Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кубанский государственный технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Численные методы Методические материалы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.05.2015

Размер:

2.09 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Поэтому в качестве критерия окончания итерационного процесса можно

				xk			i = 1, 2,..., n , где ε =	1 β	ε .
использовать неравенство max		xk+1				< ε		1 β
использовать неравенство max		xk+1				< ε
			i		i	1,	1	β
								β
Если выполняется условие β 1/ 2 , то можно пользоваться более простым
критерием окончания:
			xk
max	xk+1		xk		< ε, i = 1, 2,..., n .				(8)
	i			i

В других случаях использование последнего критерия (8) неправомерно и может привести к преждевременному окончанию итерационного процесса.

Пример 3.

Применим метод простой итерации для решения системы уравнений

20,9x1		+	1,2x2	+	2,1x3	+	0,9x4	=	21,70
	1,2x1	+	21,2x2	+	1,5x3	+	2,5x4	=	27,46

	2,1x1	+	1,5x2	+	19,8x3	+	1,3x4	=	28,76	.

	0,9x1	+	2,5x2		1,3x3	+	32,1x4	=	49,72

Заметим, что метод простой итерации сходится, так как выполняется условие преобладания диагональных элементов:

20,9 1, 2 2,1 0,9 , 21,2 1, 2 1,5 2,5 ,

19,8 2,1 1,5 1,3 , 32,1 0,9 2,5 1,3 .

Пусть требуемая точность ε = 103 . Вычисления будем проводить с че-

тырьмя знаками после десятичной точки. Приведем систему к виду:

x1x2x3x4

=		0,0574x2	0,1005x3	0,0431x4	+	1,0383
= 0,0566x1			0,0708x3	0,1179x4	+	1,2953
=	0,1061x1	0,0758x2		0,0657x4	+	1,4525
=	0,0280x1	0,0709x2	0,0405x3		+	1,5489

Величина β = max bij , j = 1, 2, 3, 4 равна 0,1179, т. е. выполняется ус-

ловие β 1/ 2 и можно пользоваться критерием окончания итерационного процесса (8). В качестве начального приближения возьмем элементы столбца

свободных членов: x0 =1,0383,		x0 =1,2953,	x0 =1,4525,				x0	=1,5489. Вы-
1		2	3			4
					-xk		, i = 1, 2, 3, 4 , а
числения будем вести до тех пор, пока все величины				xk+1	-xk		, i = 1, 2, 3, 4 , а
				i	i
		не станут меньше ε = 10-3 .
следовательно, и max	xik+1 xik	не станут меньше ε = 10-3 .

Последовательно вычисляем: при k = 1

x1							0,0574x0								0,1005x0			0,0431x0		+	1,0383					=		0,7512
1											2					3			4
x1			=		0,0566x0										0,0708x0			0,1179x0		+	1,2953					=		0,9511
2							1									3			4
x1			=		0,1061x0						0,0758x0							0,0657x0		+	1,4225					=		1,1423
3							1								2				4
x1			=		0,0280x0						0,0779x0					0,0405x0				+	1,5489					=		1,3601
4							1								2			3
при k = 2
	x2		= 0,8106,				x2	= 1,0118,							x2	= 1,2117,		x2	= 1,4077.
1							2								3			4
при k = 3
	x3		= 0,7978,				x3	= 0,9977,							x3	= 1,1975,		x3	= 1,3983.
1							2								3			4
при k = 4
	x4		= 0,8004,				x4	= 1,0005,							x4	= 1,2005,		x4	= 1,4003.
1							2								3			4
			Вычисляем модули разностей значений xk																при k 3 и k 4:
																		i
		x	4 x4			0,026,				x4	x3				0,028,		x4 x3		0,0030,			x4 x3					0,0020.
		1		1						2		2					3	3					4	4
			Так как все они больше заданной точности 103 , продолжаем итерации.
			При k 5
	x5		=0,7999,				x5 =0,9999,						x5 =1,1999,				x5 =1,3999.
1							2								3		4
			Вычисляем модули разностей значений xk																при k 4 и k 5:
																		i
	x5 x4				0,0005,					x5	x4			0,0006,			x5 x4		0,0006,		x5		x4		0,0004 .
	x5 x4				0,0005,					x5	x4			0,0006,			x5 x4		0,0006,		x5		x4		0,0004 .
	1		1						2			2					3	3			4		4

Все они меньше заданной точности 10 3 , поэтому итерации заканчиваем. Приближенным решением системы являются следующие значения:

x1 0,7999, x2 0,9999, x3 1,1999, x4 1,3999.

