wт			f (0) 14			15 18,5			495,25 ,
0	0
					2	6 15,75			57,5
					f (0) , W Wтf (0)					1,25 495,25 ( 0,5) 57,5
					0		o
0		W Wт f (0) , W Wт f (0)
0		W Wт f (0) , W Wт f (0)										495,252 57,52
			0		0	0		0
			590,312 5				0,002 374 75,

				248 578,812 5
	0,5							18,5			0,4560
x(1)					0,002 374 75							.
	3							15,75				3,0374
					0,8
Вычислим f (1)								.
					0,6187

Аналогично найдем второе приближение														1,852 ,
W			14,2315		2,315 ,			W т			14,2315			1,852 ,
1					6,063				1					6,063
			1,852		6,063						2,315			6,063
	W тf (1)			12,531		,	W W			тf	(1) 191,3			,
			1					1	1
					5,603						57,178
		0,8 191,3 0,6187 57,178									188,416	0,004.
												0,004.
1			191,32 57,1782								39 865
			191,32 57,1782								39 865
Тогда x(2)				0,456			0,004			12,531			0,412 876
Тогда x(2)							0,004								.
				3,0374						5,603			3,009 08

Для контроля вычислим невязку: f (2)	0,04	и так далее.


	0,3954

Получаем решение системы:

x(5) 0,4201 y(5) 2,9406.

3.5. МЕТОД СКОРЕЙШЕГО СПУСКА ДЛЯ СЛУЧАЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ

Рассмотрим систему линейных уравнений:

	n
f1 a1jx j b1 0
	j 1
	n
f	2 a2 jx j b2 0
	j 1
.................................

	n
fn anjx j bn 0
	j 1

действительной

матрицей A

столбцом

свободных

членов

aij

b b

. Тогда

f Ax b

. И исходная система имеет вид:

x k 1

x k

AT r ,

где

Ax k

–

невязка

вектора

x p

rk , AAT rk

AAT rk , AAT rk

Соответственно, окончательно имеем:

x k 1 x k rk , AAT rk AT rk . AAT rk , AAT rk

Пример. Методом скорейшего случая решить систему уравнений:

8x1 x2 2x3 2,3

10x2 x3 2x4 0,5x1 6x3 2x4 11, 2

3x1 x2 2x3 12x4 3,7

Решение. В качестве начального приближения выберем x 0,3; 0,05; 0, 2; 0,3 T .

							8		1	2	0				0,3					2,3			0,55

Тогда r	Ax		b				0 10			1	2		0,05						0,5				0, 4	,
0
0							1		0	6	2		0, 2						1, 2				0,3
							1		0	6	2		0, 2						1, 2				0,3
							3		1	2	12				0,3				3,7				0, 45
						8	0		1	3		0,55				5, 45

	AT r				1 10				0	1			0, 4					3,0		,
	0				2		1		6	2			0,3					2,0
	0

						0	2		2	12		0,345						6,8
						8	1		2	0			5, 45					36,6
						0	10		1	2			3,0					45,6
	AAT r					0	10		1	2			3,0					45,6			.
		0				1	0		6	2			2,0				20,15
		0

						3	1		2	12			6,8				98,95
Вычисляя коэффициент 0 , получим: 0															r0 , AAT r0							0,006532.

														AAT r0 , AAT r0
Отсюда	x 1		x					ATr 0, 264; 0,0696; 0, 2131; 0, 2556																T ,
							0		0
причем невязка r 1		0,3109; 0,1020; 0,1684; 0,1966 T .																			Аналогично вы-
числяя, получим: x 4				0, 2266; 0,0792; 0, 2379; 0, 2875 T ;

r 4 0,0680; 0,0354; 0,1211; 0,0334 T ;

x 5 0, 2228; 0,0810; 0, 2430; 0, 2823 T ;

r 5 0,0493; 0,0013; 0,0839; 0,0493 T .

Процесс скорейшего случая для линейных систем сходится медленно. Так, здесь точное решение: x1 0, 2 ; x2 0,1; x3 0,3; x4 0,3.

4.ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

4.1.МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Винженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично

xi , yi , i 0,1, 2,..., n , где n – об-

щее количество точек. Как правило, эти табличные данные получены экспериментально и имеют погрешности.

Рис. 12

При аппроксимации желательно получить относительно простую функциональную зависимость (например, многочлен), которая позволила бы «сгладить» экспериментальные погрешности, вычислить значения функции в точках, не содержащихся в исходной таблице.

Эта функциональная зависимость должна с достаточной точностью соответствовать исходной табличной зависимости. В качестве критерия точности чаще всего используют критерий наименьших квадратов, т.е. определяют та-

Матрица ной.

n
кую функциональную зависимость f x , при которой S yi	fi 2 обра-
i 1
щается в минимум. Погрешность приближения оценивается	величиной


(1/ n)S . В качестве функциональной зависимости рассмотрим многочлен
P x a	0	a	x a	2	x2 ... a	m		xm . Формула минимизируемой функции
m	0	1		2		m
			n		Pm xi		2
			n
примет вид S yi								. Условия минимума S можно записать, при-

i 1

равнивая нулю частные производные S по всем переменным, a0 ,a1,a2 ,..., am . Получим систему уравнений

... a

xk 0

или

i 1

... a

xk 0, k 0,1,..., m .

i 1

Эту систему уравнений перепишем в следующем виде:

a0 xik a1 xik 1 ... am

xik m

yi xik , k 0,1,..., m .

i 1

Введем обозначения: ck xik ,

bk yi xik . Последняя система может

i 1

быть записана так: a0ck a1ck 1

... ck mam bk ,

k 0,1,..., m .

Еѐ можно переписать в развернутом виде:

c a

... c

c1a0

c2a1 c3a2

... cm 1am b1

...................................................

m 2

... c

m 1 1

Матричная запись системы имеет следующий вид: Ca b. Для определе-

ния коэффициентов ak ,

k 0,1,..., m , и, следовательно,

искомого многочлена,

необходимо вычислить суммы ck , bk и решить последнюю систему уравнений. c этой системы является симметричной и положительно определен-

Погрешность приближения в соответствии с исходной формулой составит

	n
	1/ n yi Pm xi 2 . Рассмотрим частные случаи m 1 и m 2.
	i 1

Квадратичная аппроксимация

Линейная аппроксимация m 1 .

P1 x a0 a1x .

c0 xi0 n; c1 xi ; c2 xi2 ; ; b0

yi ; b1 yi xi .

i 1

, b b0 , b1

i 1

yi ,

yi xi

xi2

i 1

Отсюда система для нахождения коэффициентов a0 и a1 имеет вид:

				n					n
n a		0		xi a1			yi
			i 1					i 1
	n					n			n	.
	n					n			n
	ai a0					xi		a1	xi yi
									i 1
i 1					i 1				i 1

Еѐ можно решить методом Крамера.

m 2 .

P2 x a0 a1x a2 x2 .

c0 xi0 n; c1 xi ; c2 xi2 ; c3 xi3; c4 xi4 .

i 1

b0 yi ; b1 yi xi ; b2

yi xi2 .

i 1

c c c

, b b

, b , b

T .

Или в развѐрнутом виде

n a0

xi2

yi ,

i 1

xi2

xi3

xi yi ,

i 1

xi2 a0 x3i

xi4 a2 xi y2 .

i 1

Решение системы уравнений Ca b находится по правилу Крамера.

Пример. Построим по методу наименьших квадратов многочлены первой и второй степени и оценим степень приближения. Значения yi в точках xi , i 0,1,2,3,4 приведены в следующей таблице.

i	1	2	3	4	5
xi	1	2	3	4	5
yi	-1	1	2	4	6

Вычислим коэффициенты c0 , c1, c2 , c3 , c4 , b0 , b1, b2 по формулам для линейной и квадратичной аппроксимация c0 5; c1 15; c2 55; c3 225;

c4 979 ; b0 12; b1 53; b2 235.

