Численные методы Методические материалы

Многочлен Лагранжа

Будем искать многочлен в виде линейной комбинации множеств степени n : L(x) y0l0 (x) y1l1(x) ... ynln (x) .

При этом потребуем, чтобы каждый многочлен l j (x) 0 во всех узлах

интерполяции, за исключением одного ( j го) , где он равен 1. Легко проверить, что этим условиям отвечает многочлен вида

Подставив эти формулы в исходный многочлен, получим:

Эта формула называется интерполяционным многочленом Лагранжа. Пример. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа 4 (x) , сов-

41

Подставляя эти значения в формулу Лагранжа, получим:

рядка включительно, то остаточный член интерполяционного многочлена в форме Лагранжа имеет вид

R n (x) f (x) Ln (x) f (n 1) ( ) (x x0 ) (x x1)...(x x n ) , (n 1)!

где – внутренняя точка минимального отрезка, содержащего узлы интерполирования x0 , x1,..., xn и точку x .

Многочлен Ньютона с конечными разностями

Рассмотрим случай равноотстоящих узлов интерполяции, т. е. x j x j 1 const h, i 2n, h – называется шагом.

Введем понятие конечных разностей. Пусть известны значения функции в узлах xi :yi f (xi ) . Составим разности значений функции:

y0 y1 y0 f (x0 h) f (x0 ),y1 y2 y1 f (x0 2h) f (x0 h),

y2 y3 y2 f (x0 3h) f (x0 2h),

...

yn 1 yn yn 1 f (x0 nh ) f (x0 (n 1) h).

42

Эти разности называются разностями первого порядка. Можно составить разности второго порядка:

2 y0 y1 y0 , 2 y1 y2 y1,..., 2 yn 2 yn 1 yn 2 .

Аналогично составляются разности k-го порядка:

k yi k 1yi 1 k 1yi .

Выразим конечные разности непосредственно через значение функции:

y0 y1 y0 ,

2 y0 y1 y0 (y2 y1) (y1 y0 ) y2 2y1 y0 ,

3y0 2 y1 2 y0 y3 2y2 y1 y2 2y1 y0 y3 3y2 3y1 y0 ,4 y0 y4 4y3 6y2 4y1 y0.

Таким образом, для любого k можно записать:

k y0 yk k yk 1 k(k 1) yk 2 k(k 1) (k 2) yk 3 2! 3!

N(xi ) yi (i 0, n) . Используем эти условия для нахождения коэффициентов многочлена:

43

N(x0 ) a0 y0 ,

N(x1) a0 a1(x1 x0 ) a0 a1 h y1,

N(x2 ) a0 a1(x2 x0 ) a2 (x2 x0 ) (x2 x1)

Таким образом, для любого k -го коэффициента формула примет вид

a k k y0 , k 0, n . k!h k

Подставляя эти формулы в выражение многочлена Ньютона, получим его следующий вид:

n y0 (x x0 ) (x x1)...(x xn 1). n! hn

Полученную формулу можно записать в другом виде. Для этого введем

переменную q x x0 . h

........................................................................

x x n 1 q n 1. h

44

С учетом этих соотношений формулу многочлена Ньютона можно записать в виде

сообразно (с точки зрения повышения точности расчетов и уменьшения числа слагаемых в полученной формуле) ограничиться случаем q 1, то есть исполь-

зовать эту формулу для всех x x0 , x1 . Для других случаев вместо x0 при-

нять x j , если x xi , xi 1 при i 0, n 1. В этом случае интерполяционный

i 0,1,..., n 1.

Полученная формула называется первым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполяции вперед. Эту интерполяционную формулу обычно используют для вычисления значений функции в точках левой половины рас-

сматриваемого отрезка. Это объясняется следующим: разности k yi вычисляются через значения функции yi , yi 1,..., yi k , причем i k n . Из-за этого

при больших значениях i мы не можем вычислить высших порядков

(k n i).

Для правой половины рассматриваемого отрезка разности лучше вычислять справа налево. В этом случае q (x xn ) / h , то есть q 0 , и интерполяционный многочлен Ньютона можно получить в виде:

Полученная формула называется вторым интерполяционным многочленом назад.

Пример. Используя интерполяционный полином Ньютона, вычислить f (0,14), где функция y f (x) задана таблицей

45

Решение. Составляем таблицу конечных разностей.

46

При вычислении sin 140 положим

x0 150 , x 140 ; q 140 150 0,2. 50

sin 140 0,2588 ( 0,2) 0,0832 ( 0,2) ( 0,0026) 2!

( 0,2) ( 1,2) ( 2,2) ( 0,0006) 0,241 900 8. 3!

При вычислении sin 360 положим

x n 350 ; x 360 , q 360 350 0,2 . 50

sin 360 0,5736 0,2 0,0736 0,2 1,2 ( 0,0038) 2!

0,2 1,2 2,2 ( 0,0006) 0,587 811 2. 3!

Оценим погрешности формул Ньютона вперед и назад:

Формулы приближенного дифференцирования основаны на первой интерполяционной формуле Ньютона. Интерполяционный многочлен Ньютона имеет вид

N(x) y0 q y0 q(q 1) 2y0 q(q 1) (q 2) 3y0 ... , 2! 3!

47

Аналогично можно вычислять производные функции любого порядка.

В некоторых случаях требуется находить производные функций y в ос-