Для сравнения приведем точные значения переменных: x1 0,8, x2 1,0, x3 1,2, x4 1,4.

2.3. МЕТОД ЗЕЙДЕЛЯ

Модификацией метода простой итерации можно считать метод Зейделя.

В методе простой итерации на k 1 -ой итерации значения	xk 1	,
	i

i 1, 2,..., n вычисляются подстановкой в правую часть (6) вычисленных на предыдущей итерации значений. В методе Зейделя при вычислении xik 1 ис-

пользуются значения xik 1 , xk2 1 , xik 11 , уже найденные на k 1 -ой итерации, а

не xik , xk2 , …, xik 1 , как в методе простой итерации, т.е. k 1 -е приближение строится следующим образом:

	k 1	k		k		k		k
x1		b12 x2	b13x3 ...		b1n xn 1		b1n xn c1
x	2k 1 b21x1k 1 b23x3k				...	b2n 1xnk 1 b2n xnk c2
		b31xk2		b12 x2k 1		b3n xnk 11		b3n xnk 1 c3
x3k 1		b31xk2	1	b12 x2k 1		b3n xnk 11		b3n xnk 1 c3		(9)
...................................................................

	k 1	k 1		k 1		k 1		k 1	cn
xn		bn1x1		bn 2 x2	bn3x3		...	bnn 1xn 1	cn

Эти формулы являются расчетными формулами метода Зейделя.

Введем нижнюю и верхнюю треугольные матрицы:

	0	0	0	...	0						0	b	b	...	b
												12	13		1n
	b21	0	0	...	0						0	0	b23	...	b2n
B1		b32	0	...	0		B2				0	0	0	...	b3n
	b31					и										.
	... ... ...			...	...				... ... ...					... ...
		bn 2	bn3	...	0						0	0	0	...	0
	bn1
Матричная		запись		расчетных				формул					(9)	имеет		вид:
xk 1 B xk 1 B xk c . Так				как	B B			B		,	точное решение				x* исходной
1		2				1		2

системы удовлетворяет равенству: x* B1x* B2 x* c.

Сходимость метода Зейделя. Достаточным условием сходимости метода Зейделя является выполнение неравенства:

B	1.	(10)
B	1.	(10)

Неравенство (10) означает, что для сходимости метода Зейделя достаточно, чтобы любая норма матрицы B был меньше единицы.

Если выполнено условие (10), то справедлива следующая оценка погрешности:

				xk 1	xk	i 1, 2,..., n ,
max	x* xk		max				(11)

	i i	1		i	i

где – норма матрицы B .

Критерий окончания. Если требуется найти решение с точностью , итерационный процесс следует закончить, как только на k 1 -ом шаге выпол-

				xk	,	i 1, 2,..., n . Поэтому в качестве
нится неравенство:		max	xk 1

	1		i	i

критерия окончания итерационного процесса можно использовать неравенство

i 1, 2,..., n , где

. Если выполняется условие

max

xk 1

1/ 2 , то можно пользоваться более простым критерием окончания:

i 1, 2,..., n .

max

xk 1

Метод Зейделя, как правило, сходится быстрее, чем метод простой итерации. Однако возможны ситуации, когда метод простой итерации сходится, а метод Зейделя сходится медленнее или вообще расходится.

Пример. Применим метод Зейделя для решения системы уравнений из предыдущего примера. Первые шаги полностью совпадают с процедурой решения по методу простых итераций. Проведем теперь итерации методом Зейделя.

При k 1

x11 0,0574x02 0,1005x30 0,0431x04 1,0383 0,7512.

