Введя обозначения

(10.6)

преобразуем уравнение (10.5) следующим образом

(10.7)

Поскольку к/m>0, ₀ – вещественная величина.

Итак, в отсутствие сил трения движение под действием квазиупругой силы описывается дифференциальным уравнением (10.7).

Общее решение уравнения (10.7) имеет вид

x=a cos (₀ t+), (10.8)

где а и  - произвольные постоянные.

Итак, смещение х изменяется со временем по закону косинуса. Следовательно, движение системы, находящийся под действием силы вида F=-kx, представляет собой гармоническое колебание.

График гармонического колебания, т.е. график функции (10.8), показан на рис. 10.3. Величина наибольшего отклонения системы от положения равновесия называетсяамплитудой колебания. Амплитуда а – постоянная положительная величина.

Величина (t+), стоящая под знаком косинуса, называется фазой колебания. Постоянная  представляет собой значение фазы в момент времени t=0 и называется начальной фазой колебания. С изменением начала отсчета времени будет изменяться и . Следовательно, значение начальной фазы определяется началом отсчета времени. Так как значение х не изменяется при добавлении или вычитании из фазы целого числа 2, всегда можно добиться того, чтобы начальная фаза была по модулю меньше . Поэтому обычно рассматриваются только значения , лежащие в пределах от - до +.

Поскольку косинус – периодическая функция с периодом 2, различные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через промежуток времени T, за который фаза колебания получает приращение, равное 2 (рис. 10.2). Этот промежуток времени T называется периодом колебания. Он может быть определен из следующего условия:[₀ (t+T)+]=[t+]+2, откуда

T=2/₀. (10.9)

Число колебаний в единицу времени называется частотой колебания . Очевидно, что частота  связана с продолжительностью одного колебания следующим соотношением:

=1/T. (10.10)

Из (10.9) следует, что

₀=2/T. (10.11)

Таким образом, ₀ дает число колебаний за 2 секунд. Величину ₀ называют круговой или циклической частотой. Она связана с обычной частотой  соотношением

₀=2 (10.12)

Затухающие колебания.

Во всякой реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, колебания будут затухать. В простейшем случае сила сопротивления пропорциональна величине скорости:

F_c=-rv=-r (10.13)

Здесь r – постоянная, называемая коэффициентом сопротивления.

Уравнение второго закона Ньютона при наличии сил сопротивления имеют вид

m (10.14)

Применив обозначения

2=r/m, =k/m (10.15)

перепишем уравнение (10.14) следующим образом:

(10.16)

Это дифференциальное уравнение описывает затухающие колебания системы.

Колебания, описываемые уравнениями (10.14) и (10.16), являются свободными (или собственными): выведенная из положения равновесия или получившая толчок система совершает колебания, будучи предоставленной самой себе. Отметим, что ₀ представляет собой ту частоту, с которой совершались бы свободные колебания в отсутствие сопротивления среды (при r=0). Эту частоту называют собственной частотой системы.

При неслишком большом затухании общее решение дифференциального уравнения (10.38) имеет вид

х=а₀e^-tcos(t+) (10.17)

Здесь а₀ и  - начальная амплитуда и начальная фаза колебаний, а величина , определяется формулой

=(10.18)

На рис.10.4 дан график функции (10.17). Пунктирными линиями показаны пределы, в которых находится смещение колеблющейся точки х.

В соответствии с видом функции (10.17) движение системы можно рассматривать как гармоническое колебание частоты  с амплитудой, изменяющейся по закону а(t)=а₀е^-t. Верхняя из пунктирных кривых на рис. 10.44 дает график функции а(t), причем величина а₀ представляет собой амплитуду в начальный момент времени. Начальное смещение х₀ зависит, кроме а₀, также от начальной фазы :

х₀=а₀ cos.

Скорость затухания колебаний определяется величиной =r/2m, которую называют коэффициентом затухания. Найдем время , за которое амплитуда уменьшается в е раз.

Согласно формуле

T=,

период затухающих колебаний равен

T= (10.19)

При незначительном сопротивлении среды (²<< ) период колебаний практически равен T₀=2/₀. С ростом коэффициента затухания период колебаний увеличивается.

Отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, равно

.

Это отношение называют декрементом затухания, а его логарифм – логарифмическим декрементом затухания:

(10.20)

Для характеристики колебательной системы обычно используется логарифмический декремент затухания . Выразив  через  и Т, можно закон убывания амплитуды со временем записать в виде

а=а₀.

За время , за которое амплитуда уменьшается в е раз, система успевает совершить N_e=/T колебаний. Из условия =е^-1 получается, что . Следовательно, логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда уменьшается в е раз.

Для характеристики колебательной системы часто употребляется также величина

Q= (10.21)

называемаядобротностью колебательной системы. Как видно из ее определения, добротность пропорциональна числу колебаний N_e, совершаемых системой за время , за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз.