Численные методы Методические материалы

Так как 0,8 0,78 0,02 , то x* 0,78.

1.5. МЕТОД НЬЮТОНА (МЕТОД КАСАТЕЛЬНЫХ)

Метод Ньютона является наиболее эффективным методом решения нелинейных уравнений. Пусть корень x* a, b , т. е. f a f b 0 . Предполагаем,

что функция f x непрерывна на отрезке a, b и дважды непрерывно диффе-

ренцируема на интервале a, b . Положим x0 b . Проведем касательную к графику функции y f (x) в точке B0 x0 ,f x0 (рис. 8).

Рис. 8

Уравнение касательной будет иметь вид: y f (x0 ) f x0 x x0 . Первое пересечение получим, взяв абсциссу точки пересечения этой каса-

B2 x2 ,f x2 и т. д., в результате получим последовательность приближений

Формула (6) является расчетной формулой метода Ньютона.

12

Метод Ньютона можно рассматривать как частный случай метода простых итераций, для которого (x) x f'(x)f(x) .

Сходимость метода. Сходимость метода Ньютона устанавливает следующая теорема.

Теорема. Пусть x* – простой корень уравнения f (x) 0 и в некоторой окрестности этого корня функция f дважды непрерывно дифференцируема. Тогда найдется такая малая – окрестность корня x* , что при произвольном выборе начального приближения x0 из этой окрестности итерационная после-

довательность, определенная по формуле (6) не выходит за пределы этой окрестности и справедлива оценка:

где C 1.

Сходимость метода Ньютона зависит от того, насколько близко к корню выбрано начальное приближение.

Выбор начального приближения. Пусть a, b – отрезок, содержащий корень. Если в качестве начального приближения x0 выбрать тот из концов отрезка, для которого f (x0 )f (x) 0 , то итерации (6) сходятся, причем монотонно. Рис. 8 соответствует случаю, когда в качестве начального приближения был

Критерий окончания. Оценка (8) позволяет сформулировать следующий критерий окончания итераций метода Ньютона. При заданной точности 0 вычисления нужно вести до тех пор, пока не будет выполнено неравенство

xn xn 1 .

Пример. Вычислить методом Ньютона отрицательный корень уравнения f (x) x4 3x2 75x 10000 0 с точностью до 0,0001. Проведя отделение корня, можно убедиться, что корень локализован на интервале 11, 10 :

f ( 11) 3435, f 10 1050. В этом интервале f (x) 0 и f (x) 0 . Так

как f ( 11) 0 и f ( 11) 0, то за начальное приближение можно принять x0 11.

13

x3 x2 10, 261 10, 2618 0,0008 0,001. Поэтому x* 10, 261.

1.6. ВИДОИЗМЕНЁННЫЙ МЕТОД НЬЮТОНА

Если производная f (x) мало изменяется на отрезке a, b , то в расчетной формуле метода можно положить: f xn f x0 . Отсюда для корня x* уравнения f (x) 0 получаем последовательные приближения

Геометрически этот способ означает, что касательные заменяются прямыми, параллельными касательной к кривой y f (x) , в ее фиксированной точке

x0 . Этот способ избавляет от необходимости вычислять каждый раз значения производной, поэтому эта формула полезна, если y f (x) сложна.

1.7. МЕТОД ХОРД

Рассмотрим еще одну модификацию метода Ньютона. Пусть известно, что

у

А

14

y

А

Рис. 10

Возможны два случая: 1) f a >0 (рис. 9); 2) f a <0 (рис. 10). В первом

образуют ограниченную монотонно убывающую последовательность, причем a < x* <...< xn+1 < xn <...< x1 < x0 .

Во втором случае неподвижен конец b , а последовательные приближения: x0 = a

образуют ограниченную монотонно убывающую последовательность, причем

x0 < x1 < x2 <...< xn+1 <...x* < b. Итак, в результате получаем следующее

Выбор начального условия:

1.Рассматриваем только случай f x >0 (иначе f x =0 ).

2.Начальное приближение x0 выбираем из условия f x0 f (x) <0 f x0 <0 .

Неподвижен тот конец, для которого знак функции совпадает со знаком ее второй производной.

Критерий окончания. Критерий окончания итераций метода хорд такой же, как и для метода Ньютона. При заданной точности 0 вычисления нужно

вести до тех пор, пока не будет выполнено неравенство xn xn 1 .

15

Пример. Найти положительный корень уравнения с точностью 0,001

резке a, b . Соединяя методы хорд и касательных, получаем метод на каждом этапе, которого находим значения по недостатку и значения по избытку точно-

которые можно свести к первому случаю. y

Рис. 11

16

По окончании процесса за значение корня x* лучше всего взять среднее арифметическое полученных значений: x* 12 xn xn .

2. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

17

или в матричной форме: Ax = b , где

det A

x j det Aj , j=1,...,n , где det A j – определитель матрицы, получаемой заме-

ной j -го столбца матрицы A столбцом правых частей b .

Непосредственный расчет определителей для больших n является очень трудоемким.

Известные в настоящее время многочисленные приближенные методы решения систем линейных алгебраических уравнений распадаются на две большие группы: прямые методы и методы итераций.

Прямые методы всегда гарантируют получение решения, если оно существуют, однако, для больших n требуется большое количество операций, и возникает опасность накопления погрешностей.

Этого недостатка лишены итерационные методы, но зато они не всегда сходятся и могут применяться лишь для систем определенных классов.

Норма матрицы является некоторой обобщенной оценкой значений элементов матрицы. Для еѐ вычисления можно использовать следующие выражения:

2.2. МЕТОД ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ

Для того чтобы применить метод простой итерации, необходимо систему уравнений

18

x – вектор-столбец неизвестных xi , c – вектор-столбец с элементами ci , i 1, 2,..., n . Существуют различные способы приведения системы (1) к виду

(2). Рассмотрим самый простой.

Представим систему в развернутом виде:

Из первого уравнения системы (3) выразим неизвестную x1 :

Матричная запись системы (4) имеет вид (2). На главной диагонали матрицы B находятся нулевые элементы, а остальные элементы вычисляются по формулам:

Очевидно, что диагональные элементы матрицы A должны быть отличны от нуля. Выберем произвольно начальное приближение. Обычно в качестве

первого приближения берут xi0 = ci или xi0 = 0. Подставим начальное прибли-

19

приближений, причем k+1 приближение строится следующим образом:

Последняя система представляет собой расчетные формулы метода про-

стой итерации.

Сходимость метода простой итерации. Известно следующее достаточ-

ное условие сходимости метода простой итерации.

Если элементы матрицы A удовлетворяют условию:

Условие (7) называют условием преобладания диагональных элементов матрицы A , так как оно означает, что модуль диагонального элемента i -ой строки больше суммы модулей остальных элементов этой строки, i = 1,2,...,n .

Необходимо помнить, что условие сходимости (6) является лишь достаточным. Его выполнение гарантирует сходимость метода простых итераций, но его невыполнение, вообще говоря, не означает, что метод расходится.

Справедлива следующая оценка погрешности:

Правую часть оценки (7) легко вычислить после нахождения очередного приближения.

Иначе достаточное условие (6) для матрицы B может быть переформулирована так: если B 1, то итерационный процесс (6) сходится к точному ре-

шению системы.

Критерий окончания. Если требуется найти решение с точностью , то в силу (7) итерационный процесс следует закончить, как только на k+1 -ом ша-

20