При вычислении x12 используем уже полученное значение x11 : x12 0,0566x11 0,0708x30 0,1179x04 1, 2953 0,9674 .

При вычислении x13 используем уже полученные значения и x12 : x13 0,1061x11 0,0758x12 0,0657x04 1, 4525 1,1977 .

При вычислении x14 используем уже полученные значения x11 , x12 , x13 : x14 0,0280x11 0,0779x12 0,045x x13 1,5489 1, 4037 .

Аналогичным образом проведем вычисления при k 2 и k 3. Получим:

при k 2

x12 0,8019, x22 0,9996, x32 1,9996, x42 1, 4000 .

при k 3

x13 0,80006, x32 1,00002, x33 1,19999, x34 1, 40000.

Известны точные значения переменных: x1 0,8, x2 1,0, x3 1, 2, x4 1, 4.

Сравнение с предыдущим примером показывает, что метод Зейделя сходится быстрее и дает более точный результат.

3. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

3.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Многие практические задачи сводятся к решению системы нелинейных уравнений. Пусть для вычисления неизвестных x1, x2 , ..., xn требуется решить

систему n нелинейных уравнений:
F	x	, x				,..., x				0
1	1			2				n
F2	x1, x2						,..., xn			0
										, иначе F x 0 .
..........................

F	x		, x		2		,..., x		n	0
n	1				2				n

Вотличие от решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) не существует прямых методов решения систем нелинейных уравнений. Лишь в отдельных случаях эту систему можно решить непосредственно. Например, для случая двух неизвестных иногда удается выразить одно неизвестное через другое и таким образом свести задачу к решению одного нелинейного уравнения относительно другого.

Вобщем случае для решения систем нелинейных уравнений обычно используются итерационные методы.

3.2.МЕТОД НЬЮТОНА ДЛЯ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Воснове метода Ньютона для системы уравнений лежит использование разложения функций Fi x1, x2 ,..., xn в ряд Тейлора, причем члены, содержа-

щие вторые производные (и производные более высоких порядков), отбрасываются. Пусть приближенные значения неизвестных системы (например, полу-

ченные на предыдущей итерации) равны соответственно a1, a2 , ..., an . Задача

состоит	в	нахождении	приращений (поправок) к этим значениям
x1, x2 ,		..., xn , благодаря которым решение исходной системы запишется
в виде:	x1 a1 x1, x2		a2 x2 , ......., xn an xn . Проведем разло-

жение левых частей уравнений исходной системы в ряд Тэйлора, ограничиваясь лишь линейными членами относительно приращений:

, x

,..., x

F a

,...,a

...

x1, x2 ,..., xn

a1,a2 ,...,an

.........................................................................................

Fn x

, x

,..., x

,...,a

...

x a x a F 1X

Поскольку левые части этих выражений должны обращаться в нуль, то можно приравнять к нулю и правые части:

F1
	x1
x1	x1
x1
F
F	x1
2	x1
x1
...		...
...		...
F
F	x1
n	x1
x1

в матричном виде:


	F1	x		...
	x2	x	2	...
			2

	F2	x		...
	x2	x	2	...
			2

... ... ...
	Fn	x		...
	x2	x	2	...
			2

F		Δx= F;
X		Δx= F;
X

...

	F1	x			F
			n
	xn

	F2	x			F
			n
	xn

... ...
	Fn	x			F
			n
	xn

				F 1
x=

				X

a1,a2 ,...,a

...

a1,a2 ,...,a

Значения	F1, F2 ,...., Fn и их производные вычисляются при x1
x2 a2 , ...,	xn an .

a1,

Определителем последней системы является якобиан:

			F1		F1	...		F1
			F1		F1			F1
			x1		x2			xn
			x1		x2			xn
			F2		F2	...		F2
	J	x1			x2	...		xn	.
	J	x1			x2			xn	.
		...		... ... ...
			Fn		Fn	...		Fn
			x1		x2	...		xn
			x1		x2			xn
Для существования единственного решения системы якобиан должен быть
отличным от нуля на каждой итерации.
Таким образом, итерационный процесс решения системы нелинейных
уравнений	методом Ньютона			состоит			в определении приращений
x1, x2 ,	..., xn к значениям неизвестных на каждой итерации. Счет пре-

кращается, если все приращения становятся малыми по абсолютной величине:

max	xi	.
max	xi	.
i

В методе Ньютона также важен удачный выбор начального приближения для обеспечения хорошей сходимости. Сходимость ухудшается с увеличением числа уравнений системы. Итак, за расчетную формулу примем

F или xk 1 xk F xk F xk .