Для линейной аппроксимации система уравнений определения коэффициентов a0 и a1 многочлена первой степени P2 x a0 a1x имеет вид:

5a0 15a1 12

15a0 55a1 53 .

Решая эту систему, получим:

				a				b0c2 b1c1									2,7, a						b1c0 b0c1							1,7 .
				a	0												2,7, a				1									1,7 .
					0					c	c		c2								1		c		c		c2
										c	c	2	c2										c		c	2	c2
										0		2		1										0		2	1
											P1		x a0 a1x 2,7 1,7x .
Для квадратичной аппроксимации система уравнений определения коэф-
фициентов a		0	, a			1	и			a	2	многочлена второй степени P																x a			0	a	x a	2	x2
		0				1					2																2				0	1		2
имеет вид:
												5a0 15a1 55a2										12
																55a1 225a2							53 .
												15a0				55a1 225a2							53 .
												55a			0	225a			1	979a			2	235
															0				1				2
И коэффициенты равны:
a0	2, 20; a1									1, 27; a2							0,07. Тогда
P	x a			0	a				x a				2	x2	2, 20 1, 27x 0,07x2 .
2				0			1						2
Сравним значения, рассчитанные для функциональной зависимости, с ис-
ходными данными. Результаты приведены в табл. 3.
																											Таблица 3

							i								0			1				2					3		4
							xi								1			2				3					4		5

							yi							-1				1				2					4		6
					P1 xi									-1				0,7				2,4					4,1		5,8

					P2 xi									-1				0,62				2,24					4		6,9

Погрешность приближения в соответствии с исходными формулами соста-

вит:

	4		1		yi	P1 xi 2
1							0, 245 .
			5
		i 0

	4			1	yi	P2 xi 2
2							0,084 .

		i 0	5

4.2. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ МНОГОЧЛЕНОВ

Пусть на отрезке a, в в некоторой последовательности (n 1) узлов x0 , x1,..., xn задана функция y f (x) своими значениями y0 , y1,..., yn , где yi f (xi ). Задача алгебраического интерполирования состоит в построении

многочлена Pn (x) a0x4 a1xn 1 ... a n степени n , удовлетворяющего

условию интерполирования: Pn (xi ) f (xi ), i 0, n .

Известно, что существует единственный полином степени не выше n , принимающий в исходных точках заданные значения. Коэффициенты ai полинома Pn (xi ) можно определить из системы уравнений:

a x

... a

a x

... a

1 1

...

a x

... a

Определитель этой системы есть определитель Вандермонда, и, следова-

тельно, система имеет единственное решение.
Пример. Построить интерполяционный многочлен P(x) ,																				совпадающий с
функцией f (x) 3x			( 1 x 1) в точках												x	0	1; x	0; x	2	1.
																0	1		2
Решение. Пусть P(x) a							0		ax a			2		x2 , поэтому имеем
							0					2
						a		0		a	a		2		1/ 3
								0		1			2
						a0				1							.
						a		0		a	a		2		3.
								0		1			2
Отсюда a0 1; a1 4 / 3; a2 2 / 3.
Поэтому 3	x	1		4	x	2	x		2	при 1				x 1.
Поэтому 3		1		3	x	3	x			при 1				x 1.
				3		3

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.11.2019529.92 Кб9Центрально сжатые колонны и фундаменты.doc
#
22.05.2015295.97 Кб23Центрбанк БВС.docx
#
22.05.2015132.84 Кб42Центрбанк.docx
#
14.07.201988.58 Кб1часть 1- 4.doc
#
22.05.20151.03 Mб12Четырехполюсники.метода.финал.doc
#
22.05.20152.09 Mб18Численные методы Методические материалы.pdf
#
14.07.2019174.08 Кб6Что такое врем1.doc
#
25.09.20191.32 Mб10Что такое ТСП.docx
#
22.05.20151.01 Mб349Шикун. Основы социологии.doc
#
22.05.201552.92 Кб13Шпаргалка.docx
#
22.05.201592.16 Кб16Шпора пределы.doc