Глава 8. Модуль обработки вещественных чисел

8.1 Представление чисел с плавающей запятой

Для представления чисел с плавающей запятой в микропроцессорах используется стандарт 754 1985 года, разработанный Институтом инженеров по электротехнике и электронике (IEEE). В процессорах Intel используется три формата представления двоичных чисел с плавающей запятой (табл. 8.1).

Таблица 8.1. Стандарты представления двоичных чисел с плавающей запятой

Тип числа	Описание
С одинарной точностью (Real4)	Имеет длину 32 бита. Один бит используется для представления знака, 8 битов – для представления показателя степени и 23 бита – для представления дробной части мантиссы. С его помощью можно представить нормированные числа, находящиеся в диапазоне приблизительно от 2-126 до 2+127. Его называют также коротким вещественным числом (short real).
С двойной точностью (Real8)	Имеет длину 64 бита. Один бит используется для представления знака, 11 битов – для представления показателя степени и 52 бита – для представления дробной части мантиссы. С его помощью можно представить нормированные числа, находящиеся в диапазоне приблизительно от 2-1022 до 2+1023. Его называют также длинным вещественным числом (long real).
Расширенное с двойной точностью (Real10)	Имеет длину 80 битов. Один бит используется для представления знака, 16 битов – для представления показателя степени и 63 бита – для представления дробной части мантиссы. С его помощью можно представить нормированные числа, находящиеся в диапазоне приблизительно от 2-16382 до 2+16383. Его называют также расширенным вещественным числом (extended real).

На рисунке 8.1 представлен формат чисел с одинарной точностью. Рассмотрим подробнее этот формат.

Поле “знак”. Если значение знакового бита равно 1, число считается отрицательным, а если 0, то положительным. Число ноль считается положительным.

Поле “показатель”. Показатель степени чисел с одинарной точностью хранится в виде восьмиразрядного беззнакового числа, значение которого смещено на 127. Другими словами, при представлении числа в компьютере к реальному показателю степени добавляется число 127. Например, при представлении двоичного вещественного числа 1,1012⁵ в памяти компьютера в поле “показатель” будет записано не число 5, а число 132. Двоичное значение показателя степени является числом без знака, поэтому оно никогда не может быть отрицательным. Максимально возможное значение показателя степени чисел одинарной точности равно 128. Если к нему прибавить число 127, то в сумме получится 255, то есть максимально возможное восьмиразрядное целое число без знака.

Поле “показатель” чисел двойной точности и расширенной двойной точности содержит беззнаковое число размером 11 и 16 битов соответственно.

Поле “мантисса”. Для того чтобы с максимальной точностью сохранить в памяти двоичное число с плавающей запятой, его мантисса должна быть нормализована. Нормализация двоичного числа заключается в переносе запятой так, чтобы перед ней находился только один двоичный разряд, значение которого равно единице. Например, двоичное число с плавающей точкой 1101,101 после нормализации будет выглядеть так: 1,1011012³.

У нормализованной мантиссы слева от запятой всегда стоит цифра 1. Поэтому в формате IEEE она не указывается, но всегда подразумевается.

Денормализация двоичного числа с плавающей запятой – операция противоположная нормализации. Она заключается в переносе десятичной запятой, пока значение показателя степени не станет равным нулю.

Кодирование чисел и специальных значений

В стандарте IEEE предусмотрено несколько способов кодирования вещественных чисел и специальных значений:

• положительное и отрицательное значение нуля;

• денормализованные конечные числа;

• нормализованные конечные числа;

• положительное и отрицательное значение бесконечности;

• нечисловое значение (NaN, или Not a Number);

• бесконечные числа.

Потеря точности при денормализации. Если показатель вещественного числа не помещается в поле “показатель” выбранного типа точности, то число денормализуется до тех пор, пока значение показателя степени не поместится в поле “показатель”. Например, необходимо представить число 1,010111100000000000011112^-129 в формате с одинарной точностью. Значение показателя -129 не помещается в соответствующее поле. Для уменьшения показателя числа необходимо сдвигать мантиссу вправо. При сдвиге мантиссы вправо теряются младшие значащие биты и в процессоре генерируется ситуация потери значимости (underflow). Само же число становится денормализованным:

1,010111100000000000011112^-129

0,101011110000000000001112^-128

0,010101111000000000000112^-127

0,001010111100000000000012^-126

Такой процесс денормализации приводит к потере точности.

Значение бесконечности. Под положительным значением бесконечности (+) понимается максимально возможное положительное значение вещественного числа. Соответственно, под отрицательным значением бесконечности (–) понимается минимально возможное отрицательное значение вещественного числа. Значения бесконечностей можно сравнивать между собой и с другими вещественными числами. При выполнении операций с двумя бесконечностями может возникнуть ситуация переполнения (overflow). Дело в том, что результат вычислений нельзя нормализовать, поскольку значение показателя степени не помещается в выделенные ему разряды поля “показатель” даже если сдвигать мантиссу на количество разрядов, равное размеру поля “мантисса”.

Нечисловые значения (NaN). Значение NaN представляет собой определённую комбинацию битов, которой не соответствует никакое корректное вещественное число. В процессорах корпорации Intel предусмотрены два типа значений NaN тихое и громкое. Тихое (quiet) значение NaN может использоваться в большинстве арифметических операций, не вызывая при этом исключительной ситуации. Громкое (signaling) значение NaN используется для генерирования исключительной ситуации, связанной с выполнением некорректной операции с плавающей запятой. Во время компиляции всем неинициализированным элементам массива и переменным с плавающей запятой нужно присвоить значение громкого NaN. Тогда при попытке их чтения в программе возникнет исключительная ситуация. Тихое значение NaN можно использовать для хранения диагностической информации, полученной во время сеанса отладки.

В таблице 8.2 перечислены несколько специальных значений чисел, которые часто используются при выполнении операций с плавающей запятой. Позиции битов, отмеченные символом x, могут иметь значения либо 1, либо 0.

Таблица 8.2. Кодирование специальных значений в двоичных числах с плавающей запятой одинарной точности

Значение	Знак, показатель, мантисса
Положительный ноль	0 00000000 00000000000000000000000
Отрицательный ноль	1 00000000 00000000000000000000000
Положительная бесконечность	0 11111111 00000000000000000000000
Отрицательная бесконечность	1 11111111 00000000000000000000000
Тихое NaN	x 00000000 1xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Громкое NaN	x 11111111 0xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx*

^* Если поле мантиссы громкого NaN начинается с нулевого бита, один из последующих битов обязательно должен содержать единицу, чтобы не получилось значение положительной или отрицательной бесконечности.