Сходимость метода. Теорема. Пусть в некоторой окрестности решения x системы нелинейных уравнений функции Fi i 1, n дважды непрерывно

дифференцируемы и определитель матрицы Якоби f не равен нулю. Тогда найдется такая малая – окрестность решения x , что при произвольном выборе

начального приближения x0 из этой окрестности, итерационная последовательность метода Ньютона не выходит за пределы окрестности и справедлива

оценка:				x n 1 x				1				x n x				2	,	n 0 – метод сходится с квадратичной

скоростью.

В качестве примера можно рассмотреть использование метода Ньютона

F		x, y 0
	1	, где F1 и F2 – непрерывно
для решения системы двух уравнений:		, где F1 и F2 – непрерывно
	F	x, y 0
	2

дифференцируемые функции. Пусть начальные значения неизвестных равны a, b. После разложения исходной системы в ряд Тэйлора можно получить:

F1		x	F1 y F ,
	x		y	1

	F2	x F2 y F2 .

	x		y

Предположим, что якобиан системы при x a и y b отличен от нуля:

	F1	F1
J	x	y	0 .
	F	F
	2	2
	x	y

Тогда значения x и y можно найти, используя матричный способ следующим образом:

x		F
			1
			x


			F2
			x
	y

F1 1yF2y

F			x			F1
1
y								,
F								,
2
y			y			F2
F					F
	1						2
				1		x
						x

		J					F2
							x

F2

F1y

F2y

F1


	.

F2

Вычислив значения x и y можно найти x и y следующим образом:

x a

2 F2

;

y b

2 F2

Величины, стоящие в правой части, вычисляются при x a и y b.

Критерий окончания. Будем считать, что заданная точность достигнута,

если max

xk xk 1

или

F xk

yk yk 1

Пример. Методом Ньютона решить систему двух уравнений:

	2	3y	2	6y	4	0,
2x		3y		6y	4	0,
						с точностью до 0,001.
x2	3y2		4x 2 0

Решение.

1) Начальные приближения можно определить графическим способом. Для

2x2 3 y 1 2 7,

этого перепишем систему в виде:

x 2 2 3y2 6.

Первое из преобразованных уравнений определяет эллипс, а второе – гиперболу. Данная система имеет два решения. Для уточнения выбирают одно из них, принадлежащее области 0,5 x 0,6 и 0, 48 y 0, 44.

За начальное приближение принимают x0 0,5 и y0															0, 46.
F	x, y 2x2				3y2 6y 4; F x, y x2 4x 3y2 2;
1												2
2) Находим
														4;
F1 x 4 : F1				y 6y 6;							F2 x 2x			4;		F2 x 6y.

xn		F1 xn , yn							xn	, yn			xn	, yn		J
						F1 x			xn	, yn		F1 y	xn	, yn		J
yn		F2 xn , yn							xn	, yn			xn	, yn
						F2 x			xn	, yn		F2 y	xn	, yn
0,5		-0,1052							2			-8,76				49,32
-0,46		-0,3848							5			2,76
0,5742		0,0114				2,2968						-8,7306				51,2203
-0,4551		0,0052				5,1484						2,7306
0,5727		0,00006				2,2908						-8,7252				51,1375
-0,4542		-0,00011				5,1454						2,7252
0,5727
-0,4542
Поскольку		max	x3	x2			,	y3 y2				, то x* 0,5727, y* 0, 4542.
Поскольку		max	x3	x2			,	y3 y2				, то x* 0,5727, y* 0, 4542.
Окончательный ответ: x 0,573 и											y 0, 454.

3.3. МЕТОД ИТЕРАЦИИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

Пусть требуется найти действительные решения системы двух уравнений с заданной точностью

F x, y 0,

F2 x, y 0 .

Для этого перепишем исходную систему в приведенном (итерационном)

x		x, y ,
	1		. Пусть	x0 и y0 – начальные приближения корней, полу-
виде:		x, y	. Пусть	x0 и y0 – начальные приближения корней, полу-
y 2		x, y

ченные графическим или каким-либо другим способом. Подставив эти значения в правые части приведенной системы уравнений, можно получить

				x		1						x		0		, y	0		,
						1					1			0			0
				y			x									, y			.
											2				0			0
				1							2				0			0
																			x		2		x	, y	,
																					2	1	1	1
Аналогично можно получить второе приближение																				y		x , y .
																				y		x , y .
																					2	2	1		1
																					2	2	1		1
x	n			x	n 1			, y		n 1			,
	n	1			n 1					n 1						Если функции					1 x, y и 2 x, y
В общем случае				x									.			Если функции					1 x, y и 2 x, y
y	n		2	x		n	1		, y		n 1		.
	n		2			n	1				n 1

непрерывны и последовательности x1, x2 ,..., xn ,... и y1, y2 ,..., yn ,... сходятся, то пределы их дают решение приведенной, следовательно, и исходной

системы.

Сходимость метода

Теорема.

Пусть

некоторой

замкнутой

окрестности

R a x A, b y B

имеется

одно и

только

одно решение x x* и

y y* приведенной системы.

Тогда если:

1) функции 1 x, y

и 2 x, y определены и непрерывно дифференци-

руемы в R ;

2) начальные приближения x0 , y0 и все последующие приближения xn ,

yn n 1,2,... принадлежат R ;

q 1,

3) в R выполнены неравенства

или

неравенства

q 1,

1, то процесс последо-

вательных приближений сходится к решению x x* ,

y y* .

Оценка погрешности n -го приближения определяется неравенством:

x* xn

y* yn

xn xn 1

yn yn 1

где M – наибольшее из чисел q1 и q2 , входящих в эти неравенства.

Сходимость

метода

считается хорошей,

если M 0,5; при этом

M / 1 M 1. Поэтому если в двух последовательных приближениях совпа-

дают, например, три десятичных знака после запятой, то ошибка последнего приближения не превосходит 0,001.

Пример. Методом итерации решить систему с точностью до 0,001.

sin x 0,6 y 1,6,3x cos y 0,9.

Решение.
	x cos y / 3 0,3 x, y ,
			1
1) Приведем систему к форме:		y sin x 0,6 1,6			x, y .
		y sin x 0,6 1,6		2	x, y .

2) Для нахождения начального приближения отделим корни. Построив два
графика x cos y / 3 0,3 и	y sin x 0,6 1,6 и найдя их точку пере-

сечения, можно увидеть, что система имеет единственное решение, заключенное в области 0 x 0,3 и 2, 2 y 1,8.

3) Проверим приведенную систему на сходимость итерационного процес-

са:

x 0,6

0 ;

cos

sin y

1 ;

Следовательно,

1 и

1 т.е. условия сходимости выполняются.

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.11.2019529.92 Кб6Центрально сжатые колонны и фундаменты.doc
#
22.05.2015295.97 Кб21Центрбанк БВС.docx
#
22.05.2015132.84 Кб41Центрбанк.docx
#
14.07.201988.58 Кб1часть 1- 4.doc
#
22.05.20151.03 Mб9Четырехполюсники.метода.финал.doc
#
22.05.20152.09 Mб17Численные методы Методические материалы.pdf
#
14.07.2019174.08 Кб5Что такое врем1.doc
#
25.09.20191.32 Mб9Что такое ТСП.docx
#
22.05.20151.01 Mб320Шикун. Основы социологии.doc
#
22.05.201552.92 Кб11Шпаргалка.docx
#
22.05.201592.16 Кб14Шпора пределы